Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại và E.Chứng minh rằng: aC là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HDE... Các đờ
Trang 1A.ĐặT VấN Đề 1.Lí do chọn đề tài
Hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá các hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát huy năng lực tự học;nhằm hình thành t duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực tự phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;từ đó tác động đến tình cảm, hứng thú, niềm tin và trách nhiệm học tập của học sinh
Dạy toán hiện nay thực chất là dạy hoạt động toán học Chính vì vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ mà là ngời chủ đạo trong việc giúp học sinh chủ động học hỏi kiến thức toán học, có ý thức tự khám phá và giải quyết các bài toán mới
Trong quá trình dạy học, bản thân tôi đã bắt gặp nhiều dạng toán, bài toán mà khi bắt đầu nghiên cứu, thực sự gặp nhiều khó khăn, bối rối.Tôi luôn tự hỏi:"Tại sao ngời ta ra đợc những bài toán vừa hay và khó đến thế? Phải chăng mọi bài toán đều có một điểm xuất phát nhất định?" Từ đó tôi luôn tự tìm tòi tài liệu, sách tham khảo và hiểu rằngtất cả các bài toán hay
và khó đều khởi nguồn từ nhiều bài toán đơn giản;cũng nh các dòng sông lớn đề bắt nguồn từ các dòng suối nhỏ
Theo đó, trong suốt quá trình giảng dạy môn toán 9, tôi luôn tổ chức cho học sinh:Củng cố kiến thức cũ, tìm tòi khám phá kiến thức mới từ những bài toán cơ bản.Tôi giúp học sinh có ý thức tự đọc hiểu và hiểu sâu kiến thức cơ bản từ SGK, sách tham khảo để rồi tự mình tìm, tự sáng tạo và giải quyết bài toán mới từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó bằng phơng pháp:Phân tích, so sánh, tổng hợp, tơng tự, đặc biệt hoá, khái quát hoá; từ
đó quy lạ về quen, quy khó về dễ, dần dần dẫn học sinh đi vào khám phá kiến thức toán học một cách hứng thú
Phơng pháp sáng tạo các bài toán tạo thành một chuỗi các bài toán thực sự thiết thực và mang lại hiệu quả trong trờng hợp nào? Tại sao phải làm nh vậy? Phải chăng đó là những môn học sử dụng nhiều đến phơng pháp suy diễn logic và hình ảnh trực quan nh bộ môn hình học Phải chăng
đó là những tình huống dạy học,những bài dạy mang tính tổng hợp nh "Ôn tạp chơng, ôn tập cuối năm"? Phải chăng đó là những bài học cần có sự trợ giúp của công nghệ thông tin ? Là xu hớng phát triển tất yếu của khoa học giáp dục
Xuất phát từ những vấn đề trên, trong bài viết này tôi xin mạnh dạn xuất một ví dụ về " Hớng sáng tạo bài toán khi dạy học :Ôn tập chơng III-Hình học 9"
2.Mục đích của đề tài
-Phát huy tối đa tính tích cực, sáng tạo cua học sinh
-Cung cấp tri thức và phơng pháp sáng tạo cho học sinh khi học bộ môn hình học
-Định hớng phơng pháp sáng tạo trong dạy học thông qua dạy toán cho giáo viên
-Khơi dậy phong trào sáng tác và giải toán ở địa phơng
3.Cấu trúc của đè tài
A.Đặt vấn đề
B.Nội dung
I.Ôn tập kiến thức cơ bản thông qua bài tập trắc nghiệm
1.Liên hệ giữa cung và dây
2.Góc với đờng tròn
II.Luyện tập
II.1.Bài toán gốc
II.2.Các hớng khai thác sáng tạo bài toán
C.Tình hình thực trạng học sinh trớc và sau khi tiếp thu phơng pháp này
D.Kết luận
Trang 2b.nội dung
I.Ôn tập kiến thức cơ bản thông qua bài tập trắc nghiệm
Trong điều kiện thời lợng dạy học ôn tập chơng chỉ một tiết, với một
lợng kiến thức hết sức nặng nề,làm thế nào để đảm bảo hệ thống các kiến thức cơ bản, vừa đảm bảo thời gian ? Trớc hết, giáo viên cần cho học sinh ghi nhớ trớc các định nghĩa, các định lý và chuẩn bị hệ thống câu hỏi "Ôn tập chơng III"-Trang 100,101,102,103 sách giáo khoa Toán 9, Tập II.Sau
đó tung ra các bài tập mang tinh tổng hợp các kiến thức cơ bản nh sau:
Quan sát các hình vẽ tơng ứng và hoàn thành các bài toán sau bằng cách điền thích hợp vào chỗ trống:
1.Liên hệ giữa cung và dây:
Bài toán 1.
