CHương trinh on thi vào lớp 10

Các khái niệm liên quan: + Giá trị x gọi là biến số đối số của hàm số.. + Tập D gọi là tập xác định của hàm số.. + Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số.. Chú

Trang 1

Phần I căn bậc hai_ căn bậc n

Đ 1 một số kiến thức cơ bản liên quan

A Kiến thức cần nhớ:

1.Bất phơng trình tích

a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0).

Nghiệm của phơng trình ax + b = 0 cũng gọi là nghiệm của nhị thức ( x0 =

b) Ta có: a = -3 < 0

Nhị thức có nghiệm x0 =

-3

5 Vậy f(x) < 0 nếu x > -

2 Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

a

)(

a

)(

0

;

x - ∞ x 0 +∞

Trang 2

Tài liệu ụn thi lớp 10 – GV: Lờ Thắng THCS Phương Khoan – Vinh phỳc

a x f a a

)(

)(0

a x f a a

)(

)(0

)2)(

1( <

3 =

−

Vậy x ≥

−

≥

−

034

072

034

072

x x x

x x x x

⇔ 43 ≤ x≤ 27

Vậy Bpt (*) có nghiệm là x ∈  2

7

;43

Cách 2: Vận dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất

1) Tìm nghiệm của các nhị thức bậ nhất:

2x – 7 = 0 ⇔ x =

27 ;

Trang 3

- 4x + 3 = 0 ⇔ x =

4 3

2) Lập bảng xét dấu:

x -∞

4 3

2 7 +∞

2x – 7 - - 0 +

-4x + 3 + 0 - -

VT - 0 + 0 -

3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phơng trình là: S =     2 7 ; 4 3

d) 0 6 2 ) 2 )( 1 ( < − − − x x x 1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất: x – 1 = 0 ⇔ x = 1; 2 – x = 0 ⇔ x = 2; 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3 2) Lập bảng xét dấu:

x -∞ 1 2 3 +∞

x – 1 - 0 + | + | +

2 – x + | + 0 - |

-2x – 6 - | - | - 0 +

VT + | - | + || -

3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập ghiệm S = (1;2)∪(3; +∞)

Ví dụ2: Giải các bất phơng trình sau: a) 2x2 – 3x + 1 < 0 ; b) x2 + 4x +5 ≥ 0 ; c) -2x2 +4x – 6 ≥ 0 ; d) 2x2 – 5x + 2 < 0 H ớng dẫn giải Ph ơng pháp:

Phân tích vế trái của các bất đẳng thức thành tích các nhị thức rồi thực hiện cách giải nh ví dụ 1.

a) 2x2 – 3x + 1 < 0 (1) (1) ⇔ 2x2 – 2x – x + 1 < 0 ⇔ 2x(x – 1) – (x – 1) < 0 ⇔ (2x – 1)(x – 1) < 0

b) x2 + 4x +5 ≥ 0 ⇔ x2 + 4x + 4 + 1 ≥ 0 ⇔ (x + 2)2 + 1 ≥ 0 Luôn đúng với mọi x

c) -2x2 +4x – 6 ≥ 0 ⇔ -2(x2 – 2x + 1) – 4 ≥ 0 ⇔ -2(x - 1)2 – 4 ≥ 0 vô lí

d) 2x2 – 5x + 2 < 0 ⇔ 2x2 – 4x – x + 2 < 0 ⇔ 2x(x - 2) – (x – 2) < 0

Trang 4

13 < 3

Giải a) |1 - 3x| < 2 ⇔ - 2 < 1 – 3x < 2 ⇔ - 3 < -3x < 1 ⇔ -

3

1 < x < 1 Vậy bất phơng trình có nghiệm x ∈ (-

3

1 ; 1)

435

x x

Vậy bất phơng trình có nghiệm x ∈

(-∞;-5

7)∪(5

−

≥+

−

155

2

x x

−

≥+

−

065

045

2

x x

Vậy bất phơng trình có nghiệm x ∈(-∞;1] ∪ [2;3] ∪ [4; +∞)

