skkn cải tiến cách xây dựng tài liệu về bất đẳng thức trong chương trình đại số 10 theo hướng phát triển năng lực(1)

Nội dung Ngày 28/09/2016, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Công văn số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD về việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia và tuyển sinh ĐH, CĐ hệ chính quy năm 2017, trong đó n

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Đồng tác giả:

1 Nguyễn Tiên Tiến – Phó Hiệu trưởng

2 Hoàng Thị Năm – Giáo viên

3 Phùng Thị Hằng – Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình

Lĩnh vực: Toán học

PHẦN ĐỀ CƯƠNG SÁNG KIẾN

I Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến 1

II Tác giả sáng kiến 1

III Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng 1

IV Nội dung sáng kiến 1

V Hiệu quả dự kiến đạt được 3

VI Điều kiện và khả năng áp dụng 5

PHẦN PHỤ LỤC

I Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1

Phần 2 Một số phương pháp điển hình chứng minh bất đẳng thức 3

§1 Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết 3

§5 Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình 51

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình

Chúng tôi ghi tên dưới đây:

T

T Họ và tên

Ngày tháng năm sinh Nơi công tác Chức vụ

Trình

độ chuyên môn

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo

ra sáng kiến

1 Nguyễn Tiên Tiến 08/06/1981 THPT Gia Viễn B Phó Hiệu trưởng Thạc sỹ 60%

2 Hoàng Thị Năm 04/10/1985 THPT Gia Viễn B Giáo viên Đại học 30%

3 Phùng Thị Hằng 10/03/1989 THPT Gia Viễn B Giáo viên Đại học 10%

I Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng

Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Lĩnh vực áp dụng: Toán học

Thời gian áp dụng: Từ năm học 2017 – 2018 đến nay

II Nội dung

Ngày 28/09/2016, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Công văn số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD về việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia và tuyển sinh

ĐH, CĐ hệ chính quy năm 2017, trong đó nội dung bài thi môn Toán thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi và từ năm 2019 trở đi, nội dung thi nằm trong Chương trình cấp THPT, các tác giả đã tiến hành viết, áp dụng sáng kiến này và bổ sung, hoàn thiện dần qua các năm học để đáp ứng được với nhu cầu học tập hiện nay của học sinh

1 Giải pháp cũ thường làm

Qua thực tế giảng dạy và dựa vào kết quả lấy phiếu điều tra đối giáo viên dạy Toán 10 về kinh nghiệm, cách thức dạy học về Bất đẳng thức trong chương trình Đại

số 10, chúng tôi xin được đánh giá ưu điểm và hạn chế như sau:

Giải pháp 1 Về nội dung kiến thức

Giáo viên giảng dạy theo tiến trình và kiến thức được trình bày trong sách giáo khoa Cụ thể, giáo viên chỉ tập trung vào hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức là

Cách làm này có ưu điểm là học sinh dễ theo dõi, đối chiếu bài giảng của giáo viên với việc xem sách giáo khoa Tuy nhiên, do khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa không trình bày đầy đủ các dạng bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi; lời giải của các ví dụ mặc dù đã được trình bày chi tiết nhưng lại không có sự phân tích để học sinh nhận biết bản chất, thông hiểu từng định nghĩa hoặc từng đơn vị kiến thức

Tổng số ví dụ về bất đẳng thức trong sách giáo khoa Đại số 10 và sách Bài tập Đại số 10 (NXB GD, 2006) là 04 Như vậy, số lượng ví dụ là rất ít nên học sinh không

có nhiều cơ hội để thực hành, hiểu rõ bản chất của phương pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức

Giải pháp 2 Về hệ thống bài tập luyện tập

Khi dạy về bài tập, giáo viên thường tiến hành theo hai mục chính, đó là

1 Nội dung phương pháp

2 Ví dụ minh họa

Giáo viên thường sử dụng các ví dụ, bài tập tự luận trong giảng dạy lý thuyết và cũng chỉ dừng lại ở việc hoàn thành chứng minh bất đẳng thức, chưa có sự liên hệ với những dạng toán hoặc đơn vị kiến thức khác có liên quan đến bất đẳng thức như phương trình, bất phương trình và hệ phương trình hoặc giáo viên cũng chưa chú ý đến cách diễn đạt khác của ví dụ hay bài tập được đưa ra Sau khi làm xong ví dụ hoặc bài tập thì học sinh không được cung cấp bài tập tự luyện để có “cơ hội” thực hành

Tổng số bài tập về bất đẳng thức trong sách Đại số 10 và sách Bài tập Đại số 10

là 25, nhưng nằm ở các mục khác nhau, không sắp xếp theo phương pháp nào và cũng chỉ dừng lại ở hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói ở trên Để làm được các bài tập đó, học sinh phải tự nhận dạng, sắp xếp lại các bài tập và giải quyết vấn đề Điều này gây không ít khó khăn cho đa số học sinh

Giải pháp 3 Về câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Giáo viên mới xây dựng được hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan đảm bảo hai yêu cầu:

1 Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm chung cho cả chủ đề bất đẳng thức

2 Các câu hỏi chủ yếu ở mức độ nhận biết, thông hiểu

Số lượng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong sách Đại số 10 và sách Bài tập Đại số 10 còn rất ít (04 câu hỏi) Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa được xây dựng đủ ở bốn mức độ (nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao) và còn nằm rải rác trong các sách tham khảo Đa số các câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong các sách tham khảo ở mức độ nhận biết, thông hiểu, có một số câu hỏi ở mức độ vận dụng nhưng học sinh chỉ cần đặc biệt hóa là có thể lựa chọn được phương án đúng Trong khi đó, mức độ của các câu hỏi về bất đẳng thức trong các kỳ thi lại ở mức vận dụng và vận dụng cao Vì vậy, hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan đó chưa đáp ứng được yêu cầu về chuẩn kiến thức, kỹ năng và của các kỳ thi hiện nay

Giáo viên thường giảng dạy phần câu hỏi trắc nghiệm tách rời với phần tự luận,

và giảng dạy trong các tiết ôn tập, tiết tự chọn và các câu hỏi mặc dù đã được xây dựng thành chủ đề bất đẳng thức nhưng còn chung chung, lại rời rạc, riêng lẻ, ít liên

thì cũng chỉ dừng lại ở việc tìm ra được đáp án Cách làm này có ưu điểm là học sinh

dễ nhận dạng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhưng lại mất nhiều thời gian, hạn chế việc rèn luyện kỹ năng làm bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh; học sinh giải được bài nào chỉ biết bài đó chứ chưa biết cách đặt vấn đề khai thác hoặc phát triển bài toán hoặc tìm ra bài toán “họ hàng”; học sinh sẽ khó hình dung và lúng túng trước những câu hỏi mới, lạ trong quá trình học tập và khi làm bài kiểm tra, bài thi; chưa có nhiều “cơ hội” phát triển năng lực học sinh

2 Giải pháp mới cải tiến

Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như phân tích, đánh giá những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, chúng tôi đã tiến hành viết sáng kiến về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 với những giải pháp cải tiến như sau:

Giải pháp 1 Thiết kế lại nội dung kiến thức

Kiến thức được thiết kế như tiến trình trong sách giáo khoa để giáo viên, học sinh tiện theo dõi và đối chiếu Bổ sung và hệ thống lại thành bảy phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi phù hợp với yêu cầu về kiến thức, tiến trình học tập mà học sinh được học ở lớp 10, đảm bảo trang bị đầy đủ các phương pháp và kỹ thuật thường gặp trong quá trình học tập và tham gia các kỳ thi Đồng thời, cũng gọi tên một số bất đẳng thức quen gọi trước đây như Cô-si, Bu- nhi-a-côpx-ky theo tên gọi chung của quốc tế Xây dựng tài liệu gồm 07 phương pháp,

