SKKN: Gia tri tuyet doi

* Giá trị tuyệt đối của số nguyên dơng là chính nó.. * Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó và là một số dơng.. * Trong hai số âm, số nào có Giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn

A- Những kiến thức cơ bản về Giá trị tuyệt đối.

nếu

a

-0 a

0 a nếu

b a

b a b

| 3 1

1 2

| 1 2

0 A(x) nếu

3

5 x nếu 5 - 3x

0 5

- 3x nếu 3x - 5

0 5 - 3x ếu 5

3x

-x

n x

3 5

5 3

Ví dụ 2: | 5 |

Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của O là số O

* Giá trị tuyệt đối của số nguyên dơng là chính nó

* Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó (và là một số dơng)

* Trong hai số âm, số nào có Giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn

* Hai số đối nhau có Giá trị tuyệt đối bằng nhau

Ví dụ 3:

Do đó bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng bởi tập các số của đoạn [- 3, 3] và trên trục

số thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [-3 ; 3]

-3 0 3Tổng quát:

Ví dụ 4:

Do bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng tập hợp các số của hai khoảng [- ∞; 3] và [3; +∞] và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai khoảng tơng ứng với các khoảng số đó

Tổng quát:

II- Các tính chất về gí trị tuyệt đối:

1) | a | ≥ 0 ∀ a (Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối)

, 0

b a

0 3

0 3

3 0

0 a nếu 3

a -

0 a nếu a

3 3

a

a a

a a

0 a nếu 3

a -

0

a nếu 0

a nếu 3 a -

0

a nếu

Thật vậy : theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối ta có:

0

a nếu

a a

=> | a | ≥ a => -| a | ≤ -a

5) | a + b | ≤ | a | + | b |

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0

Thật vậy: theo (4) -|a| ≤ a ≤ |a|

b a

0 a hoặc hoặc

0

0 0

0

b

a b

Đều suy ra | ab| = | a | |b| = 0 (1)

Từ (1);(2);(3);(4) và (5) => đ/c c/m

)(

()(

;0

0

)4()

(

;0

0

)3()

(

;0

0

)2(

;0

0

b a ab b

a b a b a ab

b b

a a

b

a

b a ab b

a b a ab

b b a a

b

a

b a ab b

a b a ab b

b a a

b

a

b a ab b

a ab b

b a a

ab abvµ

ab 0abvµ

ab0abvµ

9) Thật vậy: xét các khả năng sau:

Từ (1);(2); (3) ;(4) và (5) suy ra điều cần chứng minh

III- Bài tập áp dụng :

1- Bài tập áp dụng khái niệm :

a- Bài tập trắc nghiệm :

Hãy khoanh tròn vào các chữ a), b), c), d)

nếu đó là câu đúng (Các câu 1,2,3)

Câu 1: Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là | a|

0

) 4 (

0

) 3 (

0

) 2 (

0

) 1 (

|

|

|

| 0

a b

a b

a b

a b

a

b b a a b

a

b

a b

a b

a b

a b

a b

a

b b a a b

a

b

a b

a b

a b

a b

a b a

b b a

a b

a

b

a b

a b

a b

a b

a b

a b a

b b a a b

a

b

a b

a b

b

a b

a Ta

a dó

Khi

0 ab và

và b

a

0 ab

và

thi

b

a dó

Khi

0 ab

và thi

b

a dó

Khi

0 ab

và

thi

b a có

BiÓu diÔn c¸c sè a tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn trªn trôc sè.