-Trên hình 1:
a)Sđ cungABnhỏ= góc = ao;SđcungBCnhỏ= góc =bo
b)Sđ cung ABlớn= 360o- (Định nghĩa số đo cung)
c)cungAB > cungCD ⇔ a b
cungBC= cungCD ⇔ b c (Sosánh hai cung)
d)cung AB>cung CD ⇔ AB CD(Liên hệ giữa và )
e)Nếu B∈cung AC thì Sđ cung AC = +
-Trên hình 2:
f)AD//CI⇒cung CD cungAI
(Hai cung bị chắn giữa hai dây song song)
-Trên hình 3:
k)cung CB=cungCD ⇔ ED = EB ⇔ AC BD
(Liên hệ giữa đờng kính -dây cung)
2.Góc với đờng tròn:
Bài toán 2.
-Trên hình 4:
a)gócAOB= Sđ (Góc chắn cung AB )
b)GócACB=1/2Sđ (Góc chắn cung AB)
c)Góc ACB= (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
d)cung AB=cungAD⇔góc ACB= góc
(Hai góc nội tiếp chắn hai cung )
e)góc xAB=1/2 Sđ
(Góc tạo bởi và chắn cung AB)
f)Góc ACB= Góc xAB
(Góc .và góc .cùng
chắn )
g)Góc ACB= GócAOB
(Góc nội tiếp và góc cùng chắn cung AB)
h)Từ a,b,c,d,e,f suy ra:
GócACB=Góc =Góc =Góc =Góc
=1/2Góc =1/2Sđ
i)GócAEB =1/2(Sđ +Sđ )
Góc có đỉnh .đờng tròn chắn
và )
2
Hình 1
D
C
B A
O
Hình 2
O
I
C D
A
Hình 3
O
B
C D
A
x
F
A
D
C
B O
Hình 4
Trang 3(Góc có đỉnh đờng tròn chắn và )
m)Quỹ tích các điẻm nhìn đoạn thẳng AB cho trớc một góc α không đổi cho trớc (00< α<1800) là n)Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) khi và chỉ khi:
-A,B,C,D (O)(Định nghĩa tứ giác nội tiếp)
-Góc A+GócC= hoặc .
+ =1800
(Định lý đảo tứ giác nội tiếp) -OA= = = =R
(định lý tứ giác nội tiếp và định nghĩa đ-ờng tròn)
-Góc ADB =Góc = α(Quỹ tích cung chứa góc)
Bài toán 3.Dùng kí hiệu để chỉ các góc bằng nhau,
cung hoặc dây bằng nhau trên hình 5:
II.luyện tập:
B
ài toán 1.Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại và E.Chứng minh rằng:
a)CD=CE ; b)∆BHD cân ; c)CD =CH.
(Bài 95 -Trang 105 -SGK Toán 9,T ập 2 -NXBGD 2005)
*Phân tích và h ớng dẫn giải:(Hình 6)
a) CD, CE là hai dây của đờng tròn (O) Để chứng minh
hai dây CD và CE bằng nhau, ta có thể chứng minh điều
gì? Liệu có thể chứng minh cung CD =cung CE ?
