CHƯƠNG 0: KIẾN THỨC BỔ TÚC DÙNG CHO CƠ HỌC pptx

Đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm vô hướng III.. Tất cả các đại lượng vật lý có hướng phương và chiều và độ lớn được gọi là các đại lượng vectơ.. Vectơ hình chiếu và hình chiếu đại số

CHƯƠNG 0

KIẾN THỨC BỔ TÚC DÙNG CHO CƠ HỌC

I Phép tính vectơ

II Đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm vô hướng III Công thức thứ nguyên và các đơn vị đo

GIỚI THIỆU

I Phép tính vectơ

1 Thế nào là một vectơ ?

- Phương của đọan thẳng AB

- Chiều hướng từ A sang B

- Độ lớn ( môđun): |AB| = AB

có 3 yếu tố trên không đổi theo thời gian

+ Vectơ đối:

Khi có 3 yếu tố trên như nhau

AB

Kí hiệu:

⇒

a r = − b r

a r

b r

thỏa 3 yếu tố:

+ Vectơ hằng:

+ Hai vectơ bằng nhau:

Tất cả các đại lượng vật lý có hướng (phương và chiều) và

độ lớn được gọi là các đại lượng vectơ

Lực, vận tốc, gia tốc, xung lượng, mômen xung lượng,

2 Vectơ hình chiếu và hình chiếu đại số của một vectơ.

- Vectơ hình chiếu của

trên trục x là một vectơ

- Hình chiếu đại số là một số đại số:

⇒

A’ B’

→

x

a

→

a

A

B

Hình 1

x

x

a r

a r

( )

.cos ,

x

a r = a r a x r r

( )

.cos ,

x

a = ± a a x r r * Dấu + khi cùng chiều dương của trục x

* Dấu - khi ngược chiều dương của trục x

x

ar

x

ar

VD:

BT 2 tr.14

Hoặc hình chiếu đại số có thể tính bằng:

3 Tổng hai vectơ:

• Qui tắc tam giác:

: phép cộng vectơ có tính giao hoán

a r

br

r

c r

c a b r = + r r

Hoặc

br a r

c r

c b a r = + r r

c a b b a

⇒ = + = + r r r r r

• Qui tắc hình bình hành:

Trường hợp nhiều vectơ:

4 Hiệu hai vectơ:

a r

br

cr

c a b r = + r r

r

a b r + r

R a b c r = + + r r r

cr

b cr r+

Rr

a rb

c r

( )

c a b ar r= − = + −r r br

BT 3 tr.14

5 Biểu diễn một vectơ thông qua các vectơ đơn vị cơ sở của trục:

Trong đó: là vectơ đơn vị cơ sở của trục x

là vectơ đơn vị cơ sở của trục y

Môđun:

Vectơ trong hệ tọa độ Descartes:

j

r

ir

x

y

O

a) Xét hệ tọa độ Descartes:

xy

O

i r

j

r

1

ir = jr =

a r

x y

a a r = r + a r j

r

i r

x

y

O

x

a

y

(1)

với lần lượt là vectơ hình chiếu của trên trục x và y:

:biểu thức biểu diễn qua các vectơ đơn vị cơ sở.

Định lý Pythagoras:

b) Tương tự trong hệ tọa độ Oxyz:

Định lý Pythagoras:

x y

a a r = = a a +

,

; .

x x y y

a a i r = r a a j r = r (2)

x y

a a i a j

Kết hợp (1) và (2):

x y z

a a i a j a k r = r + r + r

2 2 2

x y z

a a r = = a a a + +

x y

z

ir j

r

kr

y

a

ar

z

6 Tích vô hướng của hai vectơ:

Kí hiệu:

Được xác định:

Hoặc:

• Tích vô hướng của hai vectơ và bằng hình chiếu đại số của vectơ theo phương của vectơ nhân với mođun ,

và ngược lại

•

.

a b r r

.

a b a b r r = θ Với là gốc θ ≤ 180 0 ( , )a br r

Kết quả là một đại lượng vô hướng, một con số, không phải một vectơ

br

.cos cos

a b a b r r = θ = a b 1 2 3 θ = b a 1 2 3 θ

(Với là hình chiếu đại số của theo phương )a b ar br

⇒

a b b a r r = r r

a r br

7 Tích hữu hướng của hai vectơ:

Trong đó, được xác định như sau:

• Phương vuông góc với mặt phẳng chứa ,

• Chiều là chiều tiến của đinh ốc (vặn nút chai) – nếu ta vặn đinh ốc theo chiều từ đến theo góc