Ứng với mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức đều có những ví dụ minh họa kèm theo lời bàn hoặc lời giải được trình bày bằng nhiều cách hoặc có liên hệ với các bài toán ở lớp 11 và lớp 12, hoặc các phân môn khác của Toán học như Lượng giác, Hình học để học sinh hiểu rõ bản chất của phương pháp, cách thức áp dụng phương pháp hoặc cách tiếp cận vấn đề

Cụ thể, mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức chúng tôi thiết kế gồm các

2 Ví dụ điển hình

3 Lời bàn, phân tích, liên hệ và phát triển bài toán

4 Bài tập tự luyện

Với giải pháp này, chúng tôi đã xây dựng được 56 ví dụ điển hình bao gồm cả

ví dụ tự luận (25 ví dụ) và ví dụ trắc nghiệm khách quan (31 ví dụ), với lời giải chi tiết, kèm theo phân tích, lời bàn 56 ví dụ này minh họa cho 7 phương pháp, kỹ thuật nói trên, trong đó nhiều ví dụ có liên hệ bất đẳng thức với những nội dung khác như phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, và liên hệ với các đơn vị kiến thức lớp 11 và lớp 12

Với cách làm này, giúp hình thành cho học sinh năng lực đặt vấn đề, phát hiện

và giải quyết vấn đề; năng lực tự học; năng lực tư duy lôgic, tư duy sáng tạo và linh hoạt trong giải quyết vấn đề Đồng thời, nắm được yếu tố cốt lõi trong các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức và hiểu rõ bản chất của bài toán hơn

Giải pháp 3 Thiết kế hệ thống bài tập tự luyện

Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng về bất đẳng thức, kinh nghiệm giảng dạy

và ôn thi các kỳ thi, sau mỗi ví dụ tự luận điển hình, chúng tôi có giới thiệu thêm bài tập tự luyện để học sinh có “cơ hội” thực hành ngay mà không cần mất nhiều thời gian tìm kiếm trong các tài liệu tham khảo Chúng tôi đã xây dựng được 40 nhóm câu hỏi

và bài tập bao gồm 100 bài tập tự luận và 112 câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng với 07 phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm đảm bảo đủ 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao

Việc xây dựng được hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng phương pháp, đủ các mức độ nhận thức, vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu học tập, rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp đó một cách hiệu quả hơn và phù hợp với yêu cầu của các kỳ thi hiện nay

Bên cạnh đó, chúng tôi còn liên hệ đến một số vấn đề liên quan như phương trình, hệ phương trình hoặc các bài toán có chứa tham số hoặc có chỉ dẫn một số bài toán ở chương trình lớp 11 và 12 sẽ sử dụng đến phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức đang đề cập Các vấn đề được liên hệ đều rất gần và rất sát với yêu cầu của chương trình giáo dục, yêu cầu của kỳ thi chọn học sinh giỏi và thi THPT quốc gia

III Hiệu quả dự kiến đạt được

1 Giúp giáo viên và học sinh tiết kiệm được rất nhiều thời gian để xây dựng tài liệu giảng dạy, học tập về chủ đề bất đẳng thức

Bởi lẽ, để xây dựng được tài liệu giảng dạy hoặc học tập về bất đẳng thức, giáo viên và học sinh phải mất nhiều giờ, thậm chí nhiều ngày tìm kiếm, đọc tài liệu tham khảo để sắp xếp, lựa chọn các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, hệ thống hóa câu hỏi và bài tập luyện tập cho từng phương pháp

Các sách tham khảo (có liên quan đến chủ đề bất đẳng thức ở lớp 10) tính đến thời điểm các tác giả viết sáng kiến thì các ví dụ và bài tập chủ yếu ở dạng tự luận Vì vậy, để xây dựng được hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm khách quan cho chủ đề

tập và sắp xếp, hệ thống lại từ các tài liệu trên internet và các sách tham khảo cho phù hợp với yêu cầu về chuẩn kiến thức, kỹ năng và năng lực học sinh, cũng như xây dựng các phương án nhiễu

