MOT SO PT VA HE PT KHO GIAI

MỘT SỐ PƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ, HỆ PHƯƠNG TRÌNHVậy nghiệm của phương trình Bài 3: Giải phương trình: Giải Điều kiện: Áp dụng BĐT Bunhia-Côpxki ta có:... Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trìn

MỘT SỐ PƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Vậy nghiệm của phương trình

Bài 3: Giải phương trình:

Giải

Điều kiện:

Áp dụng BĐT Bunhia-Côpxki ta có:

mà

Vậy phương trình có nghiệm khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Hệ vô nghiệm , Vây phương trình vô nghiệm

Bài 4: Giải phương trình :

Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình đầu

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=1

Bài 6: Giải phương trình:

Giải

Điều kiện: hoặc

Bình phương hai vế ta có:

(1) hoặc ,bình phương hai vế ta có:

(1)

( thỏa mãn điều kiện đề bài)

Bài 7: Giải phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1

Bài 8: Giải phương trình:

Với , ta có phương trình:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm và

Bài 9: Giải phương trình:

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 10: Giải phương trình:

Giải

Điều kiện:

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Bài 12: Giải phương trình :

Thay (1) vào (3) ta được :

Nếu , thỏa mãn phương trình đã cho

Đáp số :

Bài 14: Giải phương trình sau :

Vậy phương trình có hai nghiệm và

Bài 15: Giải phương trình:

Phương trình đã cho tương đương với:

Bài 18: Giải phương trình:

Giải

Điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với:

Giải (2) ta có:x=0

Bài 19: Giải phương trình:

Điều kiện cần để x là nghiệm của phương trình là x>0

Phương trình tương đương với

=

Điều kiện x>=1 hoặc -1<=x<0

Chia cả hai vế cho ta nhận được

Đặt ta có t =1 hoặc t=-3 (loại vì t>=0)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là và x=

Bài 23: Giải phương trình:

Giải

Rõ ràng x=0 không là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế cho ta thu được:

Đặt

Ta có:

Bài 24: Giải phương trình :

Giải

Kết hợp với khoảng đang xét ta có:

Kết hợp các nghiệm ở (*) và (**), tập nghiệm của phương trình là

Mà theo trên: hay thỏa mãn.

Kết hợp với điều kiện trên: thỏa mãn là nghiệm của phương trình (1)

Bài 27: Giải phương trình

Giải

Ta có từ phương trình điều kiện x>0

Biến đổi phương trình về dạng:

Với x+y+2=0 từ điều kiện của bài toán có phương trình vô nghiệm

Với x=y ta có phương trình: Giải phương trình có: hoặc

.Thử lại thấy phương trình có nghiệm là:

* Với thì

* Với thì

Vậy phương trình có hai nghiệm và

Nhận thấy x = 2 là nghiệm của

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Bài 32:

Giải

Điều kiện

(Thỏa mãn điêu kiện)

Bài 33: Giải phương trình:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 35: Giải phương trình :

Giải

Đặt

Khi đó ta có hệ

Giải hệ tìm a;b suy ra x

Bài 36: Giải phương trình:

Phương trình tương đương với:

Bài 38: Giải phương trình:

Giải

ĐK

Bài 39: Giải phương trình:

ĐK

Đặt

(thỏa mãn ĐK)

Bài 40: GIải phương trình:

Vì nên có: Từ đó có các trường hợp:

Giải các trường hợp ta có nghiệm: là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 43: Giải phương trình:

Giải

ĐK xác định của phương trình

Ta có

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Bài 44: Giải phương trình:

Giải

điều kiện :

pt đã cho

Dễ thấy VT còn VP do đó ta suy ra VT=VP=0 , điều này cũng đồng nghĩa với :

Vậy bài toán đã cho có nghiệm

Bài 45: Giải phương trình:

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:

Lại có:

và:

Vậy: Dấu đẳng thức khi: x=11;y=5

Vậy phương trình đã cho nghiệm: (x=11;y=5)

Bài 46: Gi i ả phương trình:

Gi iả

Điệu kiện xác định của phương trình:

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:

Lại có: nên x = 1

Thay x = 1 vào phương trình thấy không thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 47: Giải phương trình: ( Những bài này vẫn chưa có bài giải )

Điều kiện (3)

Thay vào (2),giải ra ta được

Thay vào (2), giải ra ta có:

Kết hợp với điều kiện (3) hệ phương trình có 2 nghiệm:

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: x=1,y=1 và x= , y=

Bài 2: Giải hệ phương trình

Gi iả

Từ phương trình thứ hai suy ra , vậy hệ tương đương với

Suy ra

Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra :

Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được: (2)

Giải pt (2) thay vào (1)

Vây hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3;3)

Bài 5: Giải hệ phương trình:

Vậy (H) có nghiệm duy nhất :

Bài 7: Giải hệ phương trình

Giải

Nhận thấy không thỏa mãn phương trình

Nhân hai vế của (1) với 6 và của 2 với 19x rồi cộng từng vế ta được:

Đặt ta được:

* Với , thay vào (không thỏa mãn (1))

*với , thay vào

* với , thay vào

Bài 11: Giải hệ phương trình :

(1)

BPT thứ hai trở thành (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy hệ đã cho tương đương với

Bài 13: Giải hệ phương trình :

Bài 15: Giải hệ phương trình:

- Với : Thay vào (1)

- Với : Thay vào (1) 2

Đáp số :

Cách 2:

Khi đó, chia (2) cho (1) ta có:

Thế vào (*) ta có

Thế vào (*) ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Bài 16: Giải hệ phương trình :

Theo đề bài và bất phương trình hiển nhiên , ta có:

Từ (1) và (2) ta có x+y=1

Dấu "=" xảy ra

Thử lại, ta thấy thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Với mọi áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Phương trình (3) có vế phải luôn lớn hơn vế trái phương trình (3) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy hệ có các nghiệm: hoặc: hoặc: hoặc:

TH2: a+y=1 hay: y=1-a Thay vào có phương trình: Phương trình vô nghiệm nên

hệ vô nghiệm

Vậy hệ có 4 nghiệm như trên

Bài 20: tìm nghiệm nguyên của hệ :

Giải

Hệ đã cho đưa về dạng:

Vậy hệ tương đương với:

Bài 21: Giải hệ phương trình :

Giải

Đặt ta có hệ:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Chú ý: Do các phép biến đổi với phương trình (4) là không tương đương nên khi tìm được nghiệm của phương trình (4) ta cần thử lại

Bài 24: Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Bài 25: Giải hệ phương trình :

Với điều kiện ba số : theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân

Gi iả

lập thành cấp số nhân

Thế vào hệ 2 phương trình đầu :

Bài 28: Giai PT:

với x,y,z,t là các số nguyên

Gi iả

Định lý: một số chính phương lớn hơn 8 khi chia cho 8 chỉ nhận các số dư là 0 hoặc 1

Do vế phải là số chẵn nên vế trái cũng phải là số chẵn Đặt vế trái là M:

+ TH1: trong 4 số x, y, z, t có hai số chẵn (giả sử là x, y), hai số lẻ (giả sử là z, t) khi đó:

mà vế phải chia hết cho 8 nên pt vô nghiệm

+ TH3: cả 4 số đều chẵn đặt x = ; x = ; y = ; z = ; t = phương trình tương đương với :

(*)Điều kiện

(2)

Hoặc:

Vậy hệ phương trình (1) có 2 cặp nghiệm:

Bài 33: Giải hệ phương trình:

phương trình vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y)= (1;1)

Bài 34: Giải hệ phương trình:

Giải

Hệ

Từ (1) có : hoặc

Thay vào (2) nghiệm là

Thay vào (2) : vô nghiệm

Bài 35: Giải hệ phương trình :

Giải

*

*

Ta có : nên phương trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm : ;

Bài 36: Giải hệ phương trình :

Giải

Điều kiện :

Trừ từng vế hai phương trình ta được :

(3)Xét hàm có tập xác định D = [0; 2] và đồng biến trên D do đó .Khi đó (3) có dạng Do đó

Thay vào (1) ta được

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 37: Giải hệ phương trình :

(*)Điều kiện:

(*)

Kết hợp điều kiện ta có: (*)

Bài 39: Giải hệ:

Giải

Từ phương trình đầu của hệ ta có:

TH1: Với x=y ta có: Bình phương có: giải phươngtrình có

TH2: y=3-x ta có phương trình: Phương trình vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:

Bài 41: Giải hệ phương trình :

Giải hệ

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :

Bài 42: Giải hệ phương trình

Giải

(*)Điều kiện :

Đặt

(*)

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm

Bài 44: Giải hệ phương trình :

Giải

Ta có điều kiện: Khi đó trừ vế hai phương trình trong hệ ta có:

(1)

Xét hàm số: với ta có: Vậy hàm số f(t) là liên tục và đồng biến trên [-1;1] Lại có: (1)<-> f(x)=f(y) nên có: x=y

Khi đó ta có phương trình: <->

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: hoặc

Bài 45: Giải các hệ phương trình sau: ( Các bài này vẫn chưa có bài giải)

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24 25 26