13 < 3 ⇔

−

>

−+

32

13

32

13

x x x

>

+

−+

032

13

032

13

x x x

>

−

−++

02

)2(3)13(

02

)2(3)13(

x

x x

x

x x

56

02

7

x x

56(

02

x x

02

x

⇔ x <

65

Vậy bất phơng trình có nghiệm x ∈(-∞;

6

5)

Chú ý: Nhiều bạn thờng hay mắc sai lầm ở phép biến đổi:

−

>

−+

32

13

32

13

x x x

)2(313

x x

61

7) x

x x

2

Trang 5

Đ 2 biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số

+) Điều kiện có nghĩa của A là A ≥ 0

a2 Với các điều kiện có nghĩa thì:

+) a b = ab; ( )a n = a n ; +) ( a b c)n = a n b n c n

+)

b

a b

b a b

2

2 +)

b

b a b

a =

+)

c b

c b a c b

c b

c b a c b

(ab + ac) + (b2 + 2bc + c2) = a(b + c) + (b + c)2 = (b + c)(a + b + c)

nếu a ≥ 0nếu a < 0

Ví dụ 1:

Trang 6

x6 – x4 – 2x3 + 2x2 = x2(x – 1)2(x2 + 2x + 2)

c) Dùng hằng đẳng thức:

x6 – y6 = (x - y)(x + y)(x2 – xy + y2)(x2 + xy + y2)

d) Chú ý rằng: y2 – z2 = -(z2 – x2 + x2 – y2), thay vào đẳng thức

Chú ý: Trong thực hành với đa thức bậc n, ta có thể sử dụng kết quả sau đây:

Xét đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a… 2x 2 + a1x + a0

- Nếu P(x) có nghiệm x = a, tức P(a) = 0 thì P(x) chia hết cho (x – a) và ngợc lại

Khi đó P(x) = (x - a)Q(x) trong đó Q(x) có bậc n – 1

- Nếu tổng các hệ số an+ an-1+ + a… 2+ a1+ a0 = 0 thì P(x) có nghiệm x = 1.

a) a2 – 2ab –c2 + b2 ; b) 3xy2 + 6xy + 3x; c) -6x2 + 5x + 1;

d) abx2-(a2 + b2)x + ab; e) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Trang 7

Ph ơng pháp: áp dụng hằng đẳng thức để phâp tích các biểu thức trong căn bậc hai thành các

13242

13

a) Chú ý rằng : 5 + 6 = ( )2

3+ 2 ; 5 - 6= ( )2

3− 2 b) Chú ý: 7 ( )2

Trang 8

Tài liệu ôn thi lớp 10 – GV: Lê Thắng THCS Phương Khoan – Vinh phúc

b) Trôc c¨n thíc khái mÉu sèb»ng c¸ch nh©n c¶ tö, c¶ mÉu víi c¸c biÓu thøc liªn hîp:

62526113

+

−++

+

−++

; 4) 5 3+5 48−10 7+4 3 ; 5) 4+ 10+2 5 + 4− 10+2 5 ; 6) 94−42 5 − 94+42 5 ;

7)

322

323

22

32

−

−+

++

Trang 9

a) A=

4

65

; b) B=

144

123

x x

y x

x

266

32

55

+++

+

++

+

vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc nÕu x + y =2008

Gi¶i a) A=

4

65

2(

632

x x x

=

2

3+

123

x x

2

)12(

1)(22

−

−+

x

x x

x

)12(

)12()12(

( x ) (y y ) xy

x

xy y

y x

x

266

32

55

+++

+

++

xy y

y x

x

266

32

55

+++

+

++

+

=

y x

Rut gän biÓu thøc:

a) A = |x - 1| - |1 – 2x| víi x <

2

1 ;

b) P =

143

12

2

−

++

−+

x

x x

d) B = x2 −8x+16+ 25−10x+x2 víi 4 < x < 5

Gi¶ia)V× x <

Trang 10

13

−

+

−+

x

x x

vì x > 2 2 ⇒|x| = x;|2 - x| = x – 2, đồng thời 2x – 1 ≠ 0, do đó :

12

121

x

x x

11

1:

