Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị C và trục Ox 3.. Tớnh thể tớch của hỡnh chúp 2.. Tỡm tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp I.. Viết phương trỡnh mặt phẳng BCD.. Viế
Trang 1Trờng thpt lơng tai 2
đề chính thức Môn thi: Toán – Trung học phổ thông phân ban đề thi học kỳ II năm học 2009- 2010
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I Phần chung cho thí sinh cả 2 ban ( 8,0 điểm)
Cõu I ( 4,0 điểm)
Cho hàm số y= x4-mx2-3 ( m là tham số )
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho với m = 2
2 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục Ox
3 Tỡm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x= 1
Cõu II (2,0 điểm )
1 Giải phương trỡnh x2-x +3 = 0 trờn tập số phức
2 Giải phương trỡnh ln(x-2).lnx = lnx
Cõu III (2,0 điểm)
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD), SA=a 2
1 Tớnh thể tớch của hỡnh chúp
2 Tỡm tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp
I Phần dành cho thí sinh từng ban ( 2,0 điểm)
A Thớ sinh ban KHTN chọn cõu 4a hoặc cõu 4b
Cõu IVa ( 2,0 điểm)
1 Tớnh tớch phõn I=
4 2 6
sin c otgx
dx x
π
π∫
2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= 2 2
1
x x x
− −
− tại điểm cú
tung độ y=2
Cõu IVb ( 2,0 điểm)
Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(3;-2;-2), B(3;2;0),C(0;2;1), D(-1;1;2)
1 Viết phương trỡnh mặt phẳng (BCD) Bốn điểm A,B,C,D cú đồng phẳng hay khụng?
2 Viết phương trỡnh mặt cầu tõm A và tiếp xỳc với mặt phẳng (BCD)
B Thớ sinh ban KHXH chọn cõu 5a hoặc cõu 5b
Cõu Va ( 2,0 điểm)
1 Tớnh tớch phõn I= 6
0
(2 x)sin 3xdx
π
−
∫
2 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y= x3-3x2-2 trờn [0;3]
Cõu Vb ( 2,0 điểm)
Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(2;4;-1),
B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1)
1 Chứng minh rằng AB,AC, AD đụi một vuụng gúc
2 Viết phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Hết
-Chữ kớ của giỏm thị 1: ……… -Chữ kớ của giỏm thị 2: ……….……
Họ và tờn thớ sinh: ……….Số bỏo danh: ……… …
Hướng dẫn chấm thi học kỡ II
Trang 2x -∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
+∞ -3 +∞
y
-4 -4
x y
1)
(2®) Với m=2, hàm số trở thành y=x
4-2x2 -3
1 Tập xác định : D= R Hàm số là hàm chẵn
2 Sự biến thiên :
a) Các giới hạn, tiệm cận :
Ta có lim lim 4 1 22 34 ;
x x
→−∞ →−∞
4
x x
→+∞ →+∞
⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận
b) Chiều biến thiên:
y’ =4x3-4x , ∀ x∈ R ; y’ = 0 ⇔
1 0 1
x x x
= −
=
=
Trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞) , y’>0 nên hàm số đồng biến
Trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1) , y’<0 nên hàm số nghịch biến
c) Cực trị
Từ kết quả trên ta suy ra :
- Hàm số đạt cực tiểu tại x=± 1 , yCT= y(±1) = -4
- Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ=y(0) = -3
d) Bảng biến thiên:
3 Đồ thị:
- Giao với trục Ox : y=0 ⇒ x4-2x2 -3 ⇔ x= ± 3
- Giao với trục Oy : x=0 ⇒ y= -3
Hàm số chẵn do đó đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối
xứng
Đồ thị ( Hình vẽ )
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
2)
(1®) Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là : x= ± 3
Do tính đối xứng của đồ thị qua Oy nên diện tích hình phẳng cần tìm là : S=2
3
0
x − x − dx
∫
3
0
2 x 2x 3 dx
=
x x
0.25
0.25
0.25 0.25
3)
(1®) Ta có y’ = 4xy’’ = 12x2-2m 3-2mx
0.25 0.25
Trang 3Hàm số đạt cực đại tại điểm x=1 , điều kiện cần là : '(1) 0
"(1) 0
y y
=
<
m
Vậy không tồn tại m để hàm số đạt cực đại tại x=1
0.25
0.25
1)
(1®) Ta có ∆ = 1-12 = -11 ⇒ ∆ =i 11
Vậy phương trình có hai nghiệm là : x1= 1 11
2
i
2= 1 11 2
i
−
0.5 0.5
2)
(1®) Điều kiện xác định : 0 2
2 0
x
x x
>
− >
Với điều kiện (*), phương trình ⇔ lnx[ln(x-2) – 1] = 0⇔lnx=0 hoặc ln(x-2) -1 =0
• lnx =0 ⇔ lnx=ln1 ⇔x=1 ( không thoả mãn điều kiện (*))
• ln(x-2)=1 ⇔ ln(x-2)=lne ⇔ x-2=e ⇔ x=2+e ( thoả mãn điều kiện (*))
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm T = { 2+e}
0.25
0.25 0.25 0.25
1)
(1®) Ta có SABCD=a2 ( do đáy là hình vuông cạnh a)
; SA⊥(ABCD) ⇒ đường cao của hình chóp là
SA= a 2
Vậy VS.ABCD= 1
3SABCD.SA
=
3
2 3
a (đơn vị thể tích)
0.25 0.25
0.25
0.25
2)
(1®) Từ giả thiết ta có SA⊥(ABCD) ⇒∆SAB, ∆SAD vuông tại S
Mặt khác : SB=SD=a 3 ; SC=2a ⇒∆SBC ⊥ tại B, ∆SDC⊥ tại D
⇒ gọi O là trung điểm SC ta có OA=OB=OC=OD=OS=a
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R= a
0.25 0.25 0.25 0.25
1)
(1®) Đặt u= c otgx⇒ u2=cotgx
⇒
2
4
2 sin
6 : 1 4
dx
udu x
π π
⇒ I=
4
1 4
2
3 6
2 sin c otgx
u x
π
π
=
=
4
1
4 4
3
1
3
du= u = −
∫
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
(1®) Ta có y= x- 2
1
x− , ∀ x ≠ 1 ⇒ y’ = 1+ 2
2 (x−1) , ∀ x ≠ 1 0.25
0.25
Trang 4Tung độ của tiếp điểm bằng 2 ⇒ 2 2
1
x x x
− −
− = 2 ⇔ x=0 hoặc x=3 Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M0(x0;y0) là :
y= y’(x0)(x-x0)+y0 (*)
- Tại M1(0; 2) : Thay vào (*) ta có: y= 2
2
- Tại M2(3;2): Thay vào (*) ta có y= 2
x x
Vậy tại điểm có tung độ bằng 2 ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến tới đồ
thị hàm số là y= 3x+2 và y= 3 5
2 2
x−
0.25
0.25
2)
(1®) * Viết phương trình mặt phẳng (BCD):
- Mặt phẳng (BCD) nhận [BC BDuuur uuur,
] làm véc tơ pháp tuyến
Ta có: BCuuur= −( 3;0;1) ; BD ( 4; 1; 2)uuur= − −
⇒ [uuur uuurBC BD,
]= 0 1 1 -3 -3 0; ; (1; 2;3) -1 2 2 -4 -4 1
=
Vậy mặt phẳng (BCD) có phương trình : 1(x-0)+2(y-2)+3(z-1)=0 hay
x+2y+3z-7=0
* Dễ thấy A( 3;-2;-2) ∉ (BCD) Vậy bốn điểm ABCD không đồng
phẳng
0.25
0.25
0.25 0.25
Gọi R>0 là bán kính mặt cầu tâm A (3;-2;-2)
Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) ⇔ d(A; (BCD))= R
⇔ 3 2( 2) 3( 2) 72 2 2
+ − + − −
=
Vậy mặt cầu tâm A, bán kính R có phương trình:
(x-3)2+(y+2)2+(z+2)2 = 14
0.25 0.25 0.25
0.25
1)
(1®)
sin 3
3
du dx
c
= −
= −
⇒ I=6
0
(2 x)sin 3xdx
π
−
6
0
os3x os3xdx
x
π
π
= ( 2) os3x sin 3 6
x
π
= 1 2 5
9 3 9
− + = Vậy I= 5/9
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
(1®) Ta có : y’ = 3x2-6x ⇒ y’ = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2 ∈ [0;3]
Mặt khác : y(0) = - 2; y(2) = -4 ; y(3) = - 2
Vậy [ ]0;3ax 2
x
M y
∈ = − khi x= 0 hoặc x= 3
4
Min y= − khi x= 2
0.25 0.25
0.25 0.25
Trang 5Vb 2 đ 1)
(1đ) Ta cú uuurAB= −( 1;0;0)
(0;0;4)
AC =
uuur
; uuurAD=(0; 2;0)
⇒ uuur uuurAB AC = −( 1).0 0.0 0.(4) 0+ + =
Tương tự : uuur uuurAB AD =0; uuur uuurAD AC
=0
⇒ AB ⊥ AC; AB ⊥ AD; AC ⊥ AD (đpcm)
0.25 0.25 0.25 0.25
2)
(1đ) Gọi phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :
x2+y2+z2-2ax -2by-2cz +d = 0 ( a2+b2+c2-d >0 )
Do A, B, C, D thuộc mặt cầu nờn ta cú hệ :
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ + − − + + =
+ + − − − + =
+ + − − + + =
2 4 8 21 (1) 2c+d = 2a+8b-18 (2) 2c+d = 4a+4b -9 (3) 4a+8b+6c - d = 29 (4)
c d+ = a+ −b
⇔
(1)-(2) : 2a=3 ⇔ a= 3
2
(1)-(3) : 4b-12=0 ⇔ b=3
Thay vào (3) và (4) ta cú hệ : 62c d c d− = −91⇔c d=17
( thoả món a2+b2+c2-d>0)
Vậy phương trỡnh mặt cầu là: x2+y2+z2-3x-6y-2z+7=0
0.25
0.25
0.25
0.25
Chú ý: Các cách giải khác đúng cho điểm tơng ứng
