Chuyên đề khảo sát HS-Ôn thi TN 12

Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông BôngChủ đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT, VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN A.. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 1 Tìm TXĐ của

Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông

Chủ đề 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT, VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

A LÝ THUYẾT.

I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.

1 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b).

 Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b)

 Nếu f’(x)< 0 với mọi x  (a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b)

2 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (x 0 - h; x 0 + h) và có đạo hàm trên khoảng đó (có thể trừ điểm x0)

Hàm số đạt cực trị tại x0 nếu và chỉ nếu f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0

3 Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C), ta có:

Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của (C) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim ( ) 0, lim 0

x f x y x y

      Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

4 Các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

1) Tìm TXĐ của hàm số và xét các tính chất: tính chãn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có).

2) Xét sự biến thiên của hàm số:

 Tính đạo hàm, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

 Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số

 Tìm các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có)

 Lập bảng biến thiên

3) Vẽ đồ thị.

 Xác định một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị

 Vẽ đồ thị

5 GTLN, GTNN của hàm số liên tục.

1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

: ( ) : ( )

Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

: ( ) : ( )

2)Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)

+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)

+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN (GTNN) của hàm số trên (a,b)

f(x)

CT

Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông

3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]

+ Tìm các điểm x1,x2, , xn  [a,b] mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định + Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

[ , ] [ , ]

max ( ) ; min ( )

a b

a b

Chú ý:

 Có thể sử dụng tính chất của bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, khoảng.

 Hàm số liên tục trên một đoạn luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có GTLN, GTNN.

II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

6 Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2) Số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) là số nghiệm phân biệt của phương trình f(x) = g(x) và ngược lại.

7 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đồ thị (C) và x0 (a; b) Nếu tồn tại đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 thì tiếp tuyến với (C) tại M 0 (x 0 ; f(x 0 )) có phương trình

là : y - f(x0) = f’(x0)(x - x0).

B RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN.

I Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

 Thực hiện theo các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1 Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx +d (a ≠ 0).

Các dạng của đồ thị hàm số bậc 3

Phương trình

y’ = 0 có hai

nghiệm phân

biệt

x

y

y

1

Phương trình

y’ = 0 có

y

y

1

Phương trình

y’ = 0 vô

nghiệm

x

y

y

1

Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = - x3 + 3x2 -2 ;

Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R

y’ = -3x2 + 6x

y’ = 0  -3x2 + 6x 0

2

x x





 y’ > 0 khi x (0;2)nên hàm số đồng biến trên (0; 2)

y’ < 0 khi x   ( ;0) (2; )nên hàm số đồng biến trên ( ;0) (2; )

Khi qua x = 0 đạo hàm đổi dấu từ - sang + nên x = 0 là điểm cực tiểu  yct = y(0) = -2 Khi qua x = 2 đạo hàm đổi dấu từ + sang – nên x = 2 là điểm cực đại  ycđ = y(2) = 2

lim ( 3 2) ; lim ( 3 2)

Bảng biến thiên

-y

+

-2

2

-

Đồ thị

Một số điểm đặc biệt

x = -1  y = 2  A(-1; 2)

x = 1  y = 0  B(1; 0)

x = 3  y = -2  C(3; -2)

Bài tập tự làm

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số

sau:

a) y = x3 – 6x2 + 9x; b) y =

-x3 + 3x2 ;

c) y = 2x3 + 3x2 – 1; d) y =

-x3 + 3x2 - 9x +1

2 Hàm số bậc bốn trùng phương

y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0).

Các dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng

phương

Phương trình

y’ = 0 có ba

nghiệm phân

biệt.

x y

1

x y

1

x y

f x   = -x  3 +3x 2 -2

1

Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông

Phương trình

y’ = 0 có một

nghiệm.

x y

1

x y

1

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x4 – 2x2 + 1

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R

y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 x = 0; x = -1; x = 1

y’ > 0 khi x  ( 1;0) (1; )do đó hàm số đồng biến trên ( 1;0) (1;  )

y’ < 0 khi x    ( ; 1) (0;1) do đó hàm số nghịch biến trên (  ; 1) (0;1)

x = -1 và x = 1 là các điểm cực tiểu => yct = y(-1) = y(1) = 0

x = 0 là điểm cực đại => ycđ = y(0) =1

lim ( 2 1)

x x x

Bảng biến thiên

x - -1 0 1 +

y’ - 0 + 0 - 0 +

y + 1 +

0 0

Đồ thị

Bài tập tự làm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

của các hàm số sau:

a) y = x4 – 2x2 + 1 b) y = -x4

+ 3x2 + 4; c) y = x4 - 3x2 +

4;

d/ y = x4 – 2x2 – 1 e/ y =

4

2 3

x

x

   f/ y = - x4 + 2x2

3 Hàm số bậc nhất trên bậc nhất

ax b

y

cx d





 (ad - bc ≠ 0, c ≠ 0 ).