• Môđun xác định bởi: với là gốc

(do vặn đinh ốc theo chiều từ đến )

a b c r × r = r

c r

a rb r

cr

ar br

.sin

c c a b r = = θ θ ≤ 180 0 ( , )a br r

a b b a r × r ≠ r × r

Ta cũng có thể sử dụng quy tắc bàn tay phải:

• Mục 11 và 12 trong GT: ( SV xem thêm) Mục 11 và 12 trong GT: ( SV xem thêm)

8 Số gia hữu hạn của một vectơ Đạo hàm của

một vectơ:

→

a

→

∆ a

→

' a

→

∆ a

→

' a

→

a

(1)

a ar′ = + ∆r ar với là số gia vectơ ∆ar

b

a r

Từ (1) và (2) : số gia

của một vectơ bằng vectơ mới trừ vectơ cũ

(2)

a a r ′ = + ∆ r a r

a a a ′

⇒ ∆ = − r r r

→

' a

→

a ∆→a

α

∆

cùng phương với ⇒∆ar a r

có phương vuông góc với⇒∆ar ar

c) Vectơ vừa có môđun thay đổi vừa có phương thay đổi :

Gọi:

là số gia vectơ do là số gia vectơ do phươngphương thay đổi

môđunmôđun .

là khoảng thời gian xảy ra biến thiên vectơ

Tổng số gia vectơ:

Ta chia 2 vế biểu thức cho :

a r

1

a

∆ r ∆ a r

2

a

∆ r

a r

a r ′

1

a

∆ r

2

a

∆ r

t

∆

không cùng phương, không vuông góc ⇒∆ar ar

1 2

a a a

∆ = ∆ + ∆ r r r (3)

(3) ∆t ∆ a r = ∆ a r1 + ∆ a r2

(4)

Lấy lim hai vế biểu thức (4) khi ta được:

:

: biểu thức đạo hàm của một

- Vectơ có thể là một hàm thay đổi theo biến không thời gian x,y,z và t

- Đạo hàm của một vectơ hằng theo thời gian bằng không.

- Đạo hàm của một tổng các vectơ; đạo hàm của một tích vectơ và đạo hàm của tích một hàm vô hướng với một hàm vectơ: tất cả được thực hiện giống như hàm vô hướng.

0

t

∆ →

lim lim lim

da da da

dt dt dt

⇒

II Đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm vô hướng

• Đạo hàm của hàm vô hướng f theo biến vô

hướng x:

• Vi phân của hàm f:

• Tích phân hai vế biểu thức vi phân:

0

lim

x

f df f

x dx

∆ →

∆

df = f dx ′

df f x = = f dx F x C ′ = +

BT 5 tr 15

vị đo.

1 Công thức thứ nguyên:

Hệ thống đơn vị đo lường cơ bản quốc tế - SI (Système

International) bao gồm 6 đơn vị cơ bản

Nhiệt độ T (Temperature) (Kelvin) Cường độ dòng điện I (Intensity) A ( Ampere)

Cường độ ánh sáng I( Light insensity) cd ( candela)

0K

Công thức thứ nguyên:

Trong đó: p,q và r là các số nguyên

kí hiệu thứ nguyên của đại lượng vật lý X

Từ công thức:

Công thức thứ nguyên:

[ ] [ ] [ ] [ ]p q r

F = M L T −

2

N = kg.m/s

⇔

2

v

BT 6 tr 16

BT 7 tr 16

2 Các bảng 1, 2, 3 và 4 (tr.12 và 13 trong giáo trình):

SV tự tham khảo

Lưu ý một số đại lượng thường gặp:

Kết thúc chương 0

BT 8, 9 tr 16

Bài tập:

br

ar

bxar r

1 Cho hai vectơ như hình vẽ Hãy xác định

vectơ tích hữu hướng

2 a) Mômen quán tính của một thanh đồng chất có

chiều dài đối với trục quay vuông góc với thanh

tại trung điểm là Xác định công thức thứ

nguyên cua I Từ đó suy ra đơn vị của mômen quán

tính trong hệ SI

l

2

1 12

b) Xác định công thức thứ nguyên của xung lượng và đơn vị của nó trong hệ SI?

Bài tập tiếp theo:

1) Trong hệ tọa độ Oxyz, với là 3 vectơ đơn

vị cơ sở Sử dụng quy tắc vặn đinh ốc hoặc quy tắc bàn tay phải để xác định các tích hữu hướng sau:

a)

b)

c)

d)

2) Sử dụng kết quả bài 1 để xác định

Cho biết với

, ,

i j kr r r

i jr r×

j k× r

r

i k r × r

c r

c a b r = × r r a a i a j a k b b i b j b k r = xr + yr + z r ; r = xr + y r + z r