Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số *.. Tính giới hạn lim 32.. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD... Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số *... Tín
Trang 1TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
TỔ: Toán
ĐỀ KIỂM TRA LẦN 1
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN
Năm học: 2018 - 2019
Môn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu
Câu I (4,0 điểm)
1 Cho hàm số y x 22x 3 (*) và đường thẳng :d y2mx 4
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (*) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x x thỏa mãn 1; 2 1 2
6
2 Giải bất phương trình 2
( x 3 x 1) (1 x 2x 3) 4
Câu II (4,0 điểm)
1 Giải phương trình 1 sinx cos2x sin
1
4 cosx
2 Giải hệ phương trình
2
x y ,
Câu III (4,0 điểm)
1 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng
b c c a a b
2 Cho dãy số (un) được xác định bởi
1
1
2018
u
Tính giới hạn lim 32
n n
u n
Câu IV (4,0 điểm)
1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 3 6 2 4 4 3 18 2
3 2 6 6 0
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A 3;1 , đỉnh C nằm trên đường thẳng :x 2y 5 0 Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CECD, biết N6; 2 là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD
Câu V (4,0 điểm)
1 Cho dãy số u xác định n
1
2 1
2
1
, 1 2018
u
.Tính 1 2
n n
u
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn C x : 2 y2 25 , đường thẳng AC đi qua điểm K2;1 Gọi M, N là chân các đường cao kẻ từ đỉnh B và C Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng MN là 4x 3y 10 0 và điểm A có hoành độ âm
Hết
Số báo danh
………
Trang 2ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
I
4,0
điểm
1 Cho hàm số 2
2 3
y x x (*) và đường thẳng :d y2mx 4 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (*) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm
phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn 1; 2 1 2
6
2.0
+ Lập bảng biến thiên và vẽ (P):y x 22x 3
ta có đỉnh : 1 1; 4
4
x
y
Ta có bảng biến thiên:
y
x
-4
1
đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên có trục đối xứng là đường thẳng x 1
cắt trục hoành tại điểm 1;0 ; 3;0 cắt trục tung tại điểm 0; 3
Ta có đồ thị của hàm số:
0.50
Đk: 1
2
1 1
x x
Xét phương trình hoành độ giao điểm x22x 3 2 mx 4 x2 2m1x 1 0 (1)
d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2 phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt x x 1, 2 1
0
4 2 0
1 2 1 1 0
m m
m
khi đó theo định lí viet ta có 1 2
1 2
2 1 1
x x
0.50
2 2
-1
-1
-4
x y
Trang 3
1 2 1 2
2
3
m
m
kết hợp với điều kiện ta được 7
3
m
0.50
2 Giải bất phương trình 2
Điều kiện: x 1. Suy ra: x3 x 10. 0.50
2
2
x x
0.50
2
hoặc x 2.
0.50
Kết luận: Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là S 2; 0.50
II
4,0
điểm 1 Giải phương trình
1 sinx cos2x sin
1
4 cosx
Điều kiện : cosx 0 cosx 0 2
1 tanx 0 tanx 1
4
0.50
Pt
1 sinx cos2 sin
1
1 cos
x x
cos 1 sinx cos2 cos sinx 1
x x
0.50
1 sinx cos 2 1 2sin x+ sinx 1 0 sinx
2
hoặc s inx 1 (loại) 0.50
2
7
2 6
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 2
6
x k ; 7
2 6
x k với k Z
0.50
2.Giải hệ phương trình
2
x, y
2.0
Trang 4Điều kiện :
2
3
4 x 5y 0 2x y 1 0
Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có :
0.50
0.50 Thay x y vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình :
2
0.50
2
3
Đối chiều điều kiện ta có nghiệm
của hệ : x, y 1 5 1; 5 ; 1 5 1; 5
0.50
III
4,0
điểm
1 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng
b c c a a b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b c 2 bc 2 bc
a
Tương tự ta được c a 2 ca a b; 2 ab
0.50
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