Các dạng đồ thị

x y

Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông

x y

L

y

1

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a/ y = 2 4

1

x

x



2

x x





Hướng dẫn: Đồ thị của các hàm số như sau

a) y = 2 4

1

x x



2

x x





x

y

f x   = 2x-4

x-1

2 4

x

y

f x   = 2x-4 x-1

2 4

Bài tập tự làm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1

x

y

x





 b) 2

x y

x







2 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Bài toán 1: Viết PTTT của hàm số y = f(x) (C) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 )

Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = f (x0)(x – x0);

Bước 2: Tính f (x); Suy ra f (x0);

Bước 3: Thay x0, y0 và f (x0) vào bước 1

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 5

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; 5)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ là x = -1; x = 1;

HD:

a) TXĐ: D = R

y’ = 3x2 - 6x

2

x

x





 Bảng biến thiên:

y

-

5

1

+

Đồ thị:

b) Tại M(3; 5)

phương trình tiếp

tuyến của đồ thị

hàm số có dạng

y – y0 = f (x0)(x –

x0);

Với x0 = 3; y0 = 5;

f’(3) = 9

Vậy phương trình

tiếp tuyến là y = 9x

- 22

c) * x = -1  y = 1; f’(-1) = 9

 phương trình tiếp tuyến là y = 9x + 10

* x = 1  y = 3; f’(1) = -3

 phương trình tiếp tuyến là y = -3x + 6

Bài tập tự làm Bài 1: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-2; 5)

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1

Bài 2: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2

x y

1 5

2 O

1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm có hoành độ là x = 0, -2, 2

Bài 3: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2

3 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết phương của tiếp tuyến

Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.

(hay: biết phương tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (d) )

C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k   x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)

 Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x 0 ) + y 0 ta có kết quả

C2:  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)

 Bước 2: Lập và giải hệ pt: f x f x( )'( )kx m k 



  m = ? thay vào (**) Ta có kết quả

Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 5 1

3x

Hướng dẫn :

a) Đồ thị :

b) Tiếp tuyến song song với đường

thẳng y = 5 1

3x

  nên hệ số góc của

tiếp tuyến là

f’(x0) = 5

3

  3x2 – 6x = 5

3  9x

2 – 18x + 5 = 0  x = 5

3 và x =

1 3

HS tự làm tiếp.

Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = 1

3

x x



 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất

Hướng dẫn:

a) Đồ thị:

b) HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất

là: y = x Tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng y = x, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến

là k = -1

Do đó f’(x) = -1 

2 2

5 4

1 3

x x

x x





x = 5  y = 3

x = 1  y = -1

ĐS: y = -x và y = -x + 8

x

f x   = x+1 x-3 -1

O 1

x

y

f x   = x  3 -3x 2 +4

2 4

Bài tập tự làm

Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24

c) Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 1

d) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x - 3

4 Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng f(x) = m

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:

1) x3 + 3x2 – 4 = m; 2) x3 + 3x2 – m = 0

HD: a) BBT:

y

+

0

-4

-

Đồ thị:

b1) Số nghiệm của phương trình

x3 + 3x2 – 4 = m chính bằng số

giao điểm của đồ thị hai hàm số

y = x3 + 3x2 – 4 (C) và đường

thẳng y = m (song song với trục

Ox)

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Với m > 3 hoặc m < 0 thì pt có

một nghiệm,

Với m = 4 hoặc m = 0 thì pt có

hai nghiệm

Với 0 < m < 4 thì pt có ba nghiệm phân biệt

b2) Phương trình x3 + 3x2 – m = 0  x3 + 3x2 – 4 = m – 4

Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 – m = 0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số

y = x3 + 3x2 – 4 (C) và đường thẳng y = m - 4 (song song với trục Ox)

(tương tự câu a) HS tự làm tiếp)

Bài tập tự làm

Bài 1: Cho hàm số yx33x21 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt

3  3x2   0

Bài 2: Cho hàm số yx4  2x2  1 có đồ thị (C)

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b.Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trìnhx4  2x2  m 0

Bài 3:Cho hàm số  32



x x

y có đồ thị (C) a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm

số đã cho tại hai điểm phân biệt

x

y

f x   = x  3 -3x 2 + 4

2 4

Bài 4: Cho hàm số yx33x21 cú đồ thị (C)

a Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3;1)

c Dựng đồ thị (C) định k để phương trỡnh sau cú đỳng 3 nghiệm phõn biệt x3  3x2  k 0

Bài 5: Cho haứm soỏ y = 1 4 2 3

2x  mx 2 coự ủoà thũ (C)

1) Khaỷo saựt vaứ veừ ủoà thũ (C) cuỷa haứm soỏ khi m = 3

2) Dửùa vaứo ủoà thũ (C), haừy tỡm k ủeồ phửụng trỡnh 1 4 2 3

3

2x  x 2 k= 0 coự 4 nghieọm phaõn bieọt

Bài 6: C ho hàm số 2 11



x y

x

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số

b Tỡm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phõn biệt

Bài 7: Cho haứm soỏ y = (2 – x2)2 coự ủoà thũ (C)