Bµi 3: a) Cã bao nhiªu sè nguyªn x tho¶ m·n | x | < 30

b) Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x, y) sao cho | x | + | y |

( C¸c cÆp sè nguyªn (1, 2 ) vµ (2, 1) kh¸c nhau)

c) Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x, y) sao cho | x | + | y | < 5

Bµi 4 : Cho | x | = 7 ; | y | = 20 víi x, y ∈ Z

Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn bởi số nguyên x ) di chuyển từ điểm – 2 đến điểm 1 rồi

từ điểm 1 đến các điểm về bên phải trục số Dựa vào giá trị của x hãy rút gọn biểu thức sau:a) | x - 1 | + | x + 2 |

2

)1(1

2

m x

m x

m

x

m x

) ( )

( 0

) ( )

(

x B x A

x B x

A x

B

x B x

b x A b

b x A

) (

) ( 0

) (

1 2

5 1 2 )

1

(

x

x x

x víi 3

x víi 1) - 2x ( - 3 - x

3) x

( 1 2 3 )

2

(

x x

x

) ( )

(

x

b x A x

b x A b

) ( ) ( )

( ) (

x

x B x A x

x B x A x

B x

VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh | x | - 1 = 2x + 5 (4)

+) NÕu x ≥ 0 (4) <= > x – 1 = 2x + 5 <= > x = - 6 (lo¹i) v× - 6 < 0+) NÕu x < 0 (4) – x- 1 = 2x+ 5 <= > x = - 2

VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (4) lµ S= {-2}

Dạng 5: 





=

−

=

<=>

=

) ( ) (

) ( )

( )

( ) (

x B x A

x B x

A x

B x A

Ví dụ: Giải phơng trình | x + 3 | = | 2x – 1 | (5)

Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình (5) là Dạng 6: Phơng trình có chứa một số biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối |A1(x) | + | A2(x) | +……+ | An (x)| = B(x) +) Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu ta phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Giải phơng trình a) | x + 1 | + | x – 2 | + | x – 3| = 5 (6) +) Lập bảng xét dấu x -∞ -1 2 3 +∞

x+ 1 - + + +

x+ 2 - - 0 + +

x+ 3 - - - 0 +

+) Bảng tính giá trị tuyết đối x -1 2 3

|x + 1| - x- 1 0 x + 1 x + 1 x + 1 |x – 2| 2 – x 2 – x 0 x - 2 x- 2 | x – 3) 3 –x 3 –x 3 –x 0 x – 3 Vế trái (6) - 3x – 4 6 – x x + 2 3x - 4 Nếu x < -1 (6) <= > - 3x + 4 = 5 < => x = 1/3 (loại) Nêú –1 ≤ x ≤ 2 (6) <= > 6 – x = 5 <= > x = 1 +) Nếu 2 < x ≤ 3 (6) <= > x + 2 = 5 < => x = 3 +) Nếu x > 3 (6) < => 3x – 4 = 5 <= > x = 3 (loại) Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình (6) là S = { 1; 3 } b) | 2x + 1 | + 2x – 5 | = 4 (6')

Cách 1: Lập bảng xét dấu giải nh ví dụ a

Cách 2: Ta nhận thấy

VT = | 2x – 1 | + | 2x – 5 | = | 2x – 1 | + | 5 – 2x |

≥ | ( 2x – 1) + ( 5 –2x ) | = 4 = VP

Nh vậy | 2x – 1 | + | 5 – 2x = | ( 2x – 1) + ( 5 –2x ) |

Điều này chỉ xảy ra khi ( 2x – 1) ( 5 –2x ) ≥ 0

Giải bất phơng trình này (xét dấu ) ta đợc

2

5 2

1

≤

≤ x

Đây chính là tập hợp các nghiệm của phơng trình (6')











=

−

=

⇔







+

= +

+

−

= +

⇔

4 3

2 1

2 3

) 1 2 ( 3 )

5 (

x

x x

x

x x

}





−

3 2

S

)(

VÝ dô: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

)

1 2 1

x

d

x x

c

1 )

1 ) 2

C¸ch gi¶i :

+) NÕu b < 0 => bÊt ph¬ng tr×nh (II) cã nghiÖm víi ∀ x ∈ R

VÝ dô: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:

a) | x – 3 | ≥ 9 (2)

