SKKN Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Khi gặp một bài toán về giá trị tuyệt đối, nhiều học sinh lúng túng vìkhông biết phải bắt đầu từ đâu và không vận dụng được lý thuyết trong sách giáo khoa để chỉ ra phương pháp giải bài

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I Lời giới thiệu :

Toán học được ví như là chiếc chìa khóa vàng, để mở cánh cửa kho tàng tri thức của nhân loại Môn toán có tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính chính xác, thẩm mỹ cùng sự kiên trì, nhẫn nại Toán học rất phong phú và đa dạng nhưng trong chương trình Toán THCS “Giá trị tuyệt đối của một số” là một mảng kiến thức rất nhỏ, khá khó và tương đối trừu tượng Khi gặp một bài toán về giá trị tuyệt đối, nhiều học sinh lúng túng vìkhông biết phải bắt đầu từ đâu và không vận dụng được lý thuyết trong sách giáo khoa để chỉ ra phương pháp giải bài toán Điều đó cũng dễ hiểu, vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số lượng bài tập để củng cố, để khắc sâu và

để bao quát hết các dạng toán trong sách giáo khoa thì lại không nhiều, không cósức lôi cuốn học sinh tích cực tìm tòi, nghiên cứu Vấn đề đặt ra là làm thế nào

để học sinh lớp 7 hiểu được một cách sâu sắc các kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ và nắm được cách giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao Đây cũng là lí do để tôi viết chuyên đề “Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ”

II Tên sáng kiến:

Chuyên đề: Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

III Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến :

IV Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

V Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Sáng kiến này được áp dụng giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 lần đầu tiên vào năm học 2015 - 2016

VI Mô tả bản chất của sáng kiến:

A Về nội dung của sáng kiến

1 Cơ sở lý thuyết:

Trong sách giáo khoa môn Toán 7 thì các kiến thức về giá trị tuyệt đối chỉ đượcnói đến ở một, hai bài và mang tính chất chung chung, trừu tượng Ngoài ra cácbài tập, các dạng toán về giá trị tuyệt đối còn ít và đơn điệu, chưa có hệ thống,

chưa khai thác hết các dạng bài tập cũng như chưa đi sâu phát triển kiến thứcnâng cao.

2 Cơ sở thực tiễn:

Khi dạy về giá trị tuyệt đối mà chưa áp dụng sáng kiến tôi thấy học sinh chỉ làmđược các bài toán ở mức độ rất đơn giản như là nhận biết Song khi gặp các bàitoán ở mức độ thông hiểu và mức độ vận dụng thì các em còn lúng túng vì chưaxác định được dạng toán và phương pháp giải, vận dụng kiến thức chưa sángtạo

3 Khảo sát thực tiễn của đề tài:

b) Phân tích nguyên nhân

-Học sinh chưa biết liên hệ giữa các kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao-Học sinh chưa thể tự phân dạng và hình thành phương pháp giải

-Khả năng vận dụng kiến thức còn yếu

4.Giải pháp:

Khi dạy về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ, giáo viên cần xây dựng thành mộtchuyên đề cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản và nâng cao

Phân dạng bài tập và phương pháp giải phù hợp cho từng dạng bài tập đó

Chuyên đề: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT

SỐ HỮU TỈ 4.1 Kiến thức lý thuyết về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

4.1.1.Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá

trị tuyệt đối của số a

Kí hiệu: a

4.1.2Tính chất: Với a, b, x, y �Q, ta luôn có:

a) Với x� 0, ta có x x

h) Với hai số x, y , ta luôn có x  y �x y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y � 0

i) Với hai số x, y , ta luôn có x  y �x y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y � 0 và x  y

4.2 Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

4.2.1.Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Học sinh cần thấy được sự giống và khác nhau giữa dạng toán này với dạng toántính giá trị của một biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A = 3x2 - 2x + 1 với x = 2

Phân tích: với x = 2 thì x = 2 hoặc x = -2 nên có hai giá trị tương ứng của A

Lời giải:

x = 2 nên x = 2 hoặc x = -2

* Với x = 2 ta có A = 3.22 - 2.2 + 1 = 9

* Với x = -2 ta có A = 3.(-2)2 - 2.(-2) + 1 = 17.

Vậy với x = 2 thì A = 9 hoặc A = 17

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:

B = 2 x - 2 - 3 1- x tại x = 4

Phân tích: Đối với bài toán này học sinh phải biết thay x = 4 vào biểu thức B

sau đó bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị của biểu thức B

a) A = 3a – 3ab –b; b) B=

b

a 3 3

2 

x

c) C  2x 2  1  x với x = 4

d)

1 3

1 7

4.2.2 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đối với dạng toán này học sinh cần nhớ : + Với x � 0, ta có x x

Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức cần xét xem giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm Dấu của các biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu

Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn biểu thức

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 3) - x - 8

Phân tích: Ở bài toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét 2 trường hợp

của biến x làm cho x - 8  0 và x - 8 < 0

Phân tích: Ở đây biểu thức A có chứa 2 biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

do đó để đơn giản trong trình bày giáo viên , cần hướng dẫn cho học sinh lập

bảng xét dấu.

Xét 3 trường hợp tương ứng với 3 khoảng giá trị của biến x

Hoặc có thể cho học sinh lập bảng biến đổi sau:

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi

7

1 5

3 7

3 7

1 5



�

� �  � 22 42

x x



�

� �  � 21

x x

5 3

1 2

3





 x Đáp án:

1 2

3 5

4 2

5 2

1 4

3 5 ,

4  x 

Đáp án:

9 5

,

6  x  b) : 4 51 27

2

3 4

3 : 5 , 2 4

21





 x Đáp số:

b a b



�

� � � �x= 0Vậy x = 0

5 2

7 4

5 8

Cách 1: Ta thấy nếu g(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị

tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

Ta giải như sau: f(x) g(x) (1)

+Nếu f(x)  0 thì (1) trở thành: f(x) = g(x) Từ đây tìm được x sau đó đối chiếugiá trị x tìm được với điều kiện rồi kết luận

Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện

+Nếu f (x ) < 0 thì (1) trở thành: - f(x) = g(x) Từ đây tìm được x sau đó đốichiếu giá trị x tìm được với điều kiện rồi kết luận

A B

Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B � 0 nhưng kết quả không thay đổi Cách giải: A B � 0 (1)

Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất

không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có cácbài tương tự

Từ (1) và (2) suy ra 2007 0

2008 0

x y

x y

11 5 , 1 4

3 2

1 3

2

1 2 1 3

Bài 7: Tìm x, y thoả mãn:

a) 2007 2x y2008 2008y 42007  0; b) 0

3

2 10 3

7 5

4 2008

2007 2

1 4

3 2

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

1 3 2

Bài 2: Tìm x, biết:

a) 2x 6 x3 8 b) 2x2  4 x 11

c) x5  x 39 d) x 2  x 3  x 4 2

Bài 3: Tìm x, biết:

Vì 2x 3 ;0 � x 5 � 0; 3x 4 � 0với mọi x nên 12 – x  0�x�12

Với điều kiện x�12 thì phương trình (1) trở thành

2x + 3 +x – 5 + 3x – 4 = 12 – x

�7x = 18

�x = 18 22

7  7( thỏa mãn)Vậy x = 22

101

3 101

2 101

1

4 3

1 3

2

1 2

c) x x x x 50x

99 97

1

7 5

1 5

3

1 3

1

13 9

1 9

5

1 5

 

�

35( / )7

b) 3x 1  5 2 3 1 5 2

x x

 

�

� �  � 33 68

x x



�

� � �

283

x x

 

�

� �  � 33 24

x x



�

� � �

2343

x x

3 1 2

Do A  0 nên từ (1) ta có: 0 B  m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng

Ví dụ : Tìm các cặp số nguyên (x,y), biết:

A

(2)

Từ (1) và (2)  0 A B m từ đó giải bài toán A  B k với 0 k  m

Ví dụ : Tìm các cặp số nguyên (x,y), biết: 3 2x 1  4 2y 1  7

Lời giải:

7 1 2

Vậy các cặp số nguyên(x; y) thỏa mãn đề bài là (0;0); (0; 1); (-1; 0); (-1; 1)

Dấu “=” xảy ra khi (2-3x)(3x+1) �0 1 2

m A B

10 5

Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

8 1

y y

x x

c)  3 2

12 5

x

Bài 3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

3 1

14 7

y

5 2 3

20 4

x

4.2.5 Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

*Dạng 5.1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tínhchất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: P 2 12

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  5 0 � x  5

Vậy biểu thức P đạt giá trị lớn nhất là PMax = 5 khi x = -5

i) I   2 , 5  x  5 , 8 k) K  10  4x 2

l) L 5  2x 1 m)   123

x M Đáp số:

a)AMax = 0,5 khi x = 3,5 b)BMax = -2 khi x = 1,4 c)C

Max = 22

3 khi x = 2d) DMax = 33

4 khi x = 1 e) EMax = 5, 5 khi x =3

4

f) FMax = -14 khi x = 3,4

g) GMax = 4 khi x = 2

5, y= - 4 h) HMax = 1 khi x =2,5i) IMax = -5, 8 khi x =2,5 k) KMax = 10 khi x =2 l) LMax = 5 khi x = 0,5

