Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.. d Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và DC’.
Trang 1KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009-2010 Môn: TOÁN - LỚP 11 NÂNG CAO
Thời gian làm bài: 90 phút
Đề:
Bài 1:(1điểm).
Xét tính liên tục của hàm sốy=f( )x tại x0 =0, biết
( ) sin 2 nÕu 0
x
x
=
Bài 2: (2điểm).
a) Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( )u n v uíi n n 2
n
+
b) Tìm giới hạn sau: 2
2
3 4 1 lim
4
x
x x
→
−
Bài3: (1điểm) Cho cấp số cộng ( ) 4 9
7 10
29
íi
41
n
+ =
Tính u20 và S16.
Bài 4: (2điểm) Cho hàm số y f x( ) x2 2x1 3
x
+ có đồ thị là (C) a) Giải bất phương trình y’ > 2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 5x – y + 12 = 0
Bài 5: (4điểm.) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a) Chứng minh AC⊥(BB D D' ' ).
b) Chứng minh rằng BD' ( '⊥ B AC).
c) Chứng minh rằng (B’AC) // (DA’C’)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và DC’
-Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Trang 2Bài 1:
(1đ)
(1đ) TXĐ:
D = Ă , +) f (0) 2=
+)
sin 2 sin 2
2
( )
+) V lim = f(0) = 2
→ 0
ì f
x x nờn hàm số liờn tục tại x0 =0
0,25 0,25 0,25
Bài 2:
Cõu a
(1đ)
+) 1
∗ +
( )
d y ã u n giảm
⇒
3
D y ã giảm nên bị chặn trên bởi u =
2
n
u
2
1 1, nên d y u bị chặn dưới bởi 1.ã
n
n
∗
= + > ∀ ∈Ơ +) ( )u n vừa bị chặn trờn vừa bị chặn dưới nờn bị chặn.
0,25
0,5
0,25
Cõu b
(1đ)
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )
1 6
= −
I
x
0,5
0,25
0,25
Bài 3:
(1đ)
+)
20 1 ) u u 9d 55
16
2
0,5
0,2
5
Trang 3
0,2
5
Bài 4:
(2đ)
Câu a
(1đ)
2
2
2
2 5
1
1 0
2 5
2 3 0 1
1
3;1 \ 1
y
x
x
y
x x
x x
+
+ ≠
≠ −
⇔ − < < ⇔ ∈ − −
0,5
0,25
0,25
Câu b
(1đ) +) Đường thẳng d: 5x – y + 12 = 0 ⇔y = 5x + 12 có hệ số góc k = 5.
+) Tiếp tuyến cần tìm song song với d nên f ’ (x0) = k
0 2
0 0
0 4
2 1
x x
x x
=
( )
( )
: 5 13
0,25
0,25
0,25 0,25
Bài 4:
Hình
vẽ
H K
0'
O
D' A'
D
C'
C B
B'
A
0,25
Trang 4Câu a
(0,75đ)
Ta có: AC⊥BD ( Vì ABCD là hình vuông )
AC⊥BB'( vì BB' (⊥ ABCD))
BD và BB’ cắt nhau nằm trên (BB’D’D)
Suy ra AC⊥(BB D D' ' )
0,5
0,25
Câu b
(1đ)
Ta có: BC’ là hình chiếu của BD’ trên (BB’C’C)
mà BC' ⊥B C'
nên BD'⊥B C'
Mặt khác BD'⊥ AC ( Vì AC⊥(BB D D' ' )
Suy ra BD' ( '⊥ B AC)
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu c
(1đ)
Ta có : B’A // (DA’C’) ( vì B’A // C’D)
AC // (DA’C’) ( vì AC // A’C’)
B’A, AC cắt nhau nằm trên (B’AC)
Suy ra (B’AC) // (DA’C’)
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu d
(1đ)
Gọi: O= AC∩BD O, '= A C' '∩B D' '
K =B D' ∩B O' , H =B D' ∩DO'
Suy ra K, H lần lượt là giao điểm của BD’ với (B’AC) và (DA’C’)
Do (B’AC) // (DA’C’) nên HK là khoảng cách giữ hai đường thẳng B’C và
DC’
O là trung điểm của BD và OK song song với DH nên BK = KH
O’ là trung điểm của B’D’ và O’H song song với B’K nên D’H = KH
Suy ra HK = BK = HD’ = 1 ' 3
a
BD =
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và DC’ bằng 3
3
a
0,25
0,25 0,25 0,25