Hàm số không có cực trị.
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 BT THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2010
Bài 1
5 điểm
1
3đ Tập xác định R
Sự biến thiên: y' = 3x2 - 6x y' = 0 ⇔ =x x=02 0,5
Giới hạn: limx→+∞y= +∞;limx→−∞y= −∞ 0,5 Bảng biến thiên
x -∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y
2 +∞
−∞ -2
1
Đồ thị đi qua (3; 2) và (-1; -2) Đối xứng qua điểm (1; 0)
1
2
2đ
Phương trình ⇔x3 - 3x2 + 2 = 2 - m
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = 2 - m
Từ đó suy ra: 2 2 0
− > <
− < − >
phương trình có một nghiệm.
1
Nếu m = 0 hoặc m = 4 phương trình có hai nghiệm
Nếu - 2 < 2 - m < 2 ⇔ 0 < m < 4 phương trình có ba nghiệm. 1
1
2
-2 -1
y
Trang 2Bài 2
4 điểm
1
2đ
3sinx + cosx = 2 3sinx + cosx = 1 1π sin x + = 1
x + = + k2π (k Z)
x = - + 2kπ x = + k2π
Vậy phương trình có họ nghiệm là x = + k2ππ
3
1
1
2
2 x + y = 10
xy = 2
x + xy + y = 7 2xy = 4
x + y = 3
(I)
xy = 2
x + y = 9
x + y = - 3
xy = 2
(II)
xy = 2
0,5
0,5
Giải hệ phương trình (1) được hai nghiệm:
(x; y) = (1; 2); (2; 1) Giải hệ phương trình (2) được hai nghiệm:
(x; y) = (-1; -2); (-2; -1) Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm (x; y) là:
(1; 2); (2; 1); (-1; -2); (-2; -1)
0,5
0,5
Bài 3
3 điểm
1
1đ
Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx ⇒
1 2
t
=
= =
2
0 0
1
t
0,5
0,5 2
2đ Gọi số chẵn có ba chữ số là X = ai ∈{0;1; 2; ;9 L } (i = 1; 2; ;9) a a a1 2 3 (a1 khác 0) 0,5
Có 5 cách chọn a3 từ các số: 0; 2; 4; 6; 8
Có 10 cách chọn a2 và 9 cách chọn a1
Do đó có: 5.10.9 = 450
0,5 0,5 0,5
Bài 4
4 điểm
1
2đ Gọi I là tâm của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y +2)2 = 9
thì I(1; -2) và bán kính R = 3
OI = ( ) (2 )2
0 1 − 0 2 + = 5 < =R 3 Vậy điểm O ở trong đường tròn (C)
1
Trang 3B A
S
Vì điểm O ở trong đường tròn (C) và O là trung điểm của AB nên
OI ⊥ AB ⇔ AB có véc tơ pháp tuyến n OIr uur= = − (1; 2)
⇒ phương trình đường thẳng cần tìm là: 1(x - 0) - 2(y - 0) = 0
⇔x - 2y = 0
1
2
2đ
Gọi O là tâm hình vuông ABCD Vì khối chóp S.ABCD là khối chóp tứ giác đều ⇒ SO⊥mp ABCD( ) và AC = a 2;
OA = OC = 2
2
a
1
Xét tam giác vuông SOA có: SO2 + OA2 = SA2
2
⇒ = − = − ÷÷ =
0,5
Thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD là:
3
Bài 5
4 điểm
1
2đ Vì (α) vuông góc giá của a r
nên (α) có véc tơ pháp tuyến là:
(6; 2; 3)
r r
1 Phương trình mặt phẳng (α) là:
6(x + 1) - 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0 ⇔6x - 2y - 3z + 1 = 0 1 2
2đ Toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (α) là nghiệm
của hệ phương trình:
= − + =
= − = −
− − + = =
1
Toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (α) là M(1; -1; 3)
1
GHI CHÚ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Trang 4SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ DỰ BỊ
(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 BT THPT
Bài 1
5 điểm
1
3đ Tập xác định R \ { }- 1
Sự biến thiên: ( )2
2 y' =
x + 1 y' > 0 với mọi x khác -1 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ; -1) ∞ và (- 1; +∞) Hàm số không có cực trị.