b c c a a b 2 bc ca ab
Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có
bc ca 2 bc ca 2 c
a b a b
0.50
Áp dụng tương tự ta được ca ab ab bc
b c c a
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
0.50
Trang 5bc ca ab a b c
a b c
Do đó ta suy ra b c c a a b 2 a b c
Ta cần chứng minh được
2 a b c a b c 3 a b c 3
Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Cauchy
và giả thiết abc 1
Bài toán được giải quyết xong Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c 1
0.50
2.Cho dãy số (un) được xác định bởi
1
1
2018
u
Tính giới hạn lim 32
n n
u n
2.0
Ta có
2
1
0.50
1
n
u
(v n) là cấp số nhân có công bội 1
3
q và số hạng đầu
1 1
2018 1009
u
2
1009 1 1009 1
0.50
Khi đó lim 32
n n
u n
1 2
2 3
n
n
2 2
3027 3 3027 3 3027
IV
4,0
điểm
1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 3 6 2 4 4 3 18 2
3 2 6 6 0
Đk: 2
6
x y
H
x
3
y
1
O
I
1
Trang 6Ta có pt(1)
m
0.50
Đặt
1 2
2 3
x
a
y
b
(đk ,a b ) Ta có hệ phương trình 0
2 2
2 2
2 2 3 4
Hệ phương trình đã cho có nghiệm hệ (*) có nghiệm ,a b 0
Nếu m 4 hệ (*) vô nghiệm hệ phương trình đã cho vô nghiệm
0.50
Nếu m 4 Chọn hệ tọa độ Oab ta có
Pt(1) cho ta 1
4 đường tròn C tâm 1 I1;1 , R 1 5 ( vì ,a b )0
Pt(2) cho ta 1
4đường trònC tâm 2 O0;0 , R2 m4 ( vì ,a b )0
Hệ phương trình có nghiệm C cắt1 C2
0.50
Vậy hệ đã cho có nghiệm 5m 3 2 10 0.50
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A 3;1,
đỉnh C nằm trên đường thẳng :x 2y 5 0 Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao
cho CECD, biết N6; 2 là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE Xác
định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD
2.0
Tứ giác ADBN nội tiếp ANDABD và ABDACD (do ABCD là hình chữ nhật)
Suy ra ANDACD hay tứ giác ANCD nội tiếp được một đường tròn, mà
0.50
Giả sử C2c 5;c, từ
AN CN 3 1 2 c 2 c 0 c 1 C7;1
Tứ giác ABEC là hình bình hành, suy ra AC/ /BE.
Đường thẳng NE qua N và song song với AC nên có phương trình y 2 0. 0.50
Trang 7Giả sử B b ; 2 , ta có
2
.
6
0
b
B
B
Từ đó dễ dàng suy ra D6; 4
Vậy C7;1, B 2; 2 , D6;4 0.50
V
4,0
điểm 1 Cho dãy số u xác định n
1
2 1
2
1
, 1 2018
u
n n
u
2.0
Theo giả thiết ta có:
1
1 2018
u u
u u mà u 1 2 suy ra.
1 2 3
2u u u do đó dãy u là dãy tăng n
Giả sử dãy u bị chặn trên suy ra n limn u n L
với L 2 khi đó.
0.50
1
0
lim lim
1
n
L
L
Vô lý do L 2 Suy ra dãy u không bị chặn trên do đó n lim n lim 1 0
n
u
u
0.50
1
1 2018 2018
1
1 2018
n
u
1
2018
0.50
Đặt :
n n
n
u
S
0.50
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
C x : 2 y2 25 , đường thẳng AC đi qua điểm K2;1 Gọi M, N là chân các đường
cao kẻ từ đỉnh B và C Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết phương trình đường
thẳng MN là 4x 3y 10 0 và điểm A có hoành độ âm
2.0
Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BM, CN
với đường tròn C .
Do tứ giác BCMN nội tiếp nên
MBC CNM, lại có CJI IBC (cùng
Trang 8chắn cung IC) do đó
CJI CNM MN IJ
Lại có
ACI ABI
JBA JCA
ABI JCA doNBM NCM
AI AJ AOJI AOMN
0.50
Từ đó ta có:
+) DoOA đi qua O0;0 và vuông góc với MN: 4x 3y 10 0 nên Phương trình
đường thẳng OA: 3x 4y 0.
+) Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
4 25
;3
4; 3
y
A
x y
0.50
+) Do ACđi quaA 4;3 và K2;1, nên phương trình đường thẳng
AC x y
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
4;
25
3
5; 0
C x
y
A y
lo¹i
+) Do M là giao điểm của AC và MNnên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
1; 2
x y
M
x y
0.50
+) Đường thẳng BM đi qua M 1;2và vuông góc với ACnên phương trình đường
thẳng BM: 3x y 5 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
0;5
3; 4 25
B
x y
Vậy A 4;3 , B 3; 4 , C5;0 hoặc A 4;3 , B0;5 , C5;0
0.50
Hết