Với sáng kiến này, giáo viên và học sinh có thể sử dụng ngay để giảng dạy, ôn tập cũng như luyện thi học sinh giỏi, thi Trung học phổ thông quốc gia Nếu cần thì hàng năm giáo viên có thể bổ sung để có được tài liệu đa dạng, phong phú về bài tập cho riêng mình và phù hợp với đối tượng học sinh của từng lớp giảng dạy

2 Tạo được sự lan tỏa trong phong trào viết sáng kiến và nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng trong nhà trường

Sáng kiến đã được các thầy, cô giáo trong trường tiến hành thực nghiệm và sử dụng để giảng dạy chính khóa cũng như trong ôn luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi và tạo được sự lan tỏa trong phong trào nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng và viết sáng kiến đối với giáo viên nhà trường

3 Tạo được hứng thú, sự tự tin và yêu thích môn học cho học sinh trong học tập, góp phần bồi dưỡng năng lực tự học, phát triển năng lực suy luận, tư duy lôgic

và năng lực phát hiện, giải quyết vấn đề cho học sinh

4 Sáng kiến góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy và học tập

bộ môn Toán trong nhà trường

Giáo viên trong trường đã sử dụng sáng kiến này trong dạy học môn Toán, hướng dẫn học sinh ôn thi THPT quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Nhiều học sinh đã sử dụng sáng kiến này để tự học, tất nhiên có sự hướng dẫn của giáo viên và đã đạt được thành tích cao trong học tập Đóng góp của sáng kiến trong các cuộc thi như sau:

- Đối với Kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh

Năm học TS giải Giải Nhất Giải Nhì Giải Ba Giải KK

Điểm TB môn Toán của tỉnh

SL học sinh

có điểm thi môn Toán từ 8,0 trở lên

SL học sinh có tổng điểm ba môn xét Đại học từ 26,0 điểm trở lên

IV Điều kiện và khả năng áp dụng

1 Điều kiện áp dụng

tiến hành áp dụng trong hai năm học vừa qua, kết quả sáng kiến rất hữu ích trong công tác giảng dạy của giáo viên và công tác ôn tập của học sinh Vì vậy, để áp dụng sáng kiến, giáo viên nghiên cứu kỹ sáng kiến hoặc cần phải được các tác giả trao đổi để hiểu ý tưởng và mục tiêu thiết kế các ví dụ và câu hỏi, bài tập của từng phương pháp

2 Khả năng áp dụng

Sáng kiến đã được đồng nghiệp trong nhà trường thực nghiệm, và các đồng nghiệp trên địa bàn huyện đánh giá cao về ý tưởng, chất lượng nội dung và có tính khả thi, phổ dụng cao

Sáng kiến có thể áp dụng ở tất cả các trường THPT trong tỉnh và toàn quốc, đặc biệt là các lớp chọn, lớp chất lượng cao trong các nhà trường THCS, THPT

Danh sách những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất cả giáo viên đều công tác tại trường THPT Gia Viễn B):

Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật

và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./

Xác nhận của Ban giám hiệu

Gia Viễn, ngày 11 tháng 05 năm 2020

Người nộp đơn

Nguyễn Tiên Tiến

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức f , viết là M max f , nếu:

(1) f M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f M

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f , viết là mmin f , nếu:

(1) f m với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f m

Bước 2 Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho f M

Bước 3 Kết luận max f M

II CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:

Phần 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂN HÌNH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một

số phương pháp, kỹ thuật thông dụng để chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi như thi học

kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia, được thiết kế theo từng bài học Đó là các phương pháp và kỹ thuật:

Với mỗi phương pháp, chúng tôi trình bày thống nhất hai phần:

- Nội dung phương pháp: Phần này chúng tôi trình bày nội dung cơ bản của phương pháp đó bằng cách trực quan, dễ hiểu nhất với mọi đối tượng học sinh