VËy (2) cã nghiÖm lµ x ≤ 6 ; x ≥ 12

b) | x – 3 | ≥ 1 – m (2')

+) NÕu 1 – m < 0 < => (2') cã nghiÖm víi ∀ x ∈ R

KÕt luËn : * m > 1 (2' ) cã nghiÖm víi ∀ x ∈ R

) ( ) (

) ( )

( 0

) (

) ( )

(

x B

x B x A

x B x

A x

B

x B x

b A(x)

b - A(x) (II)

0 b Õu

3

9 3 )

2

(

x

x x

m x

4

2 )

m - 1 3

- x

1 - m 3 - x ) (2' 0 m

) ( ) ( ) ( 0

)

(

) ( )

(

x B

x B x A x B x

B

x B x

−

≥ +

4 3

4 6

0 5

2 1 5

5 2

1

0 5

5 2

1 5 )

3

(

x

x x

x x

x x

x x

x

x x x

Ví dụ: Giải bất phơng trình : | x + 1 | ≥ 2x - 1 (4)

Vậy nghiệm của bất phơng trình (4) là ≤ ≤ ∈2;2

1 2

2

1

x hay x

) ( )

( )

( )

Vậy nghiệm của bất phơng trình là x > 1/2

Dạng 6: Bất phơng trình chứa nhiều biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

1

2 1 2 2 1 0

2 1 2 0

0 1 2

1 2 1

2 1 1 )

4 (

x x

x x x

x x x x

x x

x x

x của trị giá

có Không

KÕt hîp (*) vµ (**) nghiÖm cu¶ bÊt ph¬ng tr×nh lµ x < 0 ; x > 6.

x d

x x

x c x

x b x

x a

− +

| )

5 3 3

1 )

1 1

2 3 )

2 3

1 )

2 2 2

3

26 4

2

0 2

26 )

2

5 3

2

5 3

)

8 1

.

;

3

; 3

1 )

2

; 3

4 )

x b

x

x x

d

x x

8 - 1 x

a) :

6

Bµi

5 x

-e)

7 x

; 1 - x

d)

1 x

c)

1 x

b)

1 x

; 0 x a) :

4

Bµi

3

* Trớc hết ta quan tâm đến khái niệm điểm đối xứng với một điểm qua một đờng thẳng.

Điểm A' đợc gọi là đối xứng với điểm A qua đờng thẳng a là đờng trung trực của đoạn thẳng AA'

- Cách vẽ điểm đối xứng với điểm A qua đờng thẳng a

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (Chỉ lấy phần bên phải trục oy bỏ phàn bên trái )

+) Lấy đối xứng với phần bên phải trục oy qua trục oy

Lấy phần đồ thị (C) trên trục ox)

+) Lấy đối xứng qua ox phần đồ thị (C) phia dới trục ox,sau đó bỏ phần phía dới trục ox.c) Ví dụ: Vẽ đồ thi hàm số y = | x - 1 |

0xnếux

f(

ythấy

Ta

)(

)()

x f

x f

xnếu2-x2 - | x | ythấy

f nếu f(x)

-0 (x) f nếu )

( )

1xnếu1-x |1-x |y

thấy

Ta

a) Nhận xét :

b) Cách vẽ

+) Vẽ đồ thị (C) phía trên ox (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua oy (C2)

+)Lấy đối xứng qua ox phần bên dới trục hoành của (C1) và (C2) là (C3)

+) Lấy phần bên trên trục ox, bên phải trục oy (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua oy ta đợc (C2)

+) Lấy đối xứng với phần dới ox của (C1) và (C2) qua ox ta đợc (C3)

(

0)

(

0))

()

(

x(

f nếu

xnếu

x(f,0xnếu

x f

x f

x f x

f y

3

0 2

3

2 3

x x

x x

x

2

3 x nếu 2

3 - nếu

2

3 x 0 nếu x

2 - 3 y thấy

0 y nếu ) (

) ( )

