b Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ.. Tiếp tuyến tại B và C của O cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A.. c Chứng minh rằng h
Trang 1TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN THÁI BÌNH
1 Năm học 2017-2018
Toán chung
Câu 1 (2đ) Cho
( )2 1
1
x x
A
với x > 0, x ≠ 1
a) Rút gọn A
b) Đặt B= −(x x+1) A
Chứng minh B > 1 với x > 0, x ≠ 1.
Câu 2 (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho Parabol (P):
2
và đường thẳng (d):
y = mx + m +
( với m là tham số) a) Khi m = -4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P)
b) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hành độ x1, x2 Tìm m để x1+2x2 = 2
Câu 3 (1đ) giải hệ phương trình
2 2 2 2 3
Câu 4 (1đ) Cho quãng đường AB dài 100km Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất phát từ A đến
B, xe ô tô thứ hai từ B về A Sauk hi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau Tính vận tốc của mỗi xe biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút
Câu 5 (3.5đ) Cho đường tòn (O; R) có đường kính AB Điểm C là điểm bất kì trên (O), C không
trùng với A, B Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tiếp tuyến tại A, b của (O) lần lượt tại P, Q Gọi M là giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC
a) Chứng minh tứ giác CMON là hình chữ nhật và AP.BQ = MN2
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ
c) Chứng minh PMNQ là tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ nhất
Câu 6 (0,5đ) Cho ba số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn
2 2 2
3
x + y + z =
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P
Toán chuyên
Câu 1: (2,0 điểm)
1 Cho a, b là hai số thực bất kì, chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình ẩn x sau vô nghiệm
Trang 2( ) ( )
2 2 1 0 1
2 3 0 2
x ax a b
x bx b ab
2 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
0
x y z+ + =
và
0
xyz≠
Tính giá trị biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
P
Câu 2: (2,5 điểm)
1 Giải phương trình:
x + x+ = x− + x+
2 Giải hệ phương trình:
2 2
2
x y
Câu 3: (1,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình
3 3 6 3
x −y = xy+
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có hai tia BA và CD cắt nhau tại E, hai tia AD và BC cắt nhau tại F Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD Các đường phân giác trong của các góc ·BEC
và góc ·BFA
cắt nhau tại K Chứng minh rằng:
1)
DEF+DFE=ABC
và tam giác EKF là tam giác vuông
2) EM.BD = EN.AC
3) Ba điểm K, M, N thẳng hàng
Câu 5: (1,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau:
a a b +b b c +c c a ≥ abc
2) Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của hai số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của hai số còn lại Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều không nhỏ hơn 5
2 Năm học 2016-2017
Toán chung
Trang 3Bài 1 (2.5điểm)
Cho
:
x x x P
với x > 0, x ≠ 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P = 2
c) Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2 (1.5 điểm)
Cho Parabol (P):
2
và đường thẳng (d):
y = x m − +
( với m là tham số) a) Tìm m để parabol (P) và đường thẳng (d) cùng đi qua điểm có hoành độ là 1.
b) Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tạo hai điểm phân biệt A và B, sao cho tung
độ của điểm A gấp 9 lần tung độ của điểm B
Bài 3 (2.0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 2 2 2 2 0
x − x− − =
b) Giải hệ phương trình sau:
( )
2
4 1 0
y y x x
x x y xy y
Bài 4 (3.5 điểm)
Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD, có AB = BC = a GỌi
E là giao điểm của AB và CD, H là trung điểm của AB, F là giao điểm của BD và OE, I là giao điểm của OB và HC Chứng minh rằng:
a) Tam giác EAD đều
b) IF// AD
c) F là trực tâm của tam giác OBC
d) Tính độ dài HI theo a
Bài 5 (0.5 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:
(x y y z z x+ ) ( + ) ( + ) 2 1 ≥ ( + x + y +z)
Toán chuyên
Bài 1 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình:
( )
5x− +x 3 2x− − =1 1 0
Trang 42) Cho hai số thực
,
a b
bất kì Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
x + ax+ ab=
(1)
2
x + bx− ab=
(2)
Bài 2 (2,5 điểm)
1) Tìm các số nguyên
,
x y
thỏa mãn:
2 2
9x +3y +6xy−6x+2y−35 0=
2) Cho
( )
P x
là đa thức bậc ba có hệ số bậc cao nhất bằng 1 và thỏa mãn
(2016) 2017, (2017) 2018
Tính giá trị của
3P 2018 P 2019
Bài 3 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình
8 2 2(2 3)
x x y x y x x y
Bài 4.(3,0 điểm)
Từ một điểm I nằm bên ngoài đường tròn
( )O
, vẽ các tiếp tuyến
,
IA IB
( A, B là các tiếp điểm) và vẽ cát tuyến ICD (không qua tâm O) với đường tròn (C nằm giữa I và D).
1) Chứng minh AC.BD=AD.BC
2) Gọi K là giao điểm của CD và AB, E là trung điểm của OI Chứng minh rằng
KA KB OE= −EK
3) Gọi H là trung điểm của AB Chứng minh = .
Bài 5 ( 1,0 điểm)
Cho các số thực
1, 1, 1
x≥ y≥ z≥
và thỏa mãn
2
3x +4y +5x =52
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F = + +x y z
3 Năm học 2015-2016
Toán chung
Trang 5Bài 1 (2.5điểm)
Cho biểu thức
2
0; 1
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị biểu thức P khi x= −3 2 2
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x để P có nghĩa thì
7
P
chỉ nhận một giá trị nguyên
Bài 2 (2 điểm)
Cho phương trình
( )3
x − mx+ m− =
với m là tham số a) Giải phương trình với m = -1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại
Bài 3 (1 điểm) Giải phương trình:
1 0
x
+
Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH,
tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F Gọi M là trung điểm của cạnh HC Chứng minh:
a) AE.AB = AF.AC
b) MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
c)
HAM=HBO
d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM
Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số dương
, ,
a b c
thỏa mãn ab bc ca+ + =3
Chứng minh rằng:
a +b +c ≥
Toán chuyên
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho phương trình:
2
2x −mx− =1 0
( với m là tham số).
Trang 6a) Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm 1 2
,
x x
thỏa mãn
1 4 2 0
x − x =
b) Chứng minh với mọi m phương trình trên có nghiệm xthỏa mãn
x
< 1
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
x − x− + x− =
b) Tìm các số nguyên
,
x y
với
0, 0
x≥ y≥
thỏa mãn:
2 3 2 4 4 10 12 0
x + y + xy+ x+ y− =
Bài 3 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
x xy
Bài 4 (1,0 điểm) Cho
,
x y
thỏa mãn
2 2 4 2 0
x +y − x− =
Chứng minh:
2 2
10 4 6− ≤x +y ≤4 6 10+
Bài 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng AO cắt đường
tròn (O) tại M ( M khác A) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại N (N khác C) Gọi K là giao điểm của MN với BC
a) Chứng minh tam giác KCN cân
b) Chứng minh OK vuông góc với BM
c) Khi tam giác ABC cân tại A, hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại
P Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng
Bài 6 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3a, AC = 4a và =
0 60 Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H Tính độ dài đoạn AH theo a
Bài 7 (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1
Chứng minh:
b c a
a + b + c + ab bc ca ≥
+ +
4 Năm học 2014-2015
Toán chung
Trang 7Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức
: 0; 4
2 2 1 2 3 2 5 10
a) Rút gọn A.
b) Tìm x sao cho A nhận giá trị nguyên
Bài 2.(2,5 điểm) Cho Parabol (P):
2
và đường thẳng (d):
y = m + x − m +
( với
m là tham số)
a) Với m = -5 tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
b) Chứng minh rằng với mọi m Parabol (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt Tìm m sao
cho hai giao điểm đó có hành độ dương
c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m.
Bài 3 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
Bài 4 ( 3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến tại B và C của
(O) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A
a) Chứng minh tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT
b) Chứng minh rằng: AB.CD = BD AC
c) Chứng minh rằng hai đường phân giác của góc BAC, góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tại một điểm
d) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC
Bài 5.(0,5 điểm) Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn
x x+ +y y+ +z z+ ≤
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B
Toán chuyên
Bài 1 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình:
2
5x− +6 10 3− x =2x − −x 2
2) Giải hệ phương trình:
8 96
32 48
x xy y
x y
Trang 8Bài 2 (2,0 điểm)
1) Cho phương trình
2 2 4 0
x − x− =
có hai nghiệm
1, 2
x x
Tính S=
7 7
1 2
x +x
2) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn:
a +ab b+ = +c cd d+
Chứng minh: a b c d+ + +
là hợp số
Bài 3 (1,0 điểm)
Cho a, b,c là ba số thực dương và có tổng bằng 1.
Chứng minh:
3 2
a bc b ca c ab
a bc b ca c ab
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD với A,C cố định và B, D di động Đường phân giác của góc BCD cắt AB và AD theo thứ tự tại I và J ( J nằm giữa A và D) Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ
1) Chứng minh AO là phân giác góc IAJ
2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc một đường tròn
3) Tìm đường tròn cố định luôn đi qua M khi B, D di động
Bài 5 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11
5 Năm học 2013-2014
Toán chung
Bài 1 (2.0điểm)
Cho biểu thức
4 0; 4 4
x
x
−
1) Rút gọn P.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Trang 9Bài 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình
( ) ( )
1 1
6 2
mx y
x my m
với m là tham số 1) Giải hệ phương trình với m = 1
2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: 3x – y = 1
Bài 3 (2 điểm)
1 Cho phương trình bậc hai:
với m là tham số Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m Tìm
m để: -5 < x1 < x2 < 5
2 Giải phương trình:
(x+2) (x−3) (x2+2x−24) =16x2
Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH Trên đường thẳng BC lấy điểm M
nằm ngoài đoạn BC sao cho MB > MC và hình chiếu vuông góc của M trên AB là điểm P (P nằm giữa A và B) Kẻ MQ vuông góc với đường thẳng AC tại Q Chứng minh:
1 Chứng minh bốn điểm A, P, Q, M cùng nằm trên một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn đó
2 BA.BP = BM.BH
3 OH vuông góc với PQ
4 PQ > AH
Bài 5 (0,5 điểm) Giải phương trình:
3 3
Toán chuyên
Bài 1 (3,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
( )
2 2
1 0
x x y y
x x y y
2) Giải phương trình:
x+ − =x x− + −x x− +
Bài 2 (2,0 điểm)
1) Tìm số nguyên dương x lớn nhất sao cho
13
23x+
là một ước số của 2013!
2)Tìm số nguyên dương n sao cho A =
(n+3 4) ( n2+14n+7)
là một số chính phương
Trang 10Bài 3 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:
2
1 a+1 b+1 c =
Chứng minh rằng:
1 1 1
4 a b c
a b c+ + ≥ + +
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Qua B kẻ đường thẳng cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại D và E (D là điểm nằm trong tam giác ABC) Trên cạnh AB lấy điểm M
sao cho =
1
2
1) Chứng minh rằng:
a) BH.BC = BD.BE và tứ giác DHCE nội tiếp đường tròn
b) HA là phân giác của góc DHE
2) Gọi N là giao điểm của MD và AH Chứng minh D là trung điểm của MN
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho 2013 đa thức
P x =x + +x a
( i=1; 2; 3; ; 2013) thỏa mãn
1
a + −a =a
( a là
hằng số, k = 1; 2; 3; …; 2012) và đa thức
( ) 1( ) 2( ) P2013( )
Q x =P x +P x + + x
có nghiệm thực
1) Chứng minh đa thức
( )
1007
có nghiệm
2) Trong 2013 đa thức
( )
i
P x
trên , có nhiều nhất bao nhiêu đa thức vô nghiệm?
6 Năm học 2012-2013
Toán chung
Bài 1 (2.0điểm)
Cho biểu thức
( )
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng A≤1
Trang 11Bài 2 (2,0 điểm) Cho phương trình
( )
2 2 2 5 0 1
x − mx+ m− =
với m là tham số a) Giải phương trình với m = 2
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
1 1 2 2 1 1 8 0
x −x +x −x + =
Bài 3 (2 điểm)
a) Cho ba đường thẳng:
(d1): y = x
(d2): y = mx-3 (với m là tham số)
(d3): y = 2x-1
Tìm m để ba đường thẳng trên cùng đi qua một điểm
b) Giải phương trình sau:
2 2 4 3 3 4
x + x+ = x + x
Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến
AB và AC tới đường tròn (B, C là hai tiếp điểm) M là điểm thuộc cung nhỏ BC Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC và BC Gọi H là giao điểm của MB và IK, G là giao điểm của MC và JK
a) Chứng minh các tứ giác MKCJ và MHKG là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh HG // BC
c) Tìm vị trí của M để MI.MJ lớn nhất
Bài 5 (0,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
5 ab5 5 bc5 5 ca5 1
a b ab b+ c bc c+ a ca ≤
Toán chuyên
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Tính A= (4+ 15)( 10− 6) 4− 15
b) Giải hệ phương trình:
( )
2 2 1 2
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + =3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
b a+ c b+ a c
Trang 12Bài 3 (2,0 điểm)
Cho m, n là hai số nguyên dương thỏa mãn m+n–1 là một số nguyên tố và m + n – 1 là một ước của 2(m2 + n2) – 1 Chứng minh rằng: m = n
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn tâm J đường kính
BC Cắt AB, AC lần lượt tại E, F GỌi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AEF Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác AEF
Chứng minh rằng:
a) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) song song với EF
b) Ba điểm A, I, H thẳng hàng
c) Ba đường thẳng KH, EF, IJ đồng quy
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB CD là một dây cung của nửa đường tròn(A,
B, C, D là bốn điểm phân biệt) M là điểm bất kì di động trên cung nhỏ CD Gọi I, J lần lượt là giao điểm của MA, MB với dây cung CD Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng IJ có độ dài lớn nhất
7 Năm học 2011-2012
Toán chung
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức
0; 4
1) Rút gọn P.
2) Tìm x sao cho
7 12
P=
Bài 2 (2 điểm) Cho Parabol (P):
2
và đường thẳng (d):
( 1 ) 3 4 ( )
y = m − x + − m
( với m
là tham số)
1) Với m = -2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
2) Tìm m sao cho (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 2.
Bài 3 (2 điểm)
Trang 131) Giải hệ phương trình
1
8
xy xy x
2) Cho phương trình:
2 2 1 2 1 0 1
với k là tham số Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2 1 2
F =x +x −x x
với 1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình (1)
Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn(O; R) có đường cao AH = 2R Gọi D, E lầ lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC Chứng minh rằng:
1)
BAH=DEH
2) Tam giác ADE và tam giác ACB đồng dạng
3) AO ⊥
DE
4) Diện tích tam giá
c AED bằng diện tích tứ giác BCED
Bài 5 (0,5 điểm) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 2 2 2
Toán chuyên
Câu 1 (3 điểm).
1) Giải hệ phương trình:
3
2 1 0
− = −
− + =
2) Giải phương trình:
3x − + =5x 6 2x x + −x 3
Câu 2 (2 điểm).
1) Cho phương trình: x2−2(m2+1)x+2m2− =1 0
( m là tham số) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 1 2
,
x x
và P
=
1 2
1 1
x +x
đạt giá trị nguyên
Trang 142) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:
Câu 3 (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, B và C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì B, C nằm khác phía đối với H Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại điểm thứ hai là M và N Gọi P, D lần lượt là giao điểm của AH với MN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ( D khác A)
1) Chứng minh rằng tứ giác MPDB nội tiếp đường tròn
2) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:
CN BM
AB = CA
3) Khi B, C thay đổi trên d sao cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tiếp điểm là M vàN cắt nhau tại K và tích HB.HC là không thay đổi Chứng minh rằng K thuộc đường thẳng cố định
Câu 4 (1 điểm).
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2
b c a +c a b +a b c ≥
Câu 5 (0,5 điểm).
Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 100 cạnh ta đánh một số bất kì trong các số tự nhiên lien tiếp sau 1, 2, 3, 4, 5, …, 49 Chứng minh rằng tồn tại bốn đỉnh của đa giác (kí hiệu các đỉnh A, B,
C, D với các số tương ứng a, b, c, d) sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật và a + b = c + d
8 Năm học 2010-2011
Toán chung
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức
0; 4; 9
1) Rút gọn A.
2) Tính giá trị của A khi x= −3 2 2
Bài 2 (2 điểm) Cho hai đường thẳng:
2 1
2 2
d y m x m m
d y m x m m
(với m là tham số) cắt nhau tại G
a) Xác định tọa độ điểm G
b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi
Bài 3 (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: