Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M ng-ời ta kẻ các tia Ax ,By vuông góc với AB.Đờng thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax ,By theo thứ tự tại P và Q.Gọi R là giao điểm của AM với C
Trang 1Đề thi vào lớp chuyên (vòng 1) - năm 2000 -2001
Trờng Lam Sơn
Bài 1 (2điểm):
x
1 1
4
5 2
1
2
:
1 4 4
1
x x x
a, Rút gọn A và nêu các điêù kiện phải có của x
b, Tìm giá trị của x để A =
-2 1
Bài 2 : (2 điểm ) :
Giải hệ phơng trình :
x
1
-1y
-z
1
=1
1y
-z
1
-x
1
=2
z
1
-x
1
- 1y =3
Bài 3: (1.5điểm)
Tìm các hệ số p; q của phơng trình x2+px+q =0 sao cho nó có các nghiệm x1;x2 thoả mãn :
x1 - x2=5
x3
1 - x3
2 =35
Bài 4: (1.5điểm):
Cho a,b,c,d là các số thực dơng có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :
2 2
2 2
a d
d d c
c c b
b b a
a
2
1
Khi nào dấu “ =” xảy ra
Bài 5 : (3 diểm ):
Cho một nửa đờng tròn (o) đờng kính AB ; một điểm M nằm trên cung AB và một điểm C nằm trên đờng kính AB sao cho CA< CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M
ng-ời ta kẻ các tia Ax ,By vuông góc với AB.Đờng thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt
Ax ,By theo thứ tự tại P và Q.Gọi R là giao điểm của AM với CP ; S là giao điểm của BM với CQ
a, Chứng minh các tứ giác APMC ;BQMC nội tiếp đợc
b, Chứng minh RS // AB
c,Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành đợc không ? Tại sao ?
Hớng dẫn chấm:2000-2001 Bài 1 (2điểm ) : Câu a: 1điểm
Điều kiện : x> 0
4x-1 0 x , 1
4
1 ,
x x 0.25đ
x-1 0
x
1 1
4
5 2
1
2
:
1 4 4
1
x x x
= 1-
1
) 2 ( ) 1 2 )(
2 1 (
) 2 1 ( 5 ) 1 2 (
x
x x x
x
x x
x
Trang 2=
1-1
) 2 1 ( ) 1 2 )(
2 1 (
1
x
x x
x x
= 1-
1 2
2
1
x
x
=
x
2 1
2
0.75đ
Câu b : 1 điểm :
A= -
2
1
x
2 1
2
=
-2
1
4= 2 x-1 x=
4
25
1đ
Bài 2 : 2điểm
Điều kiện : x,y z 0 0.25đ
Cộng các vế của các pt ta có :
x
1
+ 1y +
z
1
Kết hợp (*) với pt thứ nhất ta có:
x
2
= 5 x=
-5
2
0.5đ
Tơng tự kết hợp (*) với pt (2) ta có:
y=-2
1
;
z=-3
2
0.75đ
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm (x,y,z)=
(-5
2
,-2
1
,-3
2
) 0.25đ
Bài 3:1.5điểm :
Ta phải có :p2- 4q 0 (1) 0.25đ
Và : x1-x2=5 (x1+x2)2- 4x1x2=25
x3
1 - x3
2=35 (x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2] =35 025đ
Do đó theo định lý Vi ét ta có :
P2-4p =25 p2-4q =25
5(p2-q) = 35 p2-q = 7 0.5đ
Giải hệ này ta đợc :p=1 ;q=-6 ; hoặc p= -1 ,q =-6 thoả mãn điều kiện (1) ,0.5đ
Bài 4: 1.5điểm :
Ta chứng minh với mọi x,y dơng ta có bất đẳng thức :
(*) 4
3
y
x
Thật vậy (*) tơng đơng với :
4x2
3x2+3xy-xy-y2 x2+y2
2xy đúng đpcm 0.5đ
áp dụng BĐT(*)cho các số hạng của vế trái ta có:
2 2
2
2
a d
d d c
c c
b
b
b
a
a
2
1 2
4
) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 (
a
0.5đ Dấu “=” xảy ra khi :a = b = c= d =
4
1
Bài 5 :3điểm :
Câu a : 1điểm : P
M
R Q
A B
Trang 3Ta có : PC= PMˆ C =1v
Tứ giác APMC nội tiếp đợc vì có tổng 2 góc đối bằng 2 v (0.5đ)
Ta có:góc QBM = góc QMC =1v
Tứ giác BQMC nội tiếp đợc vì có tổng 2 góc đối bằng 2v (0.5đ)
Câu b :1điểm :
Ta chứng minh tứ giácRMSCnội tiếp
+ Ta có trong đờng tròn ngoại tiếp tứ giác PACM có :PCA = PMA (cùng chắn 1cung ) +Trong đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QBMC có QCB = QMB (cùng chắn 1cung)
+Do đó ta có :RCS =1800- (PCA +QCB)=1800- (PMA +QMB )=AMB =1v
Từ đó ta có : RCS +RMS = RCS +AMB =1v+1v=2v,suy ra tứ giácRMSC nội tiếp đợc (0.5 đ)
+Trong đờng tròn (RMSC)có : RMC = RSC (cùng chắn 1 cung ) (1)
+Trong đờng tròn (QMCB) có : QCB = QMB (cùng chắn 1 cung ) (2)
Ta có : RMC = QMB (cùng phụ với CMB) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra RSC = SCB Hai góc này ở vị trí so le nên RS//AB (0.5đ)
Câuc : 1 điểm :
Giả sử ARSC là hình bình hành , ta chứng minh RC//MB Thật vậy do AR//SC nên ta có : MAC = SCB (so le) mà RAC +SCB =1v MBC +MAC =1v ,nên suy ra : MBC =RAC ,suy
ra : RC//MB (0.5đ)
áp dụng định lý Ta lét với RS//AB ; RA//SC ; RC//MB ta có :
CB CA
AC BC CB
AC RM
AR SM
BS CA BC
Hay AC =CB Trái với giả thiết Vậy ARSC không thể là hình bình hành (0.5đ)