SÁNG KIẾN CẤP TỈNH(HAY)

Đối với các bài toán hình học mà có hai đờng tròn tiếp xúc nhau nhiều khi vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn làm xuất hiện những yếu tố liên quan đến cả hai đờng tròn , từ đó giúp ta

I/ Đặt vấn đề :

Trong giải toán hình học một số bài toán nhiều khi phải vẽ thêm đờng phụ thì mới đi

đến lời giải hoặc có khi vẽ thêm đờng phụ giúp lời giải đợc gọn hơn , hay hơn ,

nh-ng điều khó khăn phức tạp nhất là biết chọn đờnh-ng phụ nào cho có lợi khi giải bài toán Đối với các bài toán hình học mà có hai đờng tròn tiếp xúc nhau nhiều khi vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn làm xuất hiện những yếu tố liên quan đến cả hai đờng tròn , từ đó giúp ta tìm đến lời giải bài toán

Căn cứ vào những lí do trên, nên tôi chọn đề tài là: " Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn " Do nhiều điều kiện

cũng nh kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây là vấn đề tơng đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót Rất mong sự chí bảo quí báu của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp

II Nội dung 1.Cơ sở khoa học và thực tiễn

- Xuất phát từ đặc điểm , quá trình t duy và nhận thức của học sinh trong chứng minh các bài toán hình học đó là :

+ T duy của học sinh đang trong quá trình hình thành và phát triển

+ Nhìn nhận vấn đề ở các bài toán còn hạn chế

- Quan sát quá trình giải toán hình học của học sinh cho thấy việc học sinh loay hoay tìm ra lời giải các bài toán gặp nhiều khó khăn khi bài toán đó cần vẽ đờng phụ :

+ 80% học sinh giải bài toán mang tính tự phát , cha tìm hiểu kĩ dẫn đến không biết cách vẽ đờng phụ để từ đó tìm ra lời giải

+ 20% Thực hiện kế hoạch giải sai , hoặc giải qua loa đại khái cho xong

2 Nguyên nhân và biện pháp khắc phục.

- Khó khăn đầu tiên mà học sinh vấp phải đó là tìm ra hớng chứng minh , cách vẽ đ-ờng phụ Do trình độ nhận thức còn bột phát hoặc mang tính thụ động ít t

duy,nghiên cứu vấn đề cha kĩ ,hoặc t duy cha logic Bên cạnh đó bài toán hình học các hình vẽ đờng phụ thì có nhiều hớng nên học sinh không biết cách vẽ đờng nào cho đúng để chứng minh

Trong các ví dụ sau đây việc không sử dụng vẽ đờng phụ là “ Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn” dẫn đến chứng minh các bài toán sẽ gặp khó khăn

Ví dụ bài toán 1:

Cho đờng tròn (O;R) và đờng tròn (O ;R ) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây

cung AB , AC của đờng tròn (O) , AB và AC cắt (O ) lần l’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ợt tại D và E ( D khác A ,

E khác A )

Chứnh minh BC // DE

Phân tích : Đối với bài toán này để chứng minh BC // DE cần chứng minh

ADEABC ( cặp góc đồng vị bằng nhau ) Nhng để chứng minh ADE ABC thì học sinh khó tìm ra cách chứng minh Thực tế ADE và ABC là hai góc nội tiếp của đờng tròn

(O) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ) ,ta chỉ cần một động tác chứng minh ADE và ABC bằng góc thứ ba Vậy

ta cần vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại A là xAy khi đó xuất hiện góc

yAE ADE và yACABC.

H ớng dẫn giải :

Vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng

tròn là xAy

Xét đờng tròn (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ) có : yAE ADE (1)

( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội

tiếp cùng chắn cung AE )

2

x

O O’

A

B

C D

E

Xét đờng tròn (O) có yAC ABC(2)

( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội

tiếp cùng chắn cung AC )

Từ (1) và (2) suy ra ADE ABC  BC // DE

Ví dụ bài toán 2 :

Cho hai đờng tròn (O;R) và đờng tròn (O ;R ) tiếp xúc ngoài với nhau tại’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây

A Vẽ cát tuyến chung BAC và DAE ( B , D thuộc (O) ; C , E thuộc (O ) ) ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây

Chứng minh : BD // CE

Phân tích : Tơng tự bài toán 1 để chứng minh BD // EC ta cần chứng minh

ACE DBA hoặc BDA AEC   Vậy ta cần chứng minh ACE và DBA bằng góc thứ ba nào đó Để chứng minh ACE và DBA bằng góc thứ ba thì ta tạo ra gó đó bằng cách

vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại A là yAy’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây

H ớng dẫn giải :

- Vẽ tiếp tuyến chung trong yAy’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây của

hai đờng tròn (O) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây )

Xét đờng tròn (O) ta có :

y AD DBA'   (1) (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và góc nội tiếp cùng chắn cung AD ).

Xét đờng tròn (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ) ta có :

yAE ACE(2) ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và góc nội tiếp cùng chắn cung AE ).

