Đề thi và đáp án HSG toan 12 tỉnh thanh hóa 2012-2013

là tài liệu tham khảo cho các bạn dự thi đội tuyển toán học sinh giỏi cấp tỉnh và ôn thi đại học

SỞ GI O DÁO D ỤC V À Đ O TÀ ẠO

THANH HOÁO D

Đề chính thức

Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học: 2011 – 2012 2012 Môn Toán, Lớp 12 THPT

Ng y thi: 23 tháng 3 này thi: 23 tháng 3 n ăm 2012 Thời gian l m b i 180 phút, không kày thi: 23 tháng 3 n ày thi: 23 tháng 3 n ể thời gian giao đề

CâuI (4,0 điểm) Cho h m sày thi: 23 tháng 3 n ố 1 3 2

3

y x  x  x

1 Khảo sát sự biến thiên v vày thi: 23 tháng 3 n ẽ đồ thị đã cho

2 Gọi f x( )x3 6x29x 3, tìm số nghiệm đã cho của phương trình:

[ ( )]f x 3 6[ ( )]f x 29 ( ) 3 0f x  

Câu II (4,0 điểm)

1 Giải phương trình : (1 sin )(1 2 sin ) 2(1 2sin ) cos x  x   x x 0

2 Giải hệ phương trình:

2

3 3

x y x y x y x y x y x y







Câu III (4,0 điểm)

1/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.Tính xác suất để lấy được một số lớn hơn 2012

2/Tính tích phân:

2

2

(sin cos )













Câu IV (6,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) :C x2y2  , đường thẳng 9 :y x  3 3

v ày thi: 23 tháng 3 n điểm (3,0)A .Gọi M l mày thi: 23 tháng 3 n ột điểm thay đổi trên (C) v B l ày thi: 23 tháng 3 n ày thi: 23 tháng 3 n điểm sao cho tứ giác ABMO l ày thi: 23 tháng 3 n hình bình h nh.Tính diày thi: 23 tháng 3 n ện tích tam giác ABM, biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc 

v G có tung ày thi: 23 tháng 3 n độ dương

2.Cho hình chóp S.ABCD, đáy l hình chày thi: 23 tháng 3 n ữ nhật có AB=a v BC=2a, mày thi: 23 tháng 3 n ặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) v (SCD) cùng tày thi: 23 tháng 3 n ạo với đáy một góc bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA v BD bày thi: 23 tháng 3 n ằng 2

6

a

a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b.Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA v BDày thi: 23 tháng 3 n

Câu V (2,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thoả mãn 1 1

x y z vày thi: 23 tháng 3 n 3 2 1 2

3x2 2 y1 z  .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcA(3x1)(2y1)(z1).

-Hết -Thí sinh không được sử dụng t i li ài li ệu

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GI O DÁO D ỤC V À Đ O TÀ ẠO

Năm học: 2011-2012

(Đề chính thức)

Lớp 12 THPT

Ng y thi: 23 tháng 3 này thi: 23 tháng 3 n ăm 2012 (Hướng dẫn gồm 04 trang)

I 1) 3,0 điểm

4,0

điể

m

● Tập xác định: D 

● Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: y'x24x 3; '( )y x  0 x hoặc 1 x 3

0,5

H m sày thi: 23 tháng 3 n ố nghịch biến trong khoảng: ( ; 1) v ày thi: 23 tháng 3 n (3;  ; đồng biến trên khoảng: (1; 3) )

 Cực trị: H m sày thi: 23 tháng 3 n ố đạt cực tiểu tại x 1; CT 1

3

y  , đạt cực đại tại x 3; yCĐ 1

 Giới hạn: limx y

     ; limx y 

1,0

 Bảng biến thiên

1,0

● Đồ thị:

 Đi qua điểm: (0; 1) v ày thi: 23 tháng 3 n 4; 1

3



 Nhận xét: Đồ thị (C) đối xứng qua điểm I2;13

 

0,5

2) 1,0 điểm

 f x( )3 6 f x( )29 ( ) 3 0f x   (1)

(1) 1 ( )3 2 ( )2 3 ( ) 1 0

0,5

x 1 3

0 0

y

 



1 3



1

y

1

1

O1

3



Đặt 1 3 2

3

g x  x  x  x , ta có: (1)  g f x( ( )) 0 ( ) 0

( )

g m





 



( ) (3)

3

g m m

g x







 



Số nghiệm của (1) l sày thi: 23 tháng 3 n ố nghiệm của (3), với m nhận tất cả các giá trị thoả mãn (2).

Từ đồ thị (C), suy ra (2) có 3 nghiệm m, thoả mãn: 0 m  , 11 m  v 3 ày thi: 23 tháng 3 n 3 m 4

Cũng từ (C), ta có:

 Nếu 0 m  hay 1 1

0

m

    thì (3) có 3 nghiệm phân biệt

1

m

     thì (3) có đúng 1 nghiệm

 Nếu 3m  hay 4 4

1

m

     thì (3) có đúng 1 nghiệm

Rõ r ng, các nghiày thi: 23 tháng 3 n ệm của (3) trong 3 trường hợp trên l ày thi: 23 tháng 3 n đôi một khác nhau

Do đó (1) có đúng 5 nghiệm

0,5

II 1) 2,0 điểm

4,0

điể

m

(1 sin )(1 2sin ) 2(1 2sin ) cos x  x   x x (1).0

(1)

2

2

x

2

1,0

   , tan 3

2

x  k  hoặc 2 2

x  l  , tan 3 (với ,k l  ).