- Muốn chứng minh cung CD =cung CE, ta có thể
chứng minh các góc nội tiếp tơng ứng chắn các cung
t-ơng ứng bằng nhau đợc hay không ? Hãy chứng minh
điều này
- Gv hớng dẫn HS lập sơ đồ phân tích và trình
Bài chứng minh:
Sơ đồ 1:
CD=CE
⇑
Cung CD= cung CE
(Liên hệ giữa cung và dây)
⇑
Góc A1=Góc B2
(Hệ quả góc nội tiếp)
⇑
Góc A1+góc H2=900 ;Góc B2+Góc H1= 900 ; GócH1 =GócH2
Góc A1+góc H2=900 ;Góc B2+Góc H1= 900 ; GócH1 =GócH2
⇑ ⇑ ⇑
∇AHB' vuông tại B' ∇BHA'vuông tại A' (đối đỉnh)
⇑ ⇑
E
Hình 5
O
B
C D
A
x
Hình 6
A'
B' E
B A
Trang 4BB' ⊥AC(Gt) A'A⊥ BC(Gt)
b)Có nhiều cách chứng minh một tam giác cân.Tam giác BHD có sẵn
điều gì đặc biệt ? Từ đó, để chứng tam giác BHD cân tại B,ta chứng minh
điều gì? Vì sao?
-HS trả lời tơng ứng và GV giúp HS hoàn thành sơ phân tích đồ sau
Sơ đồ 2:
∇BHD cân tại B
⇑
BA' vừa là đờng cao, vừa là đờng phân giác góc HB'D
⇑
Góc B1 = Góc B2
⇑
Cung CD = Cung CE(Câu a)
(Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau-Hệ quả góc nội tiếp)
c) Muốn chứng minh CH =CD, ta chứng minh điều gì? CB có vai trò nh
thế nào đói với DH ? Vì sao? Từ đây, HS lập đợc sơ đồ:
Sơ đồ 3
CD = CH
⇑
BC là đờng trung trực của HD
⇑
BA' vừa là đờng cao, vừa là đờng trung tuyến của tam giác BHD
⇑
∇BHD cân tại B (Câu b)
Từ bài toán này, chúng ta có thể giúp HS khai thác thêm các bài toán theo các hớng khcs nhau
Hớng khai thác thứ nhất: Giữ nguyên các giả thiết, thiết lập mối liên
hệ giữa các yếu tố trên hình và kết quả sẵn có, thiết lập bài toán mới
Quan sát hình 6, ta có CE=CD=CH (Câu a và c) Ta còn có BC là trung trực của HD, AC là trung trực của HE (Từ câu b), học sinh dễ dàng chứng minh đợc bài toán mới sau:
Bài toán 2 Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC lần lợt tại và E.Chứng minh rằng:
a)C là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
HDE.
b)D đối xứng với H qua CB, E đối xứng
với H qua CA.
4
Hình 7
A
B
D C
E B'
A'
O H
Trang 5Từ bài toán 2, C là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HDE nên C nằm trên trung trực của DE, ta có bài toán:
Bài toán 3 Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại và E.Chứng minh rằng, C nằm trên đờng trung trực của DE.
Từ câu a của bài toán 1, ta thấy rằng C là điểm chính giữa của cung DE Dựa vào định lý "Trong một đờng tròn, đờng kính di qua điểm chính giữa của một cung thìvuông góc với dây căng cung ấy và ngợc lại" và định lý
"Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì
đi qua trung điểm của dây căng cung ấy"(Trang 10SGK Toán 9 -Tập 2-NXBGD 2005), ta có:OC là đờng trung trực của DE, Ta có bài toán mới:
Bài toán 4 Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại D và E.Chứng minh rằng:OC là đờngtrung trực của đoạn thẳngDE.
Kết hợp câu a của bài toán 1 và bài toán 4, ta có CO vừa là đờng cao, vừa
là đờng phân giác của tam giác CDEcân tại C, ta có bài toán sau:
Bài toán 5 Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau
tại H(Góc C khác 90 0 ) và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần
l-ợt tại D và E.Chứng minh rằng OC là tia phân giác của góc DCE.