111

1

ab

a ab ab

a ab

a ab ab

a

a a

++

x xy y

x y x ỹy

1

11

C =

12

11

x

D =

)(2

2 2 2

2

y x

y x x y

x x

với x > y > 0

E =  − + +   − − +1

11

1:1

11

1

x x

x

ab

b a

x a

−+

a

1

12

1

0 < a < 1

nếu x ≥ 0nếu x < 0

Trang 11

P = (a + b) -

1

)1)(

1(

2

2 2

+

++

2

121

−

−+

−

−+

−

x x x

x

x x x

x

Bµi 4: Rót gän biÓu thøc

a)

14

4

12

x

b) 2 2

2 2

352

32

y xy x

a

b a b a

22

2 3

vµ tÝnh sè trÞ cña biÓu thøc nÕu

3

1

=

b a

Bµi 5: Rót gän biÓu thøc

a)

b ab a

35

2

32

+

−

−+ ; b)

12

43

x x

; c)

y x

x y y x

y x

x y x y

y x y

x

xy y

x

+

−+

11

.1

1

a

a a a

a a

32

66

32

−

+

−+++

−

−+

+

x

x y

x xy

xy y

x xy

y x

víi x > 0; y > 0; x ≠ 9

Gi¶i Ph©n tÝch c¸c mÉu thøc thµnh nh©n tö:

3)(

3(

)2)(

9()3)(

6()3)(

32

(

++

−

++

−

−++

y x

x

y x

x xy x

y x

= 0 Suy ra A kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè (®pcm)

Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè:

B =

( )2

2

11:

2

y x

y x y

Trang 12

11

C = (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2( 2 1) 1

.2(1 )(1 )

Thực ra đây cũng là bài toán rút gọn biểu thức, tuy nhiên khác với bài toán trên ở chổ :

Khi biến đổi không nhất thiết phải làm cho biểu thức thật gọn mà ta phải hớng mục tiêu cuối cùng là làm xuất hiện vế còn lại

Để biến đổi A = B ta có thể áp dụng các phơng pháp sau:

1) Chỉ ra A – B = 0

2) Biến đổi A thành B (hoặc ngợc lại)

3) Biến đổi A = C và đồng thời B = C

I.Các ví dụ

Chứng minh đẳng thức:

Ví dụ 3:

Ví dụ 1:

Trang 14

a) Điều kiện để M có nghĩa là: 1 0

1 0

a a

b)Tìm các giá trị của a sao cho N < 1

c)Tính giá trị của N nếu a = 19 - 8 3

Giảia)Điều kiện có nghĩa a ≥ 0 và a ≠ 1

nếu 2 ≤ a ≤ 6nếu a > 6

Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

Trang 15

x y

Trang 16

Tài liệu ôn thi lớp 10 – GV: Lê Thắng THCS Phương Khoan – Vinh phúc

2

30

Trang 17

a a

4925

a a

Trang 18

Điều kiện:

0114

a a a

2 3

a a

Do đó, ta có :

a + a + 1 ≤ a+ 1

2

a++1 = 3

2(a + 1) (1) Theo điều kiện bài toán thì a + a + 1 > 0 suy ra

2

3 Vì a ≠ 1 nên dấu bằng không xảy ra, suy ra: 1

1

a

a a

++ + >

2

3 (đpcm)

Trang 19

x x x

95

x x

b) Tính giá trị của Q với a = 2; b = 3

b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên

Bài 3: a)Chứng minh đẳng thức: 3 42 (2 )2 1

−+ đạt giá trị nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó

Ví dụ 8:

Trang 20

b) Xét dấu của biểu thức: P 1 a−

Bài 8: Cho biểu thức: P = 1 1 : 1 2

2 3

b) Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 10: Cho biểu thức sau với x, y nguyên dơng:

b) Cho xy = 16 Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất

Bài 11: Cho biểu thcsau với x > 0, y > 0, x ≠ 4y, x ≠ 1:

+

a) Tìm điều kiện để mỗi biểu thức có nghĩa

b) Rút gọn A và B

c) Tính tích A.B với x = 3 - 2; y = 3 + 2

Trang 21

Bài 13: Cho biểu thức: A = 1 2 : 1 2

Đ 1 Khái niệm về hàm số

A kiếm thức cần nhớ

1.Định nghĩa: Hàm số là một quy tắc đặt tơng ứng mỗi giá trị x ∈ Dduy nhất một giá trị

y ∈ R Kí hiệu y = f(x).

