Đờng phân giác trong của góc BAC cắt cạnh BC tại D.. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC.. Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC th
Trang 1Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình
Năm học 2007-2008
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho phơng trình bậc hai x2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = 1
Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1
x2 = 3
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d R), thoả mãn các điều kiện sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4 Hãy tính P(5)
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn
1 Đờng phân giác trong của góc BAC cắt cạnh BC tại D Gọi H là chân đờng
vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC Biết rằng AD = l , AH =
h và AD là trung tuyến của tam giác MAH Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC theo l và h.
2 Giả sử ACB 2.BAC Chứng minh rằng AB2 = BC.(BC+AC)
Bài 4 (1,0 điểm)
Giải phơng trình:
x 1 y 2 y 9 z 2 z 10 x 2 10 (x, y, z là ẩn số )
Bài 5 (1,0 điểm)
Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a2 + b2 + ab + bc + ca < 0
Chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 < c2
Bài 6 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0
Chứng minh rằng số M = 2a4 + 2b4 + 2c4 là bình phơng của một số nguyên
Bài 7 (1,0 điểm)
Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a3 + 2008a 2007 = 0
Hãy tính giá trị của biểu thức S 3 3a 2 2005a 2006 3 3a 2 2005a 2008
Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình
Năm học 2007-2008
ĐáP án môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho phơng trình bậc hai x2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = 1
Đề chính thức
Trang 2Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1
x2 = 3
Cách 1
Từ b + c = 1 nên phơng trình đã cho có hai nghiệm là x 1
x c
0,5
* Nếu x1 = 1; x2 = c 1 c = 3
c = 2 Khi đó b = 1
0,5
* Nếu x1 = c; x2 = 1 c 1 = 3
c = 4 Khi đó b = 5
0,5
Cách 2
Các số b, c phải thoả mãn hệ điều kiện sau
b2 4c > 0 (1)
b c = 1 (2)
x1 + x2 = b (3) (x1, x2 là 2 nghiệm của pt)
x1 x2 = 3 (4)
x1.x2 = c (5)
Từ (3) (4) ta có x1 = b 3
2
x2 = b 3
2
0,5
Thay vào (5), ta đợc: b 3 b 3
2
b 9 4
= 1 b (vì b + c = 1)
b2 + 4b 5 = 0
b 5
0,5
Với b = 1 c = 2
b = 5 c = 4 (đều thoả mãn (1))
Kết luận: b = 1, c = 2 hoặc b = 5, c = 4
0,5
Trang 3Bài 2 (1,5 điểm)
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d R), thoả mãn các điều kiện sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4 Hãy tính P(5)
Cách 1
Đặt Q(x) = P(x) x (Q(x) là đa thức bậc 4 có hệ số của x4 là 1)
Q(1) = P(1) 1 = 0 Q(2) = P(2) 2 = 0 Q(3) = P(3) 3 = 0 Q(4) = P(4) 4 = 0
0,5
Vậy Q(x) có 4 nghiệm là x = 1, x = 2, x = 3, x = 4
Từ đó suy ra P(x) = Q(x) + x
= (x1) (x2) (x3) (x4) + x
Do đó P(5) = 4 3 2 1 + 5
= 29
0,5
Cách 2
Chú ý: Có thể làm theo cách sau:
Từ giả thiết, ta có hệ pt sau:
1 1 a b c d
2 16 8a 4b 2c d
3 81 27a 9b 3c d
4 256 64a 16b 4c d
a b c d 0 8a 4b 2c d 14 27a 9b 3c d 78 64a 16b 4c d 252
0,5
Giải hệ phơng trình này ta đợc:
a 10
b 35
c 49
d 24
(Phải trình bày cách giải hệ phơng trình này)
0,5
Vậy P(x) = x4 10x3 + 35x2 49x + 24
Trang 4Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn
1 Đờng phân giác trong của góc BAC cắt cạnh BC tại D Gọi H là chân đờng
vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC Biết rằng AD = l , AH =
h và AD là trung tuyến của tam giác MAH Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC theo l và h.
2 Giả sử ACB 2.BAC Chứng minh rằng AB2 = BC.(BC+AC)
1
Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC
AD cắt (O) tại N
O, M, N thẳng hàng
0,5
Vì M là trung điểm BC OM BC Vậy MN // AH
Lại có vuông AHD = vuông NMD (DH = DM và ADH NDM )
MN = AH Vậy NMAH là hình bình hành
0,5
Mà D là giao điểm 2 đờng chéo hình hình hành NMAH
D là trung điểm AN
Xét tam giác vuông ODN: DN2 = NM.NO
ON =
2 2 DN
MN
l
Vậy bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC là R = l2
h
0,5
2
Từ: ACB 2.BAC
Dựng tia phân giác CE C1 C 2 A
BCE ~ BAC (B chung, C1 A )
BE BC
BCBA hay BE a
a c (1) (a = BC, b = CA, c = AB)
0,5
Theo tính chất phân giác BE a
EAb
BE a
c a b
BE c
a a b (2)
Từ (1) (2) a c
c a b c2 = a(a+b) đpcm
0,5
B E
c
b
a
1 2
A
M D
H
O
N
h l
Trang 5Bài 4 (1,0 điểm)
Giải phơng trình:
x 1 y 2 y 9 z 2 z 10 x 2 10 (x, y, z là ẩn số )
ĐK:
2
2
2
3 z 3
9 z 0
Với a, b R, ta có a.b
2 2
a b 2
Dấu = xảy ra a = b
áp dụng kết quả trên, ta có :
x 1 y
2
y 9 z
2
2 z 10 x
z 10 x
2
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên với nhau, ta đợc :
x 1 y y 9 z z 10 x 10
0,5
Vậy pt đã cho tơng đơng với:
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
2
x, y, z 0
x 1 y
x y 1
y 9 z
y z 9
z 10 x
z x 10
x, y, z 0
x 1
x 1
y 0
y 0
z 3
z 9
x 1
KL y 0
z 3
0,5
Trang 6Bài 5 (1,0 điểm)
Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a2 + b2 + ab + bc + ca < 0
Chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 < c2
Giả sử a2 + b2 c2
Từ gt a2 + b2 + a2 + b2 + 2(ab + bc + ca) < 0 0,5 Lại có:
a2 + b2 + a2 + b2 + 2(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b +
c)2
(a + b + c)2 < 0 (vô lý) Vậy a2 + b2 < c2 đpcm
0,5
Trang 7Bài 6 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0
Chứng minh rằng số M = 2a4 + 2b4 + 2c4 là bình phơng của một số nguyên
Cách 1
Từ a + b + c = 0 c = a b
c4 = (a + b)4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
2c4 = 2a4 + 8a3b + 12a2b2 + 8ab3 + 2b4
0,5
Lúc đó: M = 2a4 + 2b4 + 2c4
= 4a4 + 4b4 + 8a3b + 12a2b2 + 8ab3
= 4a4 + 4b4 + 4a2b2 + 8a3b + 8a2b2 + 8ab3
= 2a 2 2b 2 2ab2
Do a, b, c Z 2a2 + 2b2 + 2ab Z
Từ đó suy ra đpcm
0,5
Cách 2
Xét đa thức bậc ba mà 3 nghiệm là: x = a, x = b, x = c
P(x) = (x a) (x b) (x c)
P(x) = x3 + (ab + bc + ca)x abc (vì a + b + c = 0)
0,25
Do P(a) = P(b) = P(c) = 0 nên ta có hệ:
3
3
3
a (ab bc ca)a abc 0 (1)
b (ab bc ca)b abc 0 (2)
c (ab bc ca)c abc 0 (3)
0,25
Nhân 2 vế của các đẳng thức (1), (2), (3) thứ tự với 2a, 2b, 2c rồi cộng lại, ta đợc:
2a4 + 2b4 + 2c4 + 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) = 0
0,25
Mà a2 + b2 + c2 = (a + b + c) 2 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca)
2a4 + 2b4 + 2c4 = 2 ab bc ca 2 đpcm 0,25 Chú ý:
Từ a + b + c = 0
(a + b)2 = c2
(a + b)2 = c(a + b)
a2 + b2 + 2ab = ac bc
a2 + b2 + ab = ab ac bc
Do đó a 2 b 2 ab2 ab bc ca 2
Bài 7 (1,0 điểm)
Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a3 + 2008a 2007 = 0
Hãy tính giá trị của biểu thức S 3 3a 2 2005a 2006 3 3a 2 2005a 2008
Trang 8Từ a3 + 2008a -2007 = 0 (1)
a3 = 2008a + 2007
a3 + 3a2 + 3a + 1 = 2008a + 2007 + 3a2 + 3a + 1
(a + 1)3 = 3a2 2005a + 2008
0,5
Lại có (1) a3 = 2008a - 2007
1 3a + 3a2 a3 = 1 3a + 3a2 + 2008a 2007
(1 a)3 = 3a2 + 2005a 2006
Vậy S = 31 a 3 3a 1 3
= 1 a + a + 1
= 2
0,5
Chú ý:
* Điều kiện bài toán số 7 bao giờ cũng tồn tại, vì pt: x3 + 2008x 2007 = 0 có đúng
1 nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1)
* Mọi cách giải khác mà hợp lý, vẫn cho điểm tối đa
* Khi chấm, yêu cầu bám sát biểu điểm
* Tổ chấm thảo luận để thống nhất biểu điểm chi tiết
* Nếu trong lời giải có nhiều bớc liên quan với nhau, học sinh làm sai ở bớc nào thì
từ đó trở đi sẽ không đợc điểm
* Điểm toàn bài không làm tròn (lấy đến 0,25đ)