1,0

2) 2,0 điểm

2

3 3

x y x y x y x y x y x y







 Điều kiện: x y 0, 2x y  (*).0

 Khi đó: (1) 22x y (2x y) 2x y 2x y (x y) x y

Xét h m ày thi: 23 tháng 3 n f t( ) 2 t t t , suy ra: (1) có dạng f(2x y )f x y(  )

Mặt khác ( )f t đồng biến, do đó (1)  2x y x y   hay x2y.

1,0

 Thế v o (2), ta ày thi: 23 tháng 3 n được: 3 y 1 2(2y1)3 (3).

Đặt 3 y 2 1t , phương trình (3) trở th nh hày thi: 23 tháng 3 n ệ:

3 3

(2 1)





 Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được:

do 2(2 1)2 2(2 1)(2 1) 2(2 1)2 1 0 , 

Thế v o hày thi: 23 tháng 3 n ệ:y(2y1)3  8y312y25y1 0  (y1)(8y2 4y1) 0  y 1

y  x , thoả mãn (*) Vậy, hệ đã cho có nghiệm (duy nhất): ( ; )x y (2; 1)

1,0

III 1) 2,0 điểm

4,0

điể

m

● Lập số chẵn dạng abcd Đặt E 0, 1, 2, 3, 4

+ Chọn d 0, chọn thứ tự , ,a b c trong tập E\ 0  có A 34 24 cách Dạng n y có 24 sày thi: 23 tháng 3 n ố

+ Chọn d 0 có 2 cách, chọn a E \ 0, d có 3 cách, chọn b v ày thi: 23 tháng 3 n c thứ tự trong tập

 

\ ,

3 6

A  cách Dạng n y có ày thi: 23 tháng 3 n 2.3.6 36 số Lập được 24 36 60  số

1,0

● Tính số các số chẵn lập được không lớn hơn 2012, có dạng 1bcd :

Chọn d chẵn có 3 cách, chọn b v ày thi: 23 tháng 3 n c thứ tự trong tập E\ 1, d có  2

3 6

A  cách

Dạng n y có: ày thi: 23 tháng 3 n 3.6 18 số Suy ra số lớn hơn 2012 có 60 18 42  số

Xác suất cần tính: 42 7

60 10

1,0

2) 2,0 điểm

0 2

I







Đặt x t, ta có:



1,0

I

2 0

d sin



 2

0

ln

x x





1

ln 3 2

1,0

IV 1) 3,0 điểm

6,0

điể

m

(C) có tâm O(0; 0), bán kính R 3

Nhận xét:A( )C  OA OM  ABMO l hình thoi ày thi: 23 tháng 3 n  AM OB

3

Kẻ GK AM// , K OA , ta có: 4

3

 K(4; 0)

1,0

//

x

y

O

A

G K I

Suy ra G thuộc đường tròn đường kính OK Toạ độ ( ; ),G x y y  thoả mãn: 0 2 3 2 3







 2 2

   



 

   



 

 (3; 3) (do 0)

16

AMB OAM OAI OKG

S S  S  S 9 d( , )

16

4

2) 3,0 điểm

a) Gọi H l hình chiày thi: 23 tháng 3 n ếu của S trên (ABCD , suy ra ) HAB (do (SAB) ( ABCD))

CBHB, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC v ) ày thi: 23 tháng 3 n (ABCD l ) ày thi: 23 tháng 3 n SBH

Hạ HECD E CD(  ), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SCD v ) ày thi: 23 tháng 3 n (ABCD l ) ày thi: 23 tháng 3 n SEH

Do đó SBH SEH  HB HE 2a

Ta được BD AE//  BD SAE//( ) d(SA BD, ) d( , (B SAE)) d( ,(H SAE))

(do A l trung ày thi: 23 tháng 3 n điểm HB)

2 d( , ( ))

6

a

H SAE

1,0

Nhận xét rằng HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra:, ,

Thể tích:

3

S ABCD ABCD

a

1,0

b)BD AE// , suy ra góc giữa hai đường thẳng SA v ày thi: 23 tháng 3 n BD l ày thi: 23 tháng 3 n SAE

ÁO Dp dụng định lý h m sày thi: 23 tháng 3 n ố côsin cho tam giác SAE, với AE SA  SH2HA2 a 5 vày thi: 23 tháng 3 n

2 2 2

SA AE

1,0

V

2,0

điể

m

Đặt 3x1a, 2y1b z, 1 ; ta có: , ,c a b c l các sày thi: 23 tháng 3 n ố dương v ày thi: 23 tháng 3 n A abc

2

3x2 2 y1 z 

2

1

0,5

b c   a hay

a b c  b c (1).

0,5

S

A B

C

D

E t H

Tương tự: 2 2

ca

b  c a (2) v ày thi: 23 tháng 3 n 1 2

ab

c  a b (3).

Nhân vế tương ứng của (1), (2) v (3), ta ày thi: 23 tháng 3 n được: 3

4

A 

0,5

Dấu bằng xảy ra, khi v chày thi: 23 tháng 3 n ỉ khi: 1

, 1,

4

A 

0,5