2 Các khái niệm liên quan:

+) Giá trị x gọi là biến số (đối số) của hàm số Giá trị y gọi là giá trị của hàm số

+) Tập D gọi là tập xác định của hàm số.

+) Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số.

Chú ý: Nếu hàm số đợc cho bởi một công thức thì tập xác định của hàm số là tập hợp tất

cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa.

Trang 22

Nhận xét: Đồ thị hàm số đồng biến là một đờng hớng lên từ trái qua phải.

Đồ thị hàm số nghịch biến là đờng hớng xuống từ trái qua phải

- Đồ thị của hàm số bậc nhất còn gọi tắt là đờng thẳng , còn biểu thức y = ax + b còn gọi là

phơng trình của đờng thẳng, a gọi là hệ số góc của đờng thẳng và a =tanϕ (với ϕ là góc tạo bởi đờng thẳng và trục hoành)

- Nếu a = 0 thì hàm số có dạng y = b , đồ thị là một

đờng thẳng đi qua điểm A(0;b) và song song với

trục hoành

2 Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:

Cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = a1x + b1 (d1) ; y = a1x + b1 (d2)

a ≠b : Hệ (I) có nghiệm duy nhất, ĐT(1) cắt ĐT(2).

• a a'=b b'≠ c c': Hệ (I) vô nghiệm, ĐT(1) song song với ĐT(2).

y

xO

Trang 23

•a a'=b b'= c c': Hệ (I) có vô số nghiệm (x;y) thỏa mãn (1) hoặc (2), ĐT(1) trùng ĐTT(2).

Ph ơng pháp giải:

• Phơng pháp thế

• Phơng pháp cộng đại số

Phơng pháp thế: Rút một ẩn từ một phơng trình rồi thế vào phơng ttrình còn lại.

Phơng pháp cộng đại số: cân bằng hệ số của một ẩn ở cả hai phơng trình rồi trừ theo vế hai

1) Song song với trụ hoành

2) Song song với đờng thẳng có phơng trình: x – 2y = 1 (d’)

3) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x = 2 - 3

2 c) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi , tìm điểm cố

định đó

Giảia) -Hàm số đồnh biến nếu: m – 1 > 0 ⇔ m > 1

-Hàm số đồnh biến nếu: m – 1 < 0 ⇔ m < 1

b)Tìm m:

1) Đờng thẳng (d) song song với Ox khi và chỉ khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1

2) Viết lại đờng thẳng (d’) dới dạng: y = 1

2x - 12 Hai đờng thẳng (d) và (d’) song song với nhau khi và chỉ khi :

11

32

2

m

m m

Với m = 0: - x0 – y0 = 0 ⇔ x0 = -y0 (a)

Với m = 1: 1 – y0 = 0 ⇔ y0 = 1 thay vào (a) ta có: x0 = -1

Ví dụ 1:

Trang 24

Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1)

Cho hàm số y = (m - 2)x + n (∆) trong đó hai số m , n là hai số thực cho trớc

a) Tìm m và n để đờng thẳng (∆) đi qua hai điểm A(1;-2) và B(3; -4)

b) Tìm m và n để đờng thẳng (∆) cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = 1 - 2 và cắt trụ hoành tại điểm N có hoành độ x = 2 + 2

c) Tìm m, n để đờng thẳng (∆) :

1) Vuông góc với đờng thẳng có phơng trình x – 2y = 3 (∆1)

2) Song song với dờng thẳng có phơng trình 3x + 2y =1 (∆2)

Trang 25

x x

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 0

Trang 26

Nếu 1 – 2x < 0 ⇔ x > 1

2 : 1 2− x = −x 1⇔ 2x – 1= x – 1 ⇔ x = 0 (loại vì 0 < 1

2)Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

Cách 2: Nhận xét: Vế trái của phơng trình đã cho là không âm nên:

b) Chứng minh rằng với mọi a hệ đều có nghiệm

c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y < 0

d) Tìm a để hệ cónghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x = y 2

Giải

a) Khi a = 3 - 1 hệ có dạng :

2 3 1( 3 1) 2 5 2 3( 3 1) 3 3 3 5

(a2 + 1)x = 3 + 2a Vì a2 + 1 ≠ 0 ∀a nên:

3 22

1

a x

a

+

=+ , từ đó suy ra : y = 2

3 21

a a

−+ Vậy với mọi a hệ đều có ngiệm

Ví dụ 6:

Trang 27

đờng thẳng có hệ số góc khác nhau nên cắt nhau.

Vậy hệ luôn có nghiệm với mọi a

c) Theo câu b) ta có hệ có nghiệm duy nhất 3 22

1

a x

a

+

=+ ; y = 2

3 21

a a

−+ nên:

Ví dụ7:

Ví dụ8:

(1)(2)

Trang 28

Từ (1)

111

  (thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy hệ phơng trình đã cho có (2) nghiệm (3;4) và (-1;2)

a) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(x0;y0) và có hệ số góc bằng k

b) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(x1;y1) và N(x2;y2)

c) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua diểm M(-1;3) và:

1) Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x – 2y = 1

2) Vuông góc với đờng thẳng có phơng trình: 3y – 2x + 1 =0

Giải a) Phơng trình đờng thẳng có dạng y = kx + b (*) Vì đờng thẳng đi qua A(x0;y0) nên

y0 = kx0 + b ⇒ b = y0 – kx0 Thay vào (*) , ta có y = kx + (y0 – kx0) , hay:

2 áp dụng câu a) ta có : y = 3( 1) 3 3 9

2 x+ + = 2x+2

(1’)(2’)

Ví dụ 9:

y – y0 = k(x – x0)

Trang 29

2) Viết phơng trình 3y – 2x + 1 = 0 dới dạng : y = 2 1

3x−3 Vậy a = 2

3 Gọi k là hệ số góc đờng thằng cần tìm ta có k 2

3 = -1 ⇔ k = -3

2 Vậy phơng trình cần thành lập là: y = 3( 1) 3 3 3

x + + −x − ; d) 4x−4 x+ −1 7 4 3− =0.Bài 6: Giải các hệ phơng trình:

a)

1

32

y x

Trang 30

b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x – y = 1

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, b thì phơng trình x3 + ax2 + b = 0 không thể đồng thời có các nghiệm số là 1 và -1

c) Giả sử m, n thay đổi sao cho m + n = 1 Chứng minh rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua một

điểm cố định mà ta có thể xác định đợc tọa độ của nó

• Chiều biếm thiêm:

a > 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng ( - ∞; 0] và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞ ).Giá trị nhỏ nhất bằng không

a < 0: Hàm số đồng biến trong khoảng ( - ∞; 0] và nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞ ).Giá trị lớn nhất bằng không

Trang 31

Cách giải:

∆ = b2 – 4ac (∆’ = b’2 – ac; b = 2b’)

Nếu ∆ < 0 (∆’< 0) thì phơng trình đã cho vô nghiệm

Nếu ∆ = 0 (∆’ = 0) thì phơng trình đã cho có nghiệm kép x1 = x2 =

2

b a

x x a

1) Tìm hai số nếu biết tổng và tích:

Nếu hai số x ; y thỏa mãn

thì x ; y là hai nghiệm của phơng trình X2 – SX + P = 0

2) Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:

• Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0

• Phơng trình có hai nghiệm dơng (x1 > 0; x2 > 0 )

000

S P

Trang 32

⇔ = d) Các điểm trên đồ thị P 1

d) Giả sử (1) có hai nghiệm x1và x2,tính x12 + x22

Giải a) Để (1) là phơng trình bậc hai thì m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

= −



⇔  = − c) Điều kiện để(1) có hai nghiệm phân biệt là:

2

4' 0 6 8 0

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	1,93 MB