(

)

x f y

x f y x

f

y

b

+) Lấy đối xứng với (C1) qua ox ta đợc (C2) y

RT (*) có nghiệm khi hai đồ thị của hàm số này giao nhau do đó

* Căn cứ vào đồ thị ở cây a ta thấy

+ Nếu m < 4 thì phơng trình đã cho vô nghiệm

2

) 1 4

) 2

2

)

3 2 1

(C x

với

(C x 3 - với

(C 3 - x với

9

10) | A(x) | ≥ 0 ∀ x §¼ng thøc s¶y ra < => A(x) = 0

11) | A(x) +B(x) | ≤ | A(x) | +| B(x) | §¼ng thøc s¶y ra < => A(x) B(x) ≥ 012) | A(x) - B(x) | ≤ | A(x) + B(x) | §¼ng thøc s¶y ra < => A(x) B(x) ≤ 02- C¸c bµi tËp ®iÓn h×nh

Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

tù däc

¹n

B

( 2

)

1 1

)

) 1 (

x y

e

x y

d

x y

15

0)

Ara

yx¶

thøc

§¼ng

| B(x) -A(x) |

| B(x) |

A

ra yx¶

thøc

§¼ng |

B(x) |

| A(x) | |B(x)

-A(x)

|

| (x)B |

| A(x) |

0B(x)A(x)

ra yx¶

thøc

§¼ng |B(x) |

| A(x) | |B(x)

-A(x)

|

Do x > 3 => 2x > 6 => B > 6 - 5 = 1 (3)

Từ (1) ; (2) và (3) =>Min B = 1 < => 2 ≤ x ≤ 3

Cách 2: Ta có B = | x -2 |+ | x - 3 | = | x - 2 | + | 3 - x | ≥ | x - 2 + 3 - x | = 1Dấu " = " xảy ra < => ( x - 2 ) ( 3 - x ) ≥ 0

Vậy max D = 5 < => x ≤ 2 ; x ≥ 7

Bài tập đề nghị

nhất nhỏ

trị gía dạt C'

nhất nhỏ

trị giá

dạt

x C

thấy

Ta

2 x

; Z x với

2 2

2

2 1

2

2 2

−

=

⇔

− +

x x

x

x

C

1 1

2

= +

2 - 1

2 1 C

min

Vậy

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài3: Cho M =3x2- 2x + 3x2 - 2x + 6 |x| + 1

Tính giá trị của M biết x, y là số thực thoả mãn xy = 1 và |x +y | đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho a< b < c < d là 4 số thực tuỳ ý

Tìm x để f(x) = |x - a |+ |x - b | + | x - c | + | x - d | đạt giá trị nhỏ nhất

Hãy tổng quát bài toán trên với n số thực

Hớng dẫn đáp sốBài 1: a) max A= 9 < => x = 1

Dấu " = " xảy ra khi (x - b ) ( c - x ) ≥ 0 < => b ≤ x ≤ c

Vậy f(x) ≥ d + c - b - a.=> min f(x) = d + c - b - a< => b ≤ x ≤ c

Tổng quát : Cho n số thực a1 < a2 < < an Xét hai trờng hợp

* Trờng hợp 1: n = 2k (k ∈ N*)

Ta có | x - a 1| + | x - a2k | ≥ a2k - 1

| x - a 2| + | x - a2k- 1 | ≥ a2k - 1 - 1

) 1 1

( 2 )

1 1

( 2 )

) 2005 (

) 2004 (

)

5 4

)

3 3

2 )

2

1 )

1 2

1 )

9 1 )

2 2

2 2

+

− +

+ +

+ +

=

− +

−

=

− +

+

−

− +

x x

E

e

x x

D

d

x x

C

c

x x

B

b

Tim

Z x x

x

C

c

x B

b

x A

a

1 - 2x 5

A

a)

thức biểu

của nhất lớn

trị giá

:

2

Bài