- Ví dụ điển hình: Phần này chúng tôi lựa chọn các ví dụ tự luận minh họa điển hình cho phương pháp đó, mặc dù có thể vẫn trình bày theo một cách khác Mỗi ví dụ đều có sự phân tích để tìm ra lời giải hoặc làm rõ bản chất của phương pháp trong lời giải Bên cạnh đó, chúng tôi xây dựng các ví dụ trắc nghiệm khách quan mà lời giải của nó phải sử dụng đến phương pháp đang đề cập Với mỗi ví dụ, chúng tôi

có đề cập đến các câu hỏi trắc nghiệm khách quan có liên quan nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn rõ nét hơn về việc xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan

§1 SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG ĐÃ BIẾT

1.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Để chứng minh bất đẳng thức AB theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:

đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra A B 0

giá vế trái để được AB

giá vế phải để được BA

Bài 3 (Trích đề thi HKI lớp 12 năm học 2017 – 2018, Bình Thuận)

2

x y x

Bài 4 (Trích đề thi HKI lớp 12 năm học 2017 – 2018, Hậu Giang)

Hơn nữa do x 5 nên 4x 474.5 47 67 Suy ra f x 67,  x  2;5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

3 10 0

55

x x

Hơn nữa do x 5 nên 3x  7 3.5 7  8 Suy ra g x     8, x  2;5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

3 10 0

55

x x

Trong ví dụ này chúng ta thấy cả hai hàm số f x và   g x đều đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất  

tại điểm biên Vì vậy, để áp dụng được kỹ thuật này thì hàm số phải đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất tại điểm biên Trong chương trình Giải tích 12, chúng ta sẽ xây dựng được sơ đồ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn một cách rõ ràng, mạch lạc hơn và tổng quát hơn

Bài tập tự luyện 2

Bài 1 Cho 1 x 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x3  11x2  40x 1996

Bài 2 Cho   3 x 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   3 2

g x x  x  x

Bài 3 Giá trị lớn nhất của hàm số yx3  3x 4 trên đoạn 0; 2   bằng

Bài 4 (Trích đề thi HKI lớp 12 năm học 2017 – 2018, Quảng Trị)

Bài 5 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x3  7x2  2x 25 trên đoạn  1; 2  bằng

Ví dụ 1.3 Cho các số thực x và y thuộc đoạn  1;5

5

x

y  y  và

55

x

y  y  hay

1

;55

x y

  

  Suy ra

+) min f x y  ,  0, đạt được khi 3 0 3 5

Việc đánh giá ở ý a) chỉ đơn thuần là sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức và ý a) là một gợi ý cho

ý b) Thông thường người ra đề sẽ ẩn ý a) mà đề cập ngay đến ý b) Vì vậy, chúng ta hết sức lưu ý đến những kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng “quy lạ về quen” Bằng cách làm tương tự như ý a) của ví

dụ này, chúng ta cũng có được kết quả sau đây:

Cho p q là hai số thực dương và p, q Với các số thực x y tùy ý thuộc đoạn , p q;  , ta có

Một cách tổng quát, chúng ta có kết quả sau đây:

,

P x y ax bxy cy , với a b c là các số thực sao cho , , 0

a b c   Biểu thức P x y hoàn toàn phân tích được thành tổng bình phương hoặc hiệu bình  , 

b ac p

Bài tập tự luyện 4

Bài 1 (Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Ninh Bình năm học 2014 – 2015)

A x  xy y  y  yz z  z  zx x

Bài 2 (Bài đăng trên Tạp chí Toán tuổi thơ 2, số 143 tháng 01/2015)

Cho x y và z là các số thực dương thỏa mãn , xy yz zx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Bài 3 (Trích đề thi thử THPT QG năm 2016, THPT chuyên Vĩnh Phúc)

P x xy y  x xy y  x xy y  x xy y

Bài 4 (Trích đề thi TS vào 10 chuyên Toán – Thái Bình, năm học 2018 – 2019)

Cho a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện , , 12 12 12 1

Bài 5 (Bài đăng trên TCTHTT tháng 10 năm 2012)

1 Trong lời giải trên, chúng ta đã tiến hành theo ba bước, đó là:

Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số xác định

Bước 2 Từ điều kiện xác định của hàm số, chúng ta chỉ ra được y 0

Bước 3 Biến đổi và đánh giá biểu thức y2 Suy ra đánh giá y 2 và kết luận về giá trị nhỏ nhất

2 Từ bất đẳng thức thức y2  2 ta suy ra được y  2 hoặc y 2 Nhưng vì chúng ta đã chỉ ra được

 0

y nên y 2 và lúc này chúng ta có ngay giá trị nhỏ nhất Còn nếu chúng ta chỉ ra được y 0 thì

y và lúc này chúng ta có ngay giá trị lớn nhất

nhất của hàm số đã cho bằng công cụ đạo hàm với một tư tưởng rõ ràng, trong sáng

Bài tập tự luyện 5

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x  x2 5x 36  x2 6x 7

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức g x  x2 5x 24  x2 4x 45

Bài 3. (Trích đề thi HSG Toán nước Mỹ năm 1993)

ab c Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi /

Lời bàn 6

1 Trong lời giải trên, để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a) Vậy nếu không có gợi ý ở ý a) thì chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Suy nghĩ để tìm ra câu trả lời như sau:

Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh

Thứ hai, giả thiết của bài toán là    1 a b c (các biến số a b c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần đánh , ,

a , trong đó m n là các hằng số phải đi tìm ,

Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi

a

3 4

a )

Kỹ thuật nói trên đây được coi là kỹ thuật hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức

2 Khi học về đạo hàm (Giải tích 11), chúng ta có thể tìm ra biểu thức 18  3

bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào? Chúng

x để xét dấu hiệu này và biến đổi như ở trên Phương pháp này được gọi

là phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức

Cách 1 (Lời giải trắc nghiệm)

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng

Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước

Bài 4 (Trích đề thi HKI lớp 12 năm học 2017 – 2018, Quảng Trị)

Ví dụ 1.8 Cho hàm số y2x3 9x2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

Lời giải Điều kiện:  3 x3

Cách 1 (Lời giải trắc nghiệm)

Trước hết chúng ta kiểm tra đối với giá trị nhỏ nhất (vì đang cần tìm giá trị nhỏ nhất) trong bốn

số cho trong bốn phương án

- Kiểm tra phương án B:

Xét phương trình 2x3 9x2   9 3 9x2   9 2x

2 2

2 2

(điều này không thể xảy ra vì  3 x3)

- Kiểm tra phương án A: Xét phương trình

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x 3 9 x2

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x 5 16 x2

Bài 3 (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2016 – 2017, Quảng Nam)

A maxy  2 B maxy 2 C maxy 4 D maxy 2 2.

Bài 4 (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2017 – 2018, Nam Định)

2 2

Bài 5 (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2017 – 2018, Ninh Bình)

m2 M2 là

Ví dụ 1.9 Cho các số thực không âm , ,x y z thỏa mãn 2 3 4

x y z; ;   x y z2 ; 2 ; 2 Giá trị của biểu thức Tp x x 1 2y y1 2z z1 2 thuộc khoảng nào dưới đây?

Ví dụ 1.10 Cho ,x y là hai số thực biến thiên và m là tham số Biết rằng biểu thức

Bài 2 Cho x y là hai số thực biến thiên và m là tham số Biểu thức , Fx 2y 1 2 2x my  52

c

 nhận giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Bài 3 Cho x y là hai số thực biến thiên và m là tham số Biết biểu thức , Fx 2y 1 2 2x my  52

Bài 4 Cho x y là hai số thực biến thiên và m là tham số Biết biểu thức , E x 2y 1  2x my  5

A E  0 0;1  B E  0 1; 2  C E  0 2; 3  D E  0 3; 4 

§2 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

2.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means) là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm, được phát biểu như sau:

Cụ thể, với n số thực không âm x x1, 2, ,x , ta luôn có: n

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi x1x2 x n

Sau đây, chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ đối với một số trường hợp đặc biệt, thường sử dụng:

a) Trường hợp đối với hai số không âm

Hệ quả 1 Nếu ,a b là các số không âm và a b S (không đổi) thì ab đạt giá trị lớn

nhất bằng 1 2

4S khi và chỉ khi

12

d) Đôi điều về bất đẳng thức AM-GM (Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki)

Sách giáo khoa Toán của Việt Nam thường gọi bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) nhưng thực ra theo cách gọi tên chung của quốc tế thì bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means) Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy Vì vậy, nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên

Augustin-Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết là Cô-si) là một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857 cũng tại Paris

Ông vào học Trường Bách khoa Paris (École Polytechnique) lúc 16 tuổi Năm 1813, ông từ bỏ

nghề kỹ sư để chuyên lo về toán học Ông dạy toán ở Trường Bách khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lĩnh vực toán tích phân và toán vi phân Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học

   (thỏa mãn điều kiện x 0)

Vậy, f x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi x  3

Về hình thức thì các biểu thức f x g x h x p x tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ        , , ,

nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất hay nói cách khác là phải chọn đúng điểm rơi Cụ thể cả bốn biểu thức cần phải tìm cách đánh giá

  1;   2;   3;   4

f x m g x m h x m p x m

không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức f x  .

áp dụng ngay thì vế phải vẫn còn biến số Vì vậy, chúng ta cần điều chỉnh hình thức của biểu thức



3 1

(nhằm khi đánh giá thì vế phải không còn biến số)

điều chỉnh về hình thức của p x một cách khéo léo hơn thì mới đạt được mục tiêu Kể cả khi viết chúng ta  

viết lại biểu thức p x thành       

m và chúng ta có lời giải như trên Kỹ thuật

phân tích ở trên là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM.

Bài 4 (Trích đề thi HKI lớp 12 năm học 2017 – 2018, Quảng Nam)

Bài 5 (Trích đề thi HSG Toán nước Mỹ năm 1965)

Với x  , giá trị nhỏ nhất của 0

Khi học về lôgarit (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp dạng toán này dưới một hình thức khác như sau:

Bài 6 (Trích đề thi HSG Toán nước Mỹ năm 1969)

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   4

4 5 3 4 

Lời giải a) Vì 0;4

nên x  và 4 30  x 0 Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức AM-GM (rõ ràng hơn, đó chính

là việc áp dụng hệ quả 1) để tìm giá trị lớn nhất thì ta có    

2

2

4 3

2 2

(vẫn còn phụ thuộc vào biến) Để làm triệt tiêu

được x trong 2 9 x 2 thì cần phải làm xuất hiện x ở nhân tử còn lại Đó chính là lý do mà trong lời giải 2

của ý b) chúng ta phải xét g x2 x29 x22 Tuy nhiên, lúc này g x chính là tích của ba số không âm 2 

2 ,9 2 ,9 2

chúng ta nhân thêm 2 vào 2 

g x và có lời giải như đã trình bày

3 Với giả thiết x 0; 3, chúng ta tìm được giá trị lớn nhất của g x x9 x2 là 6 3, cũng đồng nghĩa với việc chúng ta tìm được giá trị nhỏ nhất của  

 2

1 9

3 18 9

x

x

x 

 với

4 Vì biểu thức F là tích của ba số không âm 4 x, 5 y và 3x 4y nên trong lời giải của ý c) chúng ta đã nhân 3 vào 4 x  nhằm xuất hiện 3x , còn nhân 4 vào 5 y  nhằm xuất hiện 4y (do đã có sẵn

Bài tập tự luyện 3

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   3x 1 7 2  x với 1 7

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x16 x2 với 0 x 4

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số     2

Bài 6 (Trích đề luyện thi tuyển sinh số 103)

Cho x y là hai số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện 0, x 3 và 0 y 4 Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 7 (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2009 – 2010, Đồng Tháp)

Bài 5 Cho x y là hai số thực dương thỏa mãn , 1 1 2

thuộc tập hợp nào dưới đây?

Bài 6 (Trích đề thi chọn HSG tham dự kỳ thi chọn HSG quốc gia năm 2015, Cao Bằng)

S P

Bài 7 (Trích đề tham khảo THPTQG 2020 lần 2)

Cách 2 (Lời giải trắc nghiệm)

Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng

Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì m 3 là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm tra giá trị này

3

2 6

x 

Bài 4 Giá trị nhỏ nhất của hàm số  

3 4

Bài 5 Hàm số  

2 3

miny 3 9

 

3 0;

 

3 0;

x y x

Cách 1 (Lời giải tự luận)

x y x



 nên loại ngay phương án B và C

Kiểm tra phương án D trước (vì 6 19

Ví dụ 2.8.

Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 2

xyx y Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

Bài 1 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xyx2 y Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px y là

Bài 2 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xyx2y Biểu thức Px y đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xyx2 y Biểu thức Px y đạt giá trị nhỏ nhất khi x y;   x y0 ; 0 Giá trị của 3x0y0 là

Khi học về hàm số lôgarit (Giải tích lớp 12) thì bài toán này có thể được phát biểu dưới một hình thức khác như sau:

Bài 4 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn lnx lny lnx2 y Tìm giá trị nhỏ nhất min P

Ví dụ 2.9 Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x2y3xy3, giá trị nhỏ nhất của

Bài 5 (Câu 46, mã đề 102, đề thi THPTQG năm 2017)



C 2 10 1 2



D 2 10 5 2

Ví dụ 2.10 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ab2bc2ca7 Giá trị nhỏ

Bài 2 Cho a b c là các số thực không âm thỏa mãn , , ab 2bc 2ca 7 Gọi m là giá trị nhỏ nhất của

P D  5857

2

§3 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ

3.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là:

Một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức này là bất đẳng thức Schwarz:

“Với n số thực dương b b1, 2, ,b và n n số thực tùy ý a a1, 2, ,a ta luôn có n

a) Trường hợp tương ứng với không gian hai chiều

Với bốn số thực , , ,a b x y tùy ý, ta luôn có  2  2 2 2 2

Với sáu số , , , , ,a b c x y z tùy ý, ta luôn có  2  2 2 2 2 2 2

Nhận xét 1 Bất đẳng thức ở a), bản chất là một bất đẳng thức hình học

Cụ thể trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu xét hai vectơ ua b; 

và vx y; 

thì do ta luôn có u v   u v 

ax by  a b x y

Nhận xét 2 Bất đẳng thức ở b) bản chất là một bất đẳng thức hình học

Cụ thể trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , nếu xét hai vectơ ua b c; ; 

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Cauchy, hoặc bằng cái tên khá dài là bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz, đặt theo tên của Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz, là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai

Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovsky hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovsky – Cauchy – Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì x y, 2 x x, y y ,

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau) Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực

giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng 0

Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: tích trong là một hàm liên tục Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian định chuẩn x y,  x y

Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều, và đến năm 1859, học trò của Cauchy là Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi Schwarz vào năm 1888







Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:

x  x mà không phải là một cách viết khác? Câu trả

lời là ở chỗ khi áp dụng bất đẳng thức nào thì cần phải quan sát hình thức, bản chất của bất đẳng thức đó

Cụ thể, vì mẫu thức có  2

2 3 2 3

x  x  nên muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì cần

phải làm xuất hiện x và 3 như đã phân tích trong lời giải

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   1 42

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   25

Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   23 4

a) Đặt F  x 3 5x, với x   3;5

Cách 1 (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM)

Với mọi x   3;5, ta luôn có F 0