Hoàn toàn tơng tự với vị trí của cung CDE là cung DBE, OC⊥ DE ⇒ Đ-ờng thẳng CO cũng đi qua điểm chính giữa của góc DBE Ta có bài toán sau:
Bài toán6 Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại
H (Góc C khác 90 0 ) và cắt đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại D và E.Chứng minh rằng đờng thẳng CO chia cung DBE thành hai phần bằng nhau.
Trở lại bài toán 2b, E đối xứng với H qua AC, D đối xứng với H qua BC
⇒∇CHA =∇CEA; ∇CHB=∇CDB; mà ∇CEA và ∇CDB và ∇ABC có cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp nên∇CHAvà∇CHB , ∇ABC có cùng bán kính dờng tròn ngoại tiếp, Từ đó, giúp HS phát hiện và chứng minh đợc bài toán:
Bài toán7 Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại
H (Góc C khác 90 0 ) và cắt đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại D và E.Chứng minh rằng các ∇ CHA, CHB, AHB có bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp bằng nhau
Hoặc bài toán ra dới dạng ẩn tàng hơn:
Bài toán 8 Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (Góc C khác 90 0 ) và cắt đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 6lần lợt tại D và E So sánh bán kính đờng tròn ngoại tiếp các ∇CHA, CHB, AHB
Hớng khai thác thứ hai:Bổ sung thêm các giả thiết của bài toán gốc, vẽ thêm các
đờng phụ để phát hiện các quan hệ mới:
Từ hình 7, giả sử BB', AA' là hai đờng cao hạ từ B và A
của tam giác ABC , O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, ED cắt CA, CB thứ tự tại Fvà G,
(Hình 8), ta nhận thấy: B' là trung điểm của
EH,A' là trung điểm của DH ⇒ B'A' là đờng
trung bình của tam giác EDH⇒B'A' //ED,(Tính
chất đờng trung
bình của tam giác )Mặt khác, ED ⊥ CO(Bài
toán 4) ⇒OC⊥A'B'
Ta có bài toán tiếp theo:
Bài toán 9.Cácđờng cao AA ' ,BB ' của tam giác ABC cắt nhau tại H,
cắt đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại D và E.DE cắt CA,
CB lần lợt tại F và G.Chứng minh:
a)ED // A ' B ' ;
b)OC vuông góc với A ' B '
Từ hình 8,gọi I là giao diểm của ED với CO Theo
kết quả bài 2,4,9,ta có:B'I //HA'; B'I = HA',nên ta có
tứ giác HA'IB' là hình bình hành Ta còn có
DB',EA',HIlà 3 đờng trung tuyến của tam giác HDE
nên chúng đồng quy.Từ đây, GV biết nhìn nhận và
phát hiẹn cách chứng minh bài toánkhó hơn(Hình
9):
Bài toán 10.Các đờng cao AA ' ,BB ' của tam
giác ABC cắt nhau tại H, cắt đờng tròn (O) ngoại
tiếp tam giác ABC lần lợt tại D và E.DE cắt CA, CB lần lợt tại F và G HI, EA ' ,
DB ' đồng quy tại một điểm.