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A 1 , 7  3 , 4  x b) Bx 2  , 8 3 , 5 c) C  3 , 7  4 , 3  x

d) D 3x 8 , 4  14 , 2 e) E 4x 3  5y 7 , 5  17 , 5 f) F  2 , 5  x  5 , 8

g) G  4 , 9 x  2 , 8 h)

7

3 5

c) 54 3 5 204 5 8

y x

C d)  62  2 2432 16

x y x D

21 3

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

*Dạng 5.2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

a) A  2x 5  2x 6 b) B  3x 4  8  3x c) C   5 5  x  5x 7

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) Ax 1  x 5 b) Bx 2  x 6  5 c) C  2x 4  2x 1

* Dạng 4.3: Sử dụng bất đẳng thức a b ab

Ví dụ : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2015  x 2016  x 2017

b)Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x    3 y 2 2

Lời giải:

a) Ta có x 2015  x 2017  x 2015   x 2017 �x 2015  x 2017  2

Dấu “=” xảy ra khi (x+2015)(x-2017) � 0�  2017 � �x  2015

Lại có x 2016 �0

Do đó x 2015  x 2016  x 2017 � 2 Dấu “=” xảy ra khi x = -2016

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 2 khi x = -2016

b) Với 2x+y = 3, ta có 2x   3 y 2 � 2x    3 y 2 8

Dấu “=” xảy ra khi

1 2x y 3

x y

2   

C

B.Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

Sáng kiến này có thể áp dụng trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng họcsinh giỏi lớp 7 ở các trường THCS Tôi đã tiến hành áp dụng sáng kiến trongcông tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 trường THCS và đã thuđược kết quả rất tốt Hi vọng sáng kiến này được nhân rộng ở các trường THCStrong huyện để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán 7

VII Những thông tin cần được bảo mật : Không

IX Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

-Phải có sự quan tâm, chỉ đạo của Ban Giám Hiệu

-Phải có đối tượng là học sinh lớp 7

-Giáo viên bộ môn phải có trình độ chuyên môn chuẩn hoặc trên chuẩn

-Giáo viên phải có ý thức tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ

-Phải có môi trường dạy học với đủ đồ dùng thiết bị dạy học như sách vở, phấn,bảng, thước, máy tính, máy chiếu hoặc bảng phụ …

-Phụ huynh học sinh phải có sự quan tâm đến con em mình và thường xuyênphối kết hợp với giáo viên trong việc giáo dục học sinh

X Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến :

10.1.Kết quả thu được

Sau khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho HS lớp 7A1 trường THCS thì kếtquả khảo sát như sau:

HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

thi

Số HS đạt giải

Xếp giải

2015 - 2016 Toán 7

ToánViolympic

MathViolympic

KK-Qua bảng số liệu trên cho ta thấy chuyên đề: “Giá trị tuyệt đối của một số

hữu tỉ” đã mang lại hiệu quả đáng kể trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học

sinh đại trà cũng như học sinh giỏi Từ đó ta thấy cần thiết phải áp dụng sángkiến cho những năm tiếp theo

10.2 Đánh giá lợi ích thu được:

-Trong lịch sử phát triển của các dân tộc qua nhiều thời đại đã luôn xác địnhvai trò của con người tài năng là yếu tố quyết định cho các sự nghiệp của dân tộc.Chính nhà trường là nơi đào tạo ra các nhân tài Trong các nhà trường THCS việcnâng cao chất lượng đại trà luôn được tiến hành song song với việc phát hiện và bồidưỡng học sinh giỏi Đây cũng là nhiệm vụ của đội ngũ cán bộ quản lý giáo dục vàcủa người giáo viên trực tiếp giảng dạy Xuất phát từ nhiệm vụ đó tôi đã tìm tòi,nghiên cứu để viết và áp dụng sáng kiến trên vào công tác giảng dạy của mình.Chính vì vậy mà chất lượng học sinh giỏi và chất lượng bộ môn Toán 7 củatrường THCS Liên Châu do tôi giảng dạy luôn đứng tốp đầu trong toàn huyện.Sáng kiến này nếu được nhân rộng sẽ góp phần thúc đẩy công tác dạy và họcmôn toán 7 trong các nhà trường THCS nói chung và các trường THCS trên địabàn huyện Yên Lạc nói riêng

-Đối với học sinh lớp 7 đã sử dụng sáng kiến đều khẳng định rằng sángkiến này giúp học sinh nắm vững các kiến thức về giá trị tuyệt đối của một sốhữu tỉ và biết vận dụng để làm được bài tập từ đơn giản đến phức tạp một cách