Mặt khác : yAE  'y AD (3) ( đối đỉnh)

B

C D

E y

y’

Từ (1) , (2) , (3) suy ra : ACE DBA  (hai góc ở vị trí so le trong) DB // CE

Ví dụ bài toán 3:

Cho hai đờng tròn (O;R) và đờng tròn (O ;R ) tiếp xúc ngoài với nhau tại A Gọi BC’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây

là tiếp tuyến chung ngoài của đờng tròn (O) và đờng tròn (O ) ( B ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây (O); C (O ) ) ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây

Chứng minh : BAC = 90 0

Phân tích : Với bài toán này học sinh muốn chứng minh BAC = 90 0 có nhiều em

lúng túng tìm cách giải bởi tác động hình vẽ khó tìm dữ kiện để chứng minh BAC =

90 0 Vậy để hình vẽ nh vậy khó có thể tìm ra lời giải Thực chất BAC = 90 0 tức là

ABC vuông tại A , muốn chứng minh ABC vuông tại A ta cần tạo ra đờng trung

tuyến từ đỉnh A của ABC bằng 1

2 cạnh ấy Vậy ta cần phải vẽ đờng phụ là tiếp

tuyến chung trong của hai đờng tròn (O) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ) tại A

H ớng dẫn giải :

Vẽ tiếp tuyến chung trong của đờng

tròn (O) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ) tại A và cắt BC tại D

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Ta có : DA = DB ; DA = DC

ABC có AD là trung tuyến và AD = 1

2BC nên ABC vuông tại A => BAC = 90 0

Ví dụ bài toán 4:

Cho hai đờng tròn tiếp xúc trong tại điểm A Gọi BC là một dây của đ-ờng tròn lớn tiếp xúc với đđ-ờng tròn nhỏ tại điểm D

Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC.

B

C D

Phân tích : Với yêu cầu chứng minh AD là phân giác của góc BAC hầu hết các em

có t duy là chứng minh BAD DAC  nhng để chứng minh đợc thì đa phần các em gặp khó khăn Đối với bài toán này các em khó phát hiện cách vẽ đờng phụ để chứng minh.Nhng thực tế để chứng minh đợc đơn giản ta phải vẽ đờng phụ là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại A

H ớng dẫn giải :

Vẽ tiếp tuyến chung Ax của hai đờng tròn (O) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây )

Ax cắt BC tại E

Nên ta có : EA = ED ( T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra : EAD EDA   (1)

Mặt khác EAD EAB BAD     (2)

EDA ACD DAC  (3)( Vì EDA là góc ngoài của  ADC)

Xét đờng tròn (O) ta có : EAB ACD  (4)

(Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung AB ).

Từ (2) và (3) ta có : BAD EAD EAB    

DAC EDA ACD 

Do EAD EDA  , EAB ACD  nên BAD DAC  

Vậy AD là tia phân giác của góc BAC

Ví dụ bài toán 5 :

Cho hai đờng tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài tại D Từ một điểm A trên đ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây -ờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến với đ-ờng tròn (O) và cắt đ-ờng tròn (O ) tại hai điểm B và ’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây





D

A

B

C

E x

O O’

Phân tích : Đối với bài toán này sau khi vẽ hình các em nhiều khi lúng túng tìm ra cách chứng minh , các em khó phát hiện cách chứng minh Nhng để chứng minh A cách đều BD và CD thì cần phải chứng minh A thuộc tia phân giác BDx => Phải vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại D từ đó ta chứng minh ADx ADB 

Huớng dẫn giải :

Vẽ tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn (O) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A Vẽ các dây ) tại D cắt AB tại E Khi đó ta có : EA = ED ( Tính chất hai tiếp tiếp tuyến cắt nhau )

Nên suy ra : EAD EDA 

Mặt khác: ADx EAD DCA     (1)(ADx là góc ngoài của ADC )

ADB EDA EDB    (2)

Ta thấy : EDB ACD   (3)

(Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc

nội tiếp cùng chắn cung BD ).

Từ (1),(2),(3) suy ra :

ADx ADB  A thuộc tia phân giác của góc BDx

Vậy A cách đều hai đờng thẳng BD và CD

Trong quá trình giảng dạy môn toán THCS mỗi bài toán đặt ra trớc hết phải phục

vụ cho mục tiêu dạy học Việc xây dựng và sử dụng cách giải phơng pháp nhận dạng các bài toán “chứng minh hình học có sử dụng vẽ đờng phụ ” mà tôi trình bày ở trên

là nhằm mục đích giúp học sinh có khả năng t duy khi giải các bài toán chứng minh

có hai đờng tròn tiếp xúc nhau một cách đơn giản hơn,đồng thời kích thích cho học

sinh biết t duy sáng tạo trong các bài chứng minh hình học.Tuy nhiên để giải một bài toán nó thờng đợc bắt đầu bởi những kiến thức cơ bản,từ đó bản thân vận dụng sáng tạo có hiệu quả vào để chứng minh một cách hợp lý nhất,nhanh nhất, gọn nhất ( Trong quá trình viết còn nhiều khiếm khuyết mong độc giả thông cảm và góp ý )./



O

B

D x

C