Viết phương trình chính tắc của elip E.. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 3.. M là trung điểm của SD, N là trung điểm của AD.. a.Chứng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với m
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
—————————
BÀI KIỂM TRA SỐ 2 - NGÀY 14.11.2010
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 3 2 1 3
y x= − mx + m
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x.
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
x+2 7− =x 2 x− + − +1 x2 8x− +7 1 (x∈¡ )
2 Giải hệ phương trình
2
,
x y
x xy
Câu III (2,0 điểm)
2
2 Cho số tự nhiên n thỏa mãn: C 2 C 21n + 2n 2+ + C 2nn n =6560 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
n 3
x x
Câu IV (3,0 điểm)
1 Trong hệ tọa độ Oxy cho elip (E) đi qua M(-2 ; 3) và hình chữ nhật cơ sở có diện tích
bằng 8 3 Viết phương trình chính tắc của elip (E)
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a BC a= , = 2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 3 M là trung điểm của SD, N là trung điểm của AD
a).Chứng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (BMN).
b).Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B,M và cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc
với đường thẳng BM Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (P)
Câu V (1,0 điểm) Cho , ,x y z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x2+y2+z2 =1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=6( y z x+ − +) 27xyz
-Hết -Chú ý : Thí sinh tự giác làm bài không quay cóp, không trao đổi.
Họ và tên thí sinh: ………SBD: ………
Đáp án và thang điểm xem tại http://dangthuchua.com
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Khi m = 1 ta có 3 3 2 1
y x= − x + .
• Tập xác định: ¡
• Sự biến thiên
-Chiều biến thiên
Ta có y' 3= x2−3x; ' 0 0
1
x y
x
=
0,25
Trên khoảng (−∞;0) và (1;+∞), ta có ' 0y > nên hàm số đồng biến
Trên khoảng ( )0;1 , ta có ' 0y < nên hàm số nghịch biến
-Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, (0) 1
2
CÐ
y = y =
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y CT =y( )1 =0
0,25
-Giới hạn tại vô cực:
limx→−∞y= −∞ lim
x y
-Bảng biến thiên
x −∞ 0 1 +∞
y’ + 0 - 0 +
y 1
2 +∞
0
−∞
0,25
• Đồ thị: Đồ thị cắt trục hoành tại điểm 1;0
2
; ( )1;0 và cắt trục tung tại điểm 0;1
2
Đồ thị nhận điểm uốn
1 1
;
2 4
U
làm tâm đối xứng.
4
2
-2
-4
y
0,25
Ta có y’= 3x2−3mx
0
y
x m
=
Trang 3Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì ' 0y = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ≠m 0
Khi đó giả sử các điểm cực đại, cực tiểu là :
3 0;
2
m
A
Ta có:
3
; 2
m
AB m −
uuur
; trung điểm I của AB là:
3
;
2 4
m m
Theo yêu cầu bài toán để A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x thì
đường thẳng AB vuông góc với : y x∆ = và trung điểm I của AB thuộc đường
thẳng AB u. 0
I
∆
uuur uur
3
3
2
2
m
m
= ±
Đối chiếu điều kiện ta có m= ± 2
0,5
II
Điều kiện: 1≤ ≤x 7
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương:
Đặt: a= x−1 ,b= 7−x a b( , ≥0)
Phương trình đã cho trở thành: a2 +2b=2a ab+ ⇔(a−2) (a b− =) 0 a 2
a b
=
Với a = 2 ta có: x− = ⇔ − = ⇔ =1 2 x 1 4 x 5
1 7
x
≤ ≤
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4 và x = 5
0,5
Điều kiện:
2
y
Từ phương trình thứ nhất ta có
x y
⇔
0,25
Với 2x y+ = ⇔1 2x y+ =1⇔ = −y 1 2x thay vào phương trình thứ hai ta được
2
1
4
x
x
=
= −
0,25 Với x = 1 thì y = - 1 ta có nghiệm (x; y) = (1; -1)
4
x= − thì 3
2
y= ta có nghiệm ( ; ) 1 3;
4 2
x y = −
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x ; y) = (1 ; -1) và ( ; ) 1 3;
4 2
x y = −
0,25
Trang 4III 1 Giải phương trình… 1,00
6 2 sin 2 3 2 cos 4 cos2 6 2 sin 2 3 2 sin 4 cos 2
2
=6 2 sin 2 sin 2x( 2 x+cos 22 x)=6 2 sin 2x
0,25
Phương trình đã cho tương đương với
4cos3x+3 2 sin 2x=8cosx
2
2 cos (2cosx x 3 2 sinx 4) 0
2
cos 0 2sin 3 2 sin 2 0
x
=
0,5
2 2 4 3 2 4
= +
¢
Vậy phương trình đã cho có nghiệm ; 2
x= +π kπ x= +π k π
4
x= π +k π k∈
¢
0,25
2 Xác định hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn 1,00
Ta có: C 2 C 21n + 2n 2+ + C 2nn n =6560⇔ C0n +C 2 C 21n + 2n 2 + + C 2nn n =6561 0,25
Với n = 8 ta có:
( )
8 k
−
8 4k 8
k k 2 8
k 0
C 3 x
−
=
Số hạng không chứa x tương ứng với giá trị k thoả mãn
2
k
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C82.32 =252
0,25
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng x22 y22 1 (a b 0)
Theo bài ra ta có :
2
4 2
4
2 3
a
ab
=
Vậy không tồn tại phương trình chính tắc của elip (E) thoả mãn yêu cầu bài
Trang 5a) Chứng minh AC vuông góc mp(BMN) 0,5
G
O A
B
D
C
S
M
N F E
Trong mặt phẳng (ABCD), xét hai tam giác vuông ABC và NAB ta có
1 2
AN AB
AB = BC = do đó : ∆ABC: ∆NAB mà AN ⊥ AB BA, ⊥BC
suy ra AC⊥BN (1)
0,25
Mặt khác M là trung điểm SD, N là trung điểm của AD nên MN // SA mà
SA⊥ ABCD ⇒MN ⊥ ABCD do đó MN ⊥ AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC⊥(BMN)
0,25
Theo câu a, AC vuông góc với mặt phẳng (BMN) nên AC vuông góc với BM
Mặt phẳng (P) đi qua BM và cắt (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM
Ta có :S ABCD =a2 2
3 2
SABCD ABCD
a
0,25
Trong mặt phẳng (SBD) ta có G là trọng tâm của tam giác SBD nên 2
3
SG
SO =
Trong mặt phẳng (SAC) ta có: 2
3
SE SF SG
SA= SC = SO = ( vì EF//AC)
SEBM
SABD
SBFM
SBCD
V = SC SD = =
2
SABD SBCD SABCD
Do đó:
SEBFM SEBM SBFM
SABCD SABCD SABCD
0,25
Trang 6Suy ra 1 3 6
SEBFM SABCD
a
0,25 Lại có: BD a= 3, SD a= 5, SB=2a
2
a
a
EF= AC=
Tứ giác EBFM có hai đường chéo vuông góc với nhau nên ta có :
2
EBFM
0,25
Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) là
3
6 3
3 3
2
SEBFM
S P
EBFM
a
d
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki ta có: y z+ ≤ 2(y2+z2) và
2 2 2
y z
yz≤ +
2
Vì x2+y2+z2 =1 nên
P≤ −x − +x x −x = − x + x+ −x
Lại áp dụng Bất đẳng thức Cô si:
2 2
8 1
1
x
2
P≤− x + x − x−
0,25
Theo giả thiết , ,x y z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x2+y2+z2 =1
ta có x y z, , ∈[ ]0;1 Xét ( ) 1( 3 2 )
2
f x = − x + x − x−
trên đoạn [0 ; 1]
2
f x =− x + x−
( )
1 3
5
9
x
f x
x loai
=
= ⇔
= −
Và ( )0 17; 1 10; ( )1 2
f = f = f = −
÷
3
x
Max f x f
∈
0,25
Từ đó suy ra P≤10 Đẳng thức xảy ra khi 1, 2
x= y z= =
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 10 đạt tại 1, 2
(Nếu thí sinh là theo cách khác mà đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định.