Bây giờ chúng ta chuyển sang xét các tứ giác
nội tiếp và các bài toán xung quanh nó từ bài toán
1
Quan sát hình 10 ta thấy :Góc CA' B=góc
CB ' H=900 và Góc AB' B =Góc AA ' B = 900 các tứ
giác CA'HB',AB'A'B nội tiếp đợc đờng tròn Khi đó,
ta chứng minh đợc: -HB.HB' = HA.HA'
-AH.AA' = AC.AB';
-BH.BB' = BC.BA';
-CA.CB' = CB.CA'
HS dễ dàng chứng minh đợc bài toán 11:
6
Hình 9
I
A
B
D C
E B'
A'
O H
F
G
Hình 10
G F
A' B'
E
B A
Hình 8
G F
A'
B' E
B A
Trang 7Bài toán 11.Cácđờng cao AA ' ,BB ' của tam giác ABC cắt nhau tại H, cắt đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại D và E.Chứng minh :
a)Các tứ giác CA ' HB ' , AB ' A ' B nội tiếp;
b)CA.CB ' = CB.CA ' ; AC.AB ' = AH.AA '
Ta thấy rằng vị trí ba điểm A,B,C hoàn toàn bình đẳng nh nhau nên các vị trí đối xứng với H qua AB, AC, BC cũng có tính chất nh nhau Gọi điểm đối xứng với H qua AB là P Khi đó, ta có:Góc AHB = góc APB = Góc A ' HB '⇒Góc
APB +Góc ACB = Góc A ' HB ' + Góc BCA ' = 180 0⇒Tứ giác ACPB nội tiếp đ-ờng tròn ⇒P ∈ (O) (Hình 11) HS làm đợc bài tpán sau:
Bài toán 12.Cácđờng cao AA ' ,BB ' của tam giác ABC cắt nhau tại H, cắt đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại D và E.Gọi P là điểm
đối xứng với H qua AB Chứng minh: P nằm Trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Kết hợp bài toán 9 và bài toán 11, ta có FG //
B'A' Và tứ giac
ABA'B' nội tiếp '⇒Góc FGB = Góc B' A ' B (đồng vị) '
và
Góc FGB + FAB = B' AB + FAB = 180 0⇒Tứ giác
AFGB nội tiếp
'⇒CA.CF = CB.CG HS giải đợc bài toán sau
Bài toán 13: Các đờng cao AA’, BB’ của tam giác
ABC cắt nhau tại H, cắt đờng tròn (O) ngoại tiếp
tam giác ABC lần lợt tại D và E DE cắt CA, CB lần
lợt tại F và G Chứng minh
a) Tứ giác AFGB nội tiếp đợc đờng tròn.
b) CA.CF = CB.CG
Trở lại bài toán 12(Hình 11), ta có thể tìm thêm vị
trí điểm Q sao cho AHB = AQB để tứ giác ACBQ
nội tiếp đợc đờng tròn Từ đó, Q ∈(O)(Hình 13)
Bài toán 14 Các đờng cao AA ' của tam giác ABC
cắt nhautại H Qua A kẻ đờng thẳng song song với HB;
qua B kẻ đờng thẳng song song với HA ,hai đờng thẳng này cắt nhau tại Q Chứng minh rằng Q nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Từ hình 12, gọi R,S lần lợt là trung điểm của CH và AB, GV yêu cầu HS suy đoán
và chứng minh tứ giác SA'RB' nội tiếp nhờ quan hệ
A
B
D C
E B'
A' O H G
Hình 11
F
A
B
D C
E B'
A'
O H G
Hình 12
Q
Hình 13
H O
A'
B' C
B A
Trang 8SB' ⊥ RB' và SA' ⊥ A'R qua bài toán (Hình 14);
Bài toán 15 Các đờng cao AA' ,BB ' của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi R,S lần lợt là trung điểm của CH và AB Chứng minh tứ giác RB ' SA ' nội tiếp
Kết hợp bài toán 15và bài toán 14, (Hình 15), ta có:QB
⊥ CB (QB // AA')
⇒ Góc CBQ = 900 ⇒CQ là đờng kính của đờng tròn (O) ⇒ C,O,Q thẳng hàng Ta còn có : Tứ giác AHBQ là hình bình hành ⇒ HQ cắt AB tại trung điểm S của AB Xét ∇CHQ có OS, RS là đờng trung bình Do đó,CH = 2OS, RS = 1/2CQ = R Giả
sử AB không đổi, C chuyển động trên cung lớn AB, ta luôn có RS, CH có độ dài không đổi Từ đây, HS biết cách giải bài toán kkhó và phức tạp sau:
Bài toán16.Các đờng cao AA ' , BB ' của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi R,S thứ tự là trung điểm của CH và AB.Vẽ đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Qua A kẻ đờng thẳng song song với BH, qua B kẻ đờng thẳng song song với
AH, chúng cắt nhau tại Q Chứng mih rằng:
a) Ba điểm C,O,Q thẳng hàng; ba điểm H,S,Q thẳng hàng
b) CH = 2OS
c) RS = 1/2 CQ;
Độ dài CH, RS không đổi khi C di chuyển trên cung lớn AB (AB) cố định.
Từ hình 15’ gọi giao điểm của HO và CS là T Khi đó, T là
trọng tâm của tam giác CHQ và cũng là trọng tâm của tam
giác ABC ( hình 16) Từ đó học sinh biết cách giải bài toán
sau
Bài toán17 Các đờng cao AA’ và BB’ của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và T là trọng tâm của tam giác Chứng minh rằng:
a) H; T; O thẳng hàng
b) HT = 2TO
Ta thấy rằng, theo hớng này, giáo viên có thể giúp học sinh tiếp cận và chứng minh đợc vô vàn các bài toán từ đơn giản đến phức tạp Trong khi nếu không dẫn dắt học sinh đi theo hớng này, học sinh rất khó hoặc không thể phát hiện ra con đ-ờng chứng minh các bài toán nh bài toán 9, 10, 16, 17
Hớng khai thác thứ ba.
Phát hiện các bài toán ngợc
Trở lại bài toán 1: Giả sử học sinh không vẽ đờng tròn
(O) ngoại tiếp tam giác ABC Gọi E, D lần lợt là hai
8
S
R
A
B
C
B'
A'
O H
Hình 14
S
R
A
B
C
B'
A'
O
H
Hình 15 Q
T
Q
Hình 16
H
O
A'
B' C
B
Hình 17
/
=
A
B
D C
E B'
A'
O H
Trang 9điểm đối xứng với H qua AC và BC (hình 17) Nhờ bài toán thuận (bài 1;2) các em chứng minh đợc các bài toán sau:
Bài toán 18: Các đờng cao AA’ và BB’ thuộc tam giác ABC cắt nhau tại H (Góc C khác 90 0 ) Gọi E;D lần lợt là điểm đối xứng với H qua CA và CB Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C;D, E nằm trên một đờng tròn
Kết hợp các bài toán 12, 14, 18, ta có bài toán thú vị
hơn.Đó là các bài toán ngợc của 3 bài toán trên nhng khái
quát hơn(hình 18)
Bà toán 19.Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H nằm trong tam giác ABC Gọi E, D, P là 3 điểm đối xứng với H qua ba cạnh AC, CB,
BA tơng ứng Qua A và B, kẻ các đờng thẳng song song với BH và AH , chúng cắt nhau tại Q Qua A và C, kẻ các đờng thẳng sog song với CH và AH, chúng cắt nhau tại V Qua B và C, kẻ các đờng thẳng song song với CH và BH, chúng cắt nhau tại U Chứng minh rằng9 điểm A, B, C, E, D, P, Q, U,V nằm trên một
đờng tròn.
(Đờng tròn O - le
Từ hình 18,ta they góc CBQ = 900, ⇒ CQ là dờng kính của dờng tròn đi qua 9 điểm
A, B, C, D, E, P, Q, U, V Tơng t AU, BV cũg là đờng kih của đờng tròn nói tren Vậy, CQ, AU, BV đồng quy.Ta có bài toán:
Bà toán 20.Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H nằm trong tam giác ABC Qua A và B, kẻ các đờng thẳng song song với BH và AH , chúng cắt nhau tại Q Qua A và C, kẻ các đờng thẳng sog song với CH và AH, chúng cắt nhau tại V Qua B và C, kẻ các đờng thẳng song song với CH và BH, chúng cắt nhau tại U Chứng minh rằng CQ, AU, BV đồng quy
Cũng từ bài toán1, các đờng cao hạ từ A và B của tam
giác ABC không cắt đờng tròn ngoại tiếp của nó tại D và
E Traí lại, trê đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, lấy
D và E sao cho CD= CE = CH (D ∈cung nhỏ BC ).Ta
thấy E, H, B thẳng hàng; A, H, D thẳng hàng (Hình 19)
Ta có bài toán:
Bài toán 21.C ác đờng cao hạ từ A và B của tam giác
ABC cắt nhau tại H(góc C khác 90 ) Trên đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm E và D sao cho CE = CD = CH( D thuộc cung nhỏ BC) Chứng minh rằng:
a)B, H, E thẳng hàng và A, H, D thẳng hàng;
b) E đối xứng với H qua AC; D đối xứng với H qua BC.