0,5
y' > 0 2
0
x x
>
⇔ < Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 0) và
(2; +∞)
y' < 0 ⇔ 0 < x < 2 Hàm số nghịch biến trong khoảng (0; 2)
Điểm cực đại (0; 2) Điểm cực tiểu (2; -2)
0,5
x lim =1 ±
→ ∞ suy ra đồ thị có tiệm cận ngang y = 1
1
x lim = - ( 1)
+
→ − ∞ ;
x lim = + ( 1)
−
→ − ∞ nên đồ thị có tiệm cận đứng x = -1
Bảng biến thiên:
y
+∞ 1
1 -∞
1
Đồ thị đi qua điểm (-2; 3)
và (-3; 2)
0,5
x
1
2 3
-3
-1
-1 0 -2
1
y
Trang 52đ Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm x khác -1 của
phương trình: x - 1 = x + m
x + 1
2
x - 1 = x + m x - 1 = (x + 1)(x + m)
x + 1
x + mx + m + 1 = 0 (*)
⇔
⇔
0,5
Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác - 1
m 4(m + 1) > 0 m - 4m - 4 = 0
m < 2 - 2 2
0,5
1
Bài 2
4 điểm
1
2đ sin2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0
⇔ 2sinxcosx + 2cos2x + sinx + cosx = 0
⇔2cosx(sinx + cosx) + sinx + cosx = 0
⇔(sinx + cosx)(2cosx + 1) = 0
1
4
t anx=-1
2 1
2 3
π π
π π
π π
= − +
= − +
(với k ∈ Z)
Phương trình có ba nghiệm: x = -
4 k
π + π
; x = - 2 2
3 k
π + π
và
x = - 2 2
3 k
π + π
(với k ∈ Z)
1
2
2đ
3
x + y = 3
x y
+ =
⇔
1
x, y là hai nghiệm của phương trình t2 - 3t + 2 = 0 Giải phương trình được t = 1; t = 2
Hệ có hai nghiệm (1; 2) và (2; 1)
1
Bài 3
3 điểm
1
1,5đ
Đặt u = lnx du = dx
x
1
⇒
= =
1
2
0
e
x
=∫ =∫ = =
Trang 63
n
n N
≥
∈
2 n 1 n n 2 n 1 n 2 n 2 n 4
⇔ − = − − ⇔ = − ⇔ =
M = 4! 4 1 24 5 29
+ + = + =
Bài 4
4 điểm
1
2đ Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng y = x + 2 tại điểm
M(2; 4) nên tâm của nó nằm trên đường thẳng (∆) với đường thẳng: y = x + 2 tại điểm M
Phương trình (∆): y = - x + b
Vì (∆) đi qua M nên 4 = - 2 + b ⇒ b = 6 Phương trình (∆): y = -x + 6
0,5
Vì tâm đường tròn thuộc trục Ox nên toạ độ tâm I thoả mãn:
(6;0)
I
= − + =
= =
0,5
Vì đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng y = x + 2 tại điểm M nên: R2 = IM2 = (6 - 2)2 + (0 - 4)2 = 32
Đường tròn phải tìm là: (x - 6)2 + y2 = 32
1
2
lí ba đường vuông góc) Tương tự ta có:
Suy ra: AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BB)
1
Gọi V là thể tích của khối đa diện
Vì ABCDA'B'C'D' là hình lập phương nên ta có:
3
1 ' ' ' ' 1
'
B A C B D DA C A BDA C BDC
B A B C
=> VB.DA'C' = VABCDA'B'C'D' - 4VB'.A'C'B = a3 - 4
6a3 = a3 - 2
3a3 = 3
3
a
1
5
4 điểm
1
2,5đ uuurAB = (-3; 6; -3) uuurAC
= (-4; 5; 1) uuurAD
= (-2; 4; -1) 1
C'
A' B'
D'
D C
B
A
Trang 7Tính được:uuur uuurAB AC, = (21;15;9)
,
AB AC AD
×
uuur uuur uuur
= 21 (-2) + 15.4 + 9.(-1) = - 42 + 60 - 9 = 9 ≠0 1
Nên A,B,C,C là bốn điểm của một tứ diện 0,5 2
1,5đ
Gọi S là diện tích tam giác ABC
GHI CHÚ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