1) Khaỷo saựt vaứ veừ ủoà thũ (C) cuỷa haứm soỏ

2) Dửùa vaứo ủoà thũ (C), bieọn luaọn theo m soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh x4 – 4x2 – 2m + 4 = 0

5 Tỡm GTLN và GTNN của hàm số liờn tục trờn một đoạn

Phương phỏp: Sử dụng quy tắc tỡm GTLN, GTNN

Vớ dụ 1: Tỡm GTLN và GTNN của cỏc hàm số:

a) Tỡm giỏ trị lớn nhất giỏ trị nhỏ nhất của hàm số 1 4

2

  



x trờn 3; 5

b) Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = cos2x – cosx + 2

Hướng dẫn:

a) y’ = 1 - 2

4 (x  2) =  

2 2

4 2

x



 y’ = 0 

 

2

2 2

0 4

4 2

x

x x







Trờn [3;5] ta cú y’ = 0 khi x = 4

y(3) = 8; y(4) = 7; y(5) = 22

3 Vậy GTLN của hàm số trờn [3;5] là 8 đạt được khi x = 3

GTNN của hàm số trờn [3;5] là 7 đạt được khi x = 4

b) Đặt t = cosx với t  [-1; 1]

Khi đú bài toỏn đưa về tỡm GTLN và GTNN của hàm số y = f(t) = t2 – t +2 trờn [-1; 1] f'(t) = 2t -1

f’(t) = 0  t = ẵ

f(-1) = 4; f(1/2) = 7/4; f(1) = 2

Vậy GTLN của hàm số là 7/4 đạt được khi t = ẵ tức cosx = ẵ  x =

2 , K Z





GTNN của hàm số là 4 đạt được khi t = -1 tức cosx = -1  x =  K2 , K Z

Bài tập tự làm

Bài 1: Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của cỏc hàm số:

y x  x  trờn [-2;-1/2] ; [1,3)

b) y x  4 x2

c) 4 3

2sinx- sin

3

y x trên đoạn [0,π]] (TN-THPT 03-04/1đ)

d)y 2 os2x+4sinxc x[0,π]/2] (TN-THPT 01-02/1đ)

e) yx2 3x2 trên đoạn [-10,10]

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

y= x 1  3x 6x 9   trên đoạn[-1,3]

x



  với mọi giá trị x

6 Một số bài toán khác.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + (2m-1)x – 2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1;

b) Tìm m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu

Hướng dẫn:

a) m = 1 => y = x3 + 3x2 + x – 2 có đồ thị như sau:

b) Hướng dẫn

y’ = 3x2 + 6x + 2m -1

Hàm số có một cực đại

và một cực tiểu khi và

chỉ khi phương trình y’

= 0 có hai nghiệm phân

biệt và dấu của y’ thay

đổi khi đi qua các giá

trị đó

Do đó ’ = 9 -3(2m-1)

> 0  m < 2

Vậy với m < 2 thì hàm

số luôn có một cực đại

và một cực tiểu

Bài tập tự làm Bài 1: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4) ĐS: m = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1)

Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0

a) Xác định m để hàm số có cực trị

b) Khảo sát hàm số trên Gọi đồ thị là (C)

c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA

Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0

Bài 4: Cho hàm số

m x

m x m y







(m khác 0) và có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x

= 3, x = 4

x

y

f x   = x  3 +3x 2 +x -2

-1

O 1

Chủ đề 2

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

I TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC

1 Hàm số mũ, hàm số lôgarit

Hàm số y = a x (a > 0, a 1) y = log a x (a > 0, a 1)

x

Chiều biến thiên a > 1: Hàm số luôn đồng biến.0<a<1 : Hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận Ox là tiệm cận ngang Oy là tiệm cận đứng

Đồ thị

- Đi qua các điểm (0; 1), (1; a)

- Nằm phía trên trục hoành

- Đi qua các điểm (1; 0), (a; 1)

- Nằm bên phải trục tung

2 Phương trình mũ, phương trình lôgarit.

 Phương trình ax = b (a > 0, a 1) có nghiệm duy nhất x = logab khi b > 0, vô nghiệm khi b  0

 Phương trình logax = b (a > 0, a 1) luôn có nghiệm x = ab với mọi b

3 Bất phương trình mũ.

b > 0 (logab; +) (-; logab)

b > 0 (-; logab) (logab; +)

4 Bất phương trình lôgarit.

5 Một số điều kiện tương đương.

a) a > 0, a1 : af(x) = ag(x)  f(x) = g(x);

logaf(x) = logag(x)  ( ) 0

( ) ( )

f x









 b) a > 1 : af(x) < ag(x)  f(x) < g(x);

logaf(x) < logag(x)  0 < f(x) < g(x)

c) a > 1 : af(x) < ag(x)  f(x) > g(x);

logaf(x) < logag(x)  f(x) > g(x) > 0

II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN

1 So sánh hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.