Rõ ràng , để chứng minh bàI toán trên, HS phảI có cách nhìn từ bài toán xuôi rằng: Nếu gọi E’ là giao điểm của BH với đờng tròn (O),ta chứng minh đợc CE’ = CH Tơng
tự với vị trí điểm D, ở bàI toán 1,ta they góc ECA = góc ACH Vì vậy, có thể ra bàI toán có kết quả nh bàI toán 21 nhng với kết quả khác:
Q P
E V
U
A'
B A
Hình 18
Hình 19
A'
B' E
B A
Trang 10Bài toán 22.C ác đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H(góc C khác 90 ) Trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy E và D sao cho góc ACE
= góc ACH và góc BCD = góc BCH Chứng minh rằng:
a) E đối xứng với H qua CA
b) A, H, D thẳng hàng
Tơng tự các bài toán trên, để đa dạng hoá các dạng toán và đào sâu kiến thức, GV có thể cho HS phát hiện và khai thác các hớng trên các bàI toán quỹ tích, dung hình,các bàI toán liên quan đến đờng tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, hình quạt tròn, đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đờng tròn Tuy nhiên, trong phạm vi một tiết học, GV không thể thực hiện hết các dạng toán mà là ngời định hớng cho HS biết cách phát hiện, tìm tòi,tự giảI quyết bàI toán mới Từ đó, HS có thói quên quan sát, t duy, lật đi lật lại vấn
đề để tìm ra những điều mới mẻ trong mỗi bài toán Thông qua đó, giúp HS hình thành và phát triển t duy cũng nh thế giới quan khoa học
c.tình hình thực trạng học sinh trớc và sau khi học
ph-ơng pháp này
Đề kiểm tra chơng III trớc khi học phơng pháp này:
Kiểm tra chơng III ’ 45 phút
Đề bài số 1:
Phần I Trắc nghiệm khách quan (2 điểm)
BàI 1.Khoanh tròn chữ cáI đứng trớ câu trả lời đúng:
Cho hình vẽ, biết AD là đờng kính của đờng tròn (O), góc ACB = 500 Số đo góc x bằng:
A 500; B 450; C 400; D 300
.
Bài 2.Điền vào ô trống sau mỗi khẳng định sau chữ “Đ” nếu em cho à đúng, chữ “S”
nếu em cho là sai:
Tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn nếu:
a)Góc ADB = góc DCB = 900;
b)Góc ABC + góc CDB = 900;
c)Góc DAC = góc DBA = 600;
d)Góc DAB = góc DCB = 600
Bài 3.Cho đờng tròn (O;R), Sđ cung MaN = 1200 Diện tích hình quạt tròn OM aN
bằng:
A)
3
R
6
R 2
4
R 2
3
R 2
π
Hãy khoanh tròn chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng
Phần II.Tự luận (8 điểm)
Bài 4 Các dờng cao AA’, BB’ của tam giác ABC cắt nhau tại H và cất đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC lần lơt tại D và E.đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại F và
G Chứng minh rằng:
a) Cung CE = cung CD
b) Tứ giác ABGF nội tiếp
c) CF.CA = CG.CB
II Đề kiểm tra sau học phơng pháp này kiểm tra chơng III – 45 phút
Đề bài số 2:
Phần I Trắc nghiệm khách quan (2 điểm)
Bài 1.Khoanh tròn chữ cái đứng trớ câu trả lời đúng:
Cho hình vẽ, biết AD là đờng kính của đờng tròn (O), góc ACB = 500 Số đo góc x bằng:
A 500; B 450; C 400; D 300
.
Bài 2.Điền vào ô trống sau mỗi khẳng định sau chữ “Đ” nếu em cho à đúng, chữ “S”
nếu em cho là sai:
Tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn nếu:
10