các đề thi mon toán vào chuyên hùng vương

Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, nội tiếp trong đường trũn O và điểm P nằm trong tam giỏc ABC sao cho ãBAP PBC CAP PCB=ã ;ã = ã.. Đường thẳng AP cắt cạnh BC tại M.. a Chứng minh rằng M

Sở giáo dục và đào tạo

THPT chuyên hùng vơng năm học 2009-2010

Môn: Toán (Chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 01 trang)

Cõu 1(2 điểm) Cho hệ phương trỡnh: 2 (1)

5 (2)

mx y

x my

− =



 + =

 (m là tham số) a) Chứng tỏ hệ đó cho luụn cú nghiệm duy nhất với mọi m

b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phương trỡnh trờn cú nghiệm (x, y) thoả món x + y = 5

Cõu 2(1 điểm) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương x y z, , thỏa món x3−y3 =z2

trong đú ylà số nguyờn tố, ( ) ( )z;3 = z y; =1

Cõu 3(3 điểm)

a) Giải phương trỡnh:

( )2009 ( ) (2008 ) ( ) (2007 )2 ( ) ( )2008 ( )2009

b) Cho x y , là cỏc số thực dương thoả món điều kiện 5

4

x y + = Tỡm giỏ trị nhỏ nhất

của biểu thức 4 1

4

A

Cõu 4(3 điểm)

Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, nội tiếp trong đường trũn ( )O và điểm P nằm trong tam giỏc ABC sao cho ãBAP PBC CAP PCB=ã ;ã = ã Đường thẳng AP cắt cạnh BC tại M a) Chứng minh rằng M là trung điểm của cạnh BC

b) Chứng minh rằng tứ giỏc BHPC nội tiếp trong một đường trũn ( )ω , trong đú H là trực tõm tam giỏc ABC

c) Đường trung trực của đoạn thẳng PA cắt đường thẳng BC tại Q Chứng minh rằng

QA tiếp xỳc với ( )O và QP tiếp xỳc với ( )ω .

Cõu 5(1 điểm)

Cho cỏc số thực khụng õm a b c, , thỏa món ab bc ca+ + =3 Chứng minh rằng:

2 2 2

1

——Hết——

Chỳ ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.

Họ tờn thớ sinh SBD

Đề chính thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN

(Chuyªn To¸n)

1

a)

(1đ)

Từ (1) ⇒ y = mx -2 (3)

0.25 Thế vào (2) được x =2 2 5 ;

1

m

m m

Từ đó tính được y = 5 2 2

1

m m

−

b)

(1đ)

x + y = 7 ⇔ 7 2 3

1

m m

+

Tìm được

1 2 5

m m

=





 =



2 (1đ)

Phương trình đã cho tương đương với

3

x y x− + +xy y =z ⇔ x y− x y− + xy =z (1)

Do y là số nguyên tố,( ) ( )z;3 = z y; =1 nên từ (1), ⇒( )x y; =1,( x y− ;3) =1 (2)

0.25

Từ (1),(2) suy ra x y m x− = 2, 2+xy y+ 2 =n z mn2, = với ,m n∈¢ Từ đó+

4n =4x +4xy+4y = 2x y+ +3y ⇒3y = 2n−2x y− 2n+2x y+ 0.25

Từ đó, do y là số nguyên tố, nên có các trường hợp sau xảy ra

• 2n+2x y+ =3 , 2y2 n−2x y− =1: Suy ra 3y2− =1 2 2( x y+ ) =2 2( m2+3y)

suy ra m2+ =1 3y2−6y−3m2M , nhưng 3 m2+1 3M/ ∀m, vô lý

• 2n+2x y+ =3 , 2y n−2x y− = y Suy ra 2y=4x+2y⇒ =x 0, loại

0.25

• 2n+2x y+ = y2, 2n−2x y− =3 Suy ra y2− =3 2 2( x y+ ) =2 2( m2+3y) do

đó ( )2 2

3 4 12

y− − m = Tìm được y=7,m=1,x=8,z=13 Vậy (x y z; ; ) (= 8;7;13) là nghiệm duy nhất của phương trình

0.25

3 a)

(1,5đ)

Doa n−b n =(a b a− ) ( n− 1+a b a b n− 2 + n− 3 2+ +L ab n− 2+b n− 1), 0.25 với a x= +1,b x= +2

suy ra phương trình đã cho tương đương với ( )2010 ( )2010

+ = +



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3

2

b)

(1,5đ)

Với x > 0 ta có: 4 4x 2 4.4x 8

Với y > 0 ta có: 1 4 2 1 4 2

Dấu đẳng thức xảy ra

4 4

1 1

4

4 5

4

x

y

x y

 =



⇔ = ⇔ =

 + =



Giá trị nhỏ nhất của A là 5 đạt được khi x = 1; y = 1

4

0.5

4 (1đ)a)

A

Q

P

M

H F

E

O

0.25

Từ giả thiết, suy ra ∆ABM : ∆BPM g g( ) suy ra BM2 = AM PM× (1) 0.25 Tương tự, ∆ACM : ∆CPM g g( ) suy ra CM2 = AM PM× (2) 0.25

Từ (1),(2) suy ra BM =CM suy ra điều phải chứng minh

0.25

(1đ)

Gọi E F, là giao điểm của BH CH, với các cạnh AC AB, Khi đó do

· · 900

AEH = AFH = nên tứ giác AEHF nội tiếp, 0.25

suy ra ·BHC=EHF· =1800−·BAC (1) 0.25

Từ cách xác định điểm P suy ra

· 1800 · · 1800 · · 1800 ·

Từ (1) và (2), do tam giác ABC nhọn, nên bốn điểm B C H P, , , cùng nằm trên một

c)

(1đ)

M

X

+ Phát biểu và chứng minh bổ đề Điểm X nằm trên cạnh NP của tam giác MNP

sao cho ·NMX =MPN· . Khi đó

2

+ Tiếp tuyến tại A của đường tròn ( )O cắt BC tại Q Do ·1 Q AB ACQ1 =· 1, nên

2 1

1

 

=  ÷ (3)

+ Tiếp tuyến tại P của đường tròn ( )ω cắt BC tại Q Do ·2 Q PB PCB2 =· , nên

2 2

2

 

=  ÷ (4)

0.25

+ Theo kết quả phần 1, M là trung điểm BC suy ra

·

sin sin sin

sin

cũng vậy

·

·

·

sin sin

sin sin

0.25

Từ (3),(4),(5),(6) suy ra 1 2 1 2

Do ∆Q AB1 : ∆Q CA1 và ∆Q PB1 : ∆Q CP1 , nên 2 2

Q A =Q B Q C Q P× = suy ra

Q A Q P= Suy ra Q1≡Q Điều phải chứng minh

0.25

5 (1đ)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b2 2+b c2 2+c a2 2+a b c2 2 2 ≥4 0.25 Đặt bc x ca= , =y ab z, = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

x +y + +z xyz≥ với x y z, , ≥0 :x y z+ + =3 0.25 Không giảm tổng quát, coi x=min , ,(x y z) , thế thì x≤1 và

2

2

2

1

2 4 4

1

4

Suy ra điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x= = = ⇔ = = =y z a b c

0.5

Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa.