(22)Cac pp giai bai tap toa do kong gian ppt

Tìm điểm N thuộc  để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất... Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a... Viết phương trình mặtphẳng P qua giao tuyến của  và mặt phẳng xOy và P tạo

ẢI Câu 1:

Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0

 Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2

 (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

A

H

F

D

Cách 2:

 Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

 ABC, A/B/C/ là các tam giác đều cạnh a

 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

1 Tìm điểm M thuộc () để thể tích tứ diện MABC bằng 3

2 Tìm điểm N thuộc () để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất

a z

y

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC, khoảngcách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và(SAC) vuông góc nhau.

 Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0

 SABC 1 [AB; AC] 1 ( 3)2 ( 6)2 62 9.

 Gọi O là tâm của ABC

 Ta có: SA SB SCOA OB OC ( ABC đều) 

M C

 SOA vuông có: SA2 SO2 OA2 h2 a2 3h2 a2 SA 3h2 a2

 SABSAC (c.c.c)  IB IC  IBC cân tại I

 (SAB) (SAC)  IBC vuông cân tại I IM 1BC

 Gọi H là tâm của ABC

và M là trung điểm của BC

 Ta có: SA SB SCHA HB HC ( ABC đều) 



 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc A(0; 0; 0),

 Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SB  nên có pháp vectơ n 1

 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SC  nên có pháp vectơ n 2

 (SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0 1 2 

S z

A z

H B

M y C

Câu 1:

Mặt cầu (S): (x 2) 2(y 3) 2 z2 13 m có tâm

I(-2; 3; 0), bán kính R IN  13 m , với m < 13

I

 Ta có: IH = h

         m12 (thỏa điều kiện)

 Vậy, giá trị cần tìm: m = -12

Câu 2:

Cách 1:

 Gọi N là điểm đối xứng của C qua O

 Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)

OH AK; OH BN   OH (ABN)  d(O; (ABN) OH

 Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

 Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung điểm của AC

 MN là đường trung bình của ABC

 Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ n : 3x y z 0   

 Ta có: d(B; (OMN)) 3.a 0 0 a 3 a 15

a 3

a 3 y C

N O

M a

x B

BÀI 4

Câu 1:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x – y + z – 5 = 0 Viết phương trình mặtphẳng (P) qua giao tuyến của () và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳngtọa độ một tứ diện có thể tích bằng 12536

Câu 2:

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o

GIẢI

Câu 1:

Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0

 Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi () và (xOy) có dạng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0  (P) : 2mx my (m n)z 5m 0    

 Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ:

(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2)(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4)

 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

3

 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

 Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SB  nên có pháp vectơ n1

 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SC  nên có pháp vectơ n2

 Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o

2 o

x

y C

B

A

E

F G M

Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng

(d) : x1 12y z22 và mặt phẳng () : 2x – y – 2z = 0

Câu 2:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2 , SA vuônggóc với (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC Tínhgóc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF

F M B

E K

H A

 Gọi  là góc nhọn tạo bởi SE và AF

 Áp dụng định lý hàm Côsin vào SEM có:

 Vì AF // ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH. 

 SAK vuông có: 1 2 12 1 2 12 22 32 AH a 3

 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

M F y

C

 Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a 0.   

 Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) 0 0 a a 2

 Vì AF // EM AF //(SEM) d(SE; AF) d(A; SEM)

 Vậy, d(SE; AF) a 3

L

ỜI GIẢI Câu 1:

(P) : 2x 2y z m   2  3m 0

(S) : (x 1) (y 1) (x 1) 9 có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3

(P) tiếp xúc (S)  d[I, (P)] R

2 2

 Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi đó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0

 Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình:

Trang 11

 Ta có: SA (ABC)  SA AC.

Do đó SAC vuông tại A có AM là

trung tuyến nên MA12SC.

 Ta lại có: SA (ABC)AB BC ( ABC vuông tại B)



 SB BC (định lý 3 đường vuông góc)

Do đó SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên MB 1SC

2



 Suy ra: MA = MB  MAB cân tại M

 Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K AB) 

 MHK vuông tại H có: MK2 MH2HK2 a2a2 2a2  MK a 2

 Diện tích MAB: SMAB 1.MK.AB 1.a 2.a a 22

B K A

z S 2a

M

C y

a 5 H

B

A K

x a 5

2a aA(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0

suy ra: MA = MB  MAB cân tại M

 Ta có: [MA; MB] a2 ; 2a2; a2 [MA; MB] a 22

t y

t 2 x

0 3 y xChứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính làđoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

GIẢI

Câu 1 :

Cách 1:

 Gọi H là trung điểm của BC

 Do S.ABC đều và ABC đều nên

chân đường cao đỉnh S trùng với

giao điểm ba đường cao là trực tâm O

của ABC và có SBC cân tại S

suy ra: BC SH, BC AH,  nên SHA 



 Thể tích hình chóp S.ABC: V 1.SO.SABC 1 a 3 tg a 3 a tg2 3

 Vì S.ABC là hình chóp đều

nên chân đường cao đỉnh S trùng

với tâm O đường tròn (ABC)

 Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

A

z

S

(d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương u1 (2; 1; 0)

(d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương u2 (3; 3; 0)

 AB (3; 0; 4)  

     AB.[u ; u ] 36 0           1 2                 AB, u , u 1 2

không đồng phẳng

 Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau

 (d2) có phương trình tham số:

/ /

Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,

(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng:

(d1): ; ( d ) : x 23 y31 z42

3

1 z 4

3 y 2

(P) có pháp vectơ nP (3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n ,    /P với n/P (1; 4; 1)

 (Q) có pháp vectơ nQ (3; 4; 9)

 (d1) có vectơ chỉ phương u1 (2; 4; 3)

 (d2) có vectơ chỉ phương u2  ( 2; 3; 4)

 Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung

đường cao vẽ từ đỉnh B/ và SA MCN / 2.SA NC /

Q /

P /



u 1

N

 Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz

đôi một vuông góc,

t 4 y

t x

t z

6 '

t 3 y

' t x

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình thamsố của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)

B M

Câu 1:

(d1) có vectơ chỉ phương u1 (1; 1; 2)

(d2) có vectơ chỉ phương u2 (1; 3; 1)

117

B

N



 Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc  và ABC đều, nên suy ra H là trung điểm AB

 Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz

đôi một vuông góc, H(0; 0; 0),

1 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (3) đối xứng với (2) qua (1)

2 Xét mặt phẳng ( : x + y + z + 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu của (2) theophương (1) lên mặt phẳng ()

3 Tìm điểm M trên mặt phẳng () để MM MM                             1  2

đạt giá trị nhỏ nhất biết M1(3; 1; 1)và M2(7; 3; 9)

x

H

a 2

a 3 2

y

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc

 Gọi H là hình chiếu của A trên (1)

 Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H  A/(-1; -1; -7)

 Gọi K là hình chiếu của B trên (1) và B/ là điểm đối xứng của B qua K Tương tự như trên ta tìm được:

2 Mặt phẳng () chứa (2) và () // (1)

 () có cặp vectơ chỉ phương u1 ( 7; 2; 3), u2 (1, 2, 1)

 [u ; u ] ( 8; 4; 16) 1 2     4(2; 1; 4) 4n , với n (2; 1; 4)

 Phương trình mp () qua A(7; 3; 9)  ( )2 với pháp tuyến n

:( ) : 2x y 4z 53 0    

 Ta có: ( ) ( ) ( )    /2 là hình chiếu của (2) lên () theo phương (1)

 Vậy, phương trình hình chiếu /2

x y z 3 0( ) :

 M là hình chiếu của I trên ()

 Phương trình đường thẳng () qua I

và vuông góc với () là:

 Gọi H là trung điểm BC  AH BC.

 ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a  AH2a và BH a 3 BC a 3

(AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a)

 Vậy, AB/I vuông tại A

 Ta có: /

2 /

 Gọi H là trung điểm BC  AH BC

 ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

aAH

2

2

 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

B

C A

H

I

y z

Vậy, AB/I vuông tại A.

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ n1(0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương AB , AI / , nên có pháp vectơ:

 Gọi  là góc giữa (ABC) và (AB/I), ta có: