Hệ thống Kiến thức 12

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản... Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ Yêu cầu tính f xdx gx ∫ trong đó fx, gx là các đa thứ

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12

HƯỚNG DẪN ÔN THI TNTHPT NĂM 2009 (Ban cơ bản)

A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

PHẦN 1: HÀM SỐ

Bài toán 1: Khảo sát hàm số

1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2− 3ac

y/ cùng dấu với hệ số a

•KL: hàm số tăng trên?

(giảm trên?)

y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

•KL: hàm số tăng?

Giảm?

•Hàm số không có cực trị • Cực tri cực đại?

Cực tiểu?

+ Giới hạn: • lim (ax3 bx2 cx d)

+∞





<

∞

−

>

+∞

) 0 (

) 0 (

a a

• lim (ax3 bx2 cx d)

−∞





<

∞ +

>

−∞

) 0 ( ) 0 (

a a

+ Bảng biến thiên:

x −∞

+∞

x −∞ x1 x2 +∞

y/ + y/

+ 0 − 0 +

y −∞

+∞

y −∞ CĐ CT +∞

x −∞

+∞

x −∞ x1 x2 +∞

y/

− y/

− 0 + 0

−

y +∞

y −∞ CT CĐ

−∞ Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng

+ Vẽ đồ thị : • xác đinh Cực trị ?

• ; điểm đặc biệt

a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT

2.Hàm phân thức : y = cx ax++d b ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) + TXĐ : D = R\ 





−

c d

+ Đạo hàm : y/ = (cx d) 2

bc ad

+

−

ad−bc < 0 ad−bc > 0

y/ < 0 ∀ x ∈D y/ > 0 ∀ x ∈D Hàm số không có cực trị

Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biếntrên D + Tiệm cận: • x =−c dlà tiệm cận đứng vì x→lim−d/c cx ax++d b= ∞

• y = c a là tiệm cận ngang vì xlim→∞cx ax++d b= a c +Bảng biến thiên :

x −∞ −d/c +∞

x −∞ −d/c +∞

y/ − ||

−

y/

+ ||

+

y a/c −∞||+∞ a/c

y a/c +

∞||−∞ a/c

+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt − Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận

a > 0

a < 0

Điểm uốn I( − b ;f( − b ))

y= a/c

y= a/c

3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )

+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)

a,b cùng dấu a, b trái dấu

y/ = 0 ⇔ x = 0

•KL: tăng? Giảm

y/ = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0;

x1,2=± a

b

2

−

•KL: tăng? Giảm?

•Giá trị cực trị :

y(0) = c

có một cực trị

• Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(± a

b

2

− )

=− ∆a

Có 3 cực trị + Giới hạn : lim (ax4 bx2 c)

±∞





<

∞

−

>

+∞

) 0 ( ) 0 (

a a

+ Bảng biến thiên :

x −∞ 0

+∞

x−∞ x1 0 x2 +∞

y/ − 0 + y/ − 0 + 0 −

0 +

y +∞ CT

+∞

y +∞ CT CĐ

CT +∞

x −∞ 0

+∞

x−∞ x1 0 x2 +∞

y/

+ 0 − y/

+ 0 − 0 +

0 −

y −∞ CĐ

−∞

y +∞ CĐ CT

CĐ +∞

+ Vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

4 Hàm hữu tỉ : 2/1 y = ax 2 ex bx f c

+ + + (đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )

+ TXĐ: D = R\ 





−ef + Đạo hàm : y/ = 2

2

) (

) ( 2

f x

ce bf x af x ae

+

− + +

có ∆/ =(af)2−(bf−c e).ae

∆/ < 0 ∆/ > 0

y/ cùng dấu với

/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

Hàm số không có cực trị • Giá trị cực trị tính theo CT :

y = 2ax e+b + Tiệm cận : • x = −eflà tiệm cận đứng

vì lim f(x)

e

f

x→ − = ∞

• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);

)]

( ) ( [ lim f x Ax B

∞

→ =xlim → ∞ε(x)=0 => y = a e x + (b e−e2

af

) là t/c xiên + Bảng biến thiên :

x −∞ −f/e +∞

x−∞ x1 −f/e x2 +∞

y/ + ||

+

y/ + 0 − || −

0 +

y −∞ +∞||−∞ +∞

y−∞ CĐ −∞||+∞ CT +∞

a> 0 b>0 a< 0

b <0

a< 0 b>0

a> 0

b <0

a.e > 0

a.e < 0

a < 0

a > 0

c

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12

x −∞ −f/e

+∞

x−∞ x1 −f/e x2 +∞

y/

− || − y /

− 0 + || +

0 −

y +∞ ∞||+∞

−∞

y +∞ +∞||

CĐ

CT −∞

+ Vẽ đồ thị : ( như hàm phân thức )

(ban cơ bản không khảo sát hàm số này)

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

1 Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là :

Từ x0 tính f(x0) ; • Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?

P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)

2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s

y =f(x)

+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A

Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1

+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C)

là

hệ phương trình : = − + (1)

=







f(x) k(x x ) y1 1 /

f (x) k (2) có nghiệm Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận

3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k =

a

tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k

= − a1

+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến

f/(x0)

+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)

Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) =

0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x)

+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M

= g(m)

+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị

y = M

Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ D= ? + Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BXD (sắp cc nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng Định lý 2 (dùng để tìm gi trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈

(a;b)

b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈

(a;b)

Bi tốn 5: Cực trị hm số

• Dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp cc nghiệm của PT y/ = 0 v gi trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

Xiên

+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?

Ch ý:

1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị

trn (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương

trình y/ = 0

3) x0 l cực trị của hm số  /( 0) 0

/ ( )

=







y x

y x

• Dấu hiệu II:

+ MXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 …

+ Tính y//(x1); y//(x2)……

Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?

Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực

trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)

Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :

Cho h/s y = u

v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

Và y/ = u v v u′ −2 ′ =g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u

= 0

=> u u

v v

′

=

′ Do đó giá trị cực trị y(x0) = u (x )v (x )0

0

′

′

Bi tốn 6: Gi trị lớn nhất, gi trị nhỏ nhất

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:

+ Miền đang xét [a;b]

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có )  x1 , x2 … chỉ chọn cc nghiệm thuộc

[a;b]

+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh → KL

y(a) ; y(b) + max y

[a;b] = ? min y

[a;b] =?

2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :

+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ + Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BBT:

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y 1

[a;b] = 2 yCT

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y[a;b] = yCĐ

* Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trn khoảng (a;b)

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ

của h/s đó : + nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1

+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có

là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) l số giao điểm của hai đường cong

2 Điều kiện tiếp xúc :

Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)

f (x) g (x)

=

′ = ′





Bi tốn 8: Cách xác định tiệm cận :

*Tiệm cận đứng : lim f (x)

x x0

= ∞

→ => x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định

đổi dấu qua x 0

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12

*Tiệm cận ngang : limf (x) y0

x

=

→∞ => y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng

phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang

* Tiệm cận xiên (ban cơ bản không có phần này):

Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)

lim

∞

→

x [f(x) –(ax + b)] = lim (x)

x ε

→∞ = 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;

a lim f (x)

x x

=

→∞ ; b lim [f (x) ax]

x

→∞

⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên

Phần 2: Hm số mũ v logarit

Bi tốn 1: Dng cơng thức tính cc biểu thức cĩ chứa hm số mũ

hoặc hm số logarit

a− n = a1n ; a0 = 1 0 ; amn nam

= ( m; n nguyên dương , n > 1)

• Các quy tắc:

ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx

x

a

y

a

−

=

x

b = b

 

 ÷

  ( )x y ( )y x x.y

a = a = a

• Hàm số mũ : y = ax với a > 0 ; a ≠ 1

TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 ⇔ a x1 > a x2

+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 ⇔ a x1 < a x2

* Hm số logarit:

α = logaN ⇔ aα = N logax = b ⇔ x= a b

• Đặc biệt : aloga x = x ; loga x a = x ; loga1 = 0

• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:

loga(B.C) = logaB + logaC

loga B

C

 

 ÷

  = logaB − logaC loga Bα β = β

αlogaB

• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :

logca.logab = logcb ⇔ log ba log bc

log ac

=

0 < a, b ≠ 1 : logab = log a1

b

• Hàm số Logarit: y = logax với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 > logax2 + 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 <logax2

Bi tốn 2: Tính đạo hm của cc hm số mũ v logrit (ex) / = ex −> ( eu)/ = u/.eu

( ax) / = ax.lna −> ( au)/ = u/.au.lna (lnx) / = 1

x x ∈(0;+∞) −> (lnu)/ = u

u

′

(logax) / = 1

x ln a −> (logau )/ = u

u ln a

′

Bài toán3: giải phương trình mũ v logarit :

• Dạng cơ bản:

f (x)

a = g(x)

a ⇔ f(x) = g(x) v(x)

u = 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )

f (x)

a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = logab logaf(x) = logag(x) ⇔ f (x) 0 g(x) 0

f (x) g(x)

=







dạng: log f (x)a b

0 a 1

=

< ≠





 ⇔ f(x) = ab logu(x)v(x) = b ⇔ [ ]

v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1

b v(x) u(x)

> > ≠

=







• Đặt ẩn phụ :

α.a2f (x) +β.af (x) + γ = 0 ; Đặt : t = af (x) Đk t > 0

α b f (x)

a + +β.ab f (x)− + γ = 0 ; Đặt : t = af (x) Đk t > 0

hoặc

α.af (x)+β.bf (x)+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t = af (x);1

t=bf (x)

α.a2f (x)+β.( )f (x)

a.b + γ.b2f (x) = 0 ; Đặt t =

f (x) a b

 

 ÷

 

• Logarit hoá hai vế :

Bi tốn 4: Giải bất phương trình mũ v logarit

• Dạng cơ bản :

10 f (x)

a > g(x)

a ⇔ f (x) g(x) khi a 1

f (x) g(x) khi 0 a 1

> >

< < <





20 af (x) > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x

Nếu b > 0 f(x) > logab nếu a > 1 f(x) < logab nếu 0 < a < 1

30 af (x) < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm

Nếu b > 0 ; f(x) < logab nếu a > 1 f(x) > logab nếu 0 < a < 1

•logaf(x) > logag(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1

(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0

•logaf(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b

•logaf(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b

•( )v(x)

u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0

• (u(x))v(x)< 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0

Lưu ý:

*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng

công thức sau để bài toán trở nên dễ dang hơn

10 f (x)

a > g(x)

a  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0

20 logaf(x) > logag(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0

*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải

nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên

*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp

số

Phần 3: Nguyên hàm.

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).

dx = + x C

∫

x dx α =

∫

1

x α+

α + 1

+ C (α≠

-1 ) dx x

∫ = lnx + C ( x≠

0) x

e dx

∫ = ex + C x

a dx

∫ = ax

ln a + C

1 (ax b)

a( 1)

α+

+ α

∫

α + (α ≠ -1)

dx

ax b

∫ + = 1

a lnax+ b + C 1

ax b

e dx

a

∫ eax+b + C x

a α +β dx

∫ =1 a x b C

ln a

α + + α

Cosx.dx

∫ = Sinx + C Sinx.dx

∫ = − Cos x + C dx

2 Cos x

∫ =∫(tg x 1).dx2 + = tgx

dx 2 Sin x

(Cotg x 1).dx +

∫ = −Cotgx

Cos(ax b).dx +

aSin(ax+ b) +

C Sin(ax b).dx +

∫ = −1aCos(ax+ b) + C

dx 2 Cos (ax b)

∫

+ =1

atg(ax+ b) + C dx

2 Sin (ax b)

∫

+ = −1aCotg(ax+ b) + C

Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)⇒ = dt u '(x)dx

 I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 1

a x

−

− thì đặt x = asint 1

2 2

a x

+

+ thì đặt x = atant

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm

liên tục trên I

u(x).v'(x)dx u(x).v(x) = − v(x).u '(x)dx

Hay∫udv uv = −∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv

= v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )

∫

ax

f x cosax dx ax e

với f(x) là đa thức:

Đặt

cos

⇒

Sau đó thay vào công thức ∫udv uv = −∫vdu để tính

@ Dạng 2: ∫ f x( ) ln(ax b dx+ )

Đặt

ln( )

( )

( )

=

= ∫



a dx

ax b

dv f x dx

v f x dx

Sau đó thay vào công thức ∫udv uv = −∫vdu để tính

@ Dạng 3: ∫ sin 

ax ax

cosax

Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác

(một số dạng cơ bản).

Dạng 1: ∫sin(ax+b).sin(cx+d)dx;∫sin(ax+b).cos(cx+d)dx

∫cos(ax+b).cos(cx+d)dx

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: ∫sin ax.cos axdx n m (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax

*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax

*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc

n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc) *) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax

Dạng 3: ∫R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) =

−R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) =

−R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx

*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx

Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x)dx

g(x)

∫ trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x

Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) h(x) r(x)

g(x) = + h(x) Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x) Nên (f (x))dx h(x)dx r(x)dx

∫ ∫ ∫ Như vậy ∫h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính r(x)dx

g(x)

trường hợp sau

Trường hợp 2: tính r(x)dx

g(x)

∫ với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức

*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:

g(x) =a(x 1).(x x )2 = (x x )1 + (x x )2 +(x x )2

nghiệm của g(x)

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho

các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C

( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các

hệ số được dễ dàng)

*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x)

phân tích về thành tích của các nhị thức

Phần 4: Tích phân.

Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và

nguyên hàm cơ bản

Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Tính I = bf[u(x)]u dx/

a ∫ bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)⇒ = dt u '(x)dx

 Đổi cận x=a => t = u(a)

x=b => t = u(b)

 I = bf[u(x)]u dx/

u(b)

u(a)

f (t)dt

∫

Dạng 2: Tính I = β f (x)dx

∫

α Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức

sau thì có thể đổi biến như sau:

1

−

− thì đặt x = asint 1

2 2

a x

+

+ thì đặt x = atant

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có

đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =

udv u.va vdu

a∫ = − a∫

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )

∫

ax

f x cosax dx ax e

β

α với f(x) là đa thức:

Đặt

cos

⇒

Sau đó thay vào công thức ∫udv uv = −∫vdu để tính

@ Dạng 2: β∫ f x( ) ln(ax b dx+ )

α

Đặt

ln( )

( )

( )

=

= ∫



a dx

ax b

dv f x dx

v f x dx

Sau đó thay vào công thức ∫udv uv = −∫vdu để tính

@ Dạng 3: ∫ sin 

ax ax

cosax

β α

Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản)

Dạng 1: β sin(ax+b)sin(cx+d)dx

∫

α ;β sin(ax+b).cos(cx+d)dx

∫ α

β cos(ax+b).cos(cx+d)dx

∫

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: sin ax.cos ax.dx n m

β α

∫ (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 12 *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax

*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đĩ

dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc

n = 0 số cịn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ bậc)

*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì cĩ thể

đặt t = tanax hoặc t = cotax

Dạng 3: β R(sinx,cosx)dx

∫

α R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại

học)

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) =

−R(sinx, cosx)thì

ta đặt t = cosx

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) =

−R(sinx, cosx)

thì ta đặt t = sinx

*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là

R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx

Bài tốn 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x)dx

g(x)

β

∫

α trong đĩ f(x), g(x) là các đa thức theo x

Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép

chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) h(x) r(x)

g(x) = + h(x) Trong đĩ h(x) (thương của phép chia) là một đa thức cịn r(x) (phần dư

của phép chia) là một đa thức cĩ bậc nhỏ hơn bậc của g(x)

Nên f (x)dx h(x)dx r(x)dx

Như vậy β h(x)dx

∫

α ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta

chỉ cịn phải tính r(x)dx

g(x)

β

∫

α theo trường hợp sau

Trường hợp 2: tính r(x)dx

g(x)

β

∫

α với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x)

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức

*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:

g(x) =a(x ).(x x ) = (x x ) + (x x ) +(x x )

nghiệm của g(x)

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đĩ cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các

hệ số được dễ dàng)

*) sau đĩ thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức

Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối

Tính bf (x) dx

a ∫ +) Tìm nghiệm của f(x) = 0

Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc cĩ cĩ nghiệm nhưng khơng cĩ nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc cĩ một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm cịn lại khơng thuộc [a;b] thì

bf (x) dx

a ∫ = bf (x)dx

a ∫ Nếu f(x) = 0 cĩ nghiệm x = c ∈(a;b) thì bf (x) dx

f (x)dx f (x)dx

a∫ + c∫

*Chú ý 1) Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào (cách làm này cĩ lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x))

2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân

Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể trịn xoay Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng

• Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

x a; x b

=





hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0;

a

b

x y

Diện tích : S = b| f (x) | dx

a ∫

Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0

• Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

y g(x)

x b

=





 = =



hàm số liên tục trên [a;b]

hàm số liên tục trên [a;b]

x a;

Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx

a∫ −

Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)

2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để

xác định hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng hoặc hiệu của

nhiều hình

Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường :

y f (x)

x a;x b

=





hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0; quay quanh trục Ox và f(x) ≥ 0 trên

[a;b] thì V = bf (x) dx2

a

π  ∫   

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường :

f (y)

c; y d

=





hàm số x liên tục trên [c;d]

trục tung x 0;y quay quanh trục Oy và f(y) ≥ 0 trên

[a;b] thì V = d

c

2

f (y) dy

π  ∫  

Phần 6: Số phức

Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…

Cho hai số phức a+bi và c+di

1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) mơđun số phức

2 2

z = + a bi = a + b

3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi

* z+z = 2a; z.z= z2=a2 +b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i

6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i 7) z = c di 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]

a bi a b

+ =

Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với ∆ = b2− 4ac

Nếu ∆ = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép x1 x2 b

2a

= = − (nghiệm thực)

Nếu ∆ > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: x b

2a

− ± ∆

= Nếu ∆ < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức x b i

2a

− ± ∆

=

B HÌNH HỌC

Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình

Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nĩn,trụ,cầu

 Khối nĩn: Sxq = πrl; Stp = πr(r + l)

 Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = 2πr(r + l)

 Khối cầu: S = 4πr2

Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình.

* Khối hình chĩp V = 1Bh

3 ; * Khối nĩn V = 1 2

r h

3 π

* Khối hình trụ V = πr2h ; * Khối cầu V =4 3

r

3 π

* Khối lăng trụ: V= Bh

Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

a

→ = (x;y;z) ⇔ → a = x.→ i + y → j + z → k

Tính chất : Cho→ a = (a1;a2; a3) , → b = (b1;b2; b3)

• → a ±→ b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)

• → a k = (ka1;ka2;ka3) k ∈ R

ϕ

Cos ϕ = a2 a b1 1a2 a ba b22 2 2a b3 3b2 b2

y=g(x)