Đề cương ôn tập HK II 2010

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II

Phần: ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11



I/ Chương IV:Giới hạn :

1/ Giới hạn dãy số:

Bài 1:Tìm các giới hạn:

a/lim 4 n27n13 b/lim 5 n37n21 c/lim 2n5 53 2

n

  d/lim 2n3 n2 n 3

e/lim2 3

n

n



 f/

2 2

lim

n

  g/

5

lim

  k/lim 4 2 29

n



l/lim 4 4 23 2 1

n

 m/lim 26 3 2 1

  n/lim 3 2 1

n

  

 o/lim 45 103 11

n n

Hướng dẫn:

a/b/c/d:Đặt n có số mũ cao nhất ra làm thừa số đưa về dạng tích

e/f/k/l/n/o:Chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao nhất.

g/m: có thể đưa về dạng tích

Ví dụ: a/

lim

n n

4

4 3

3

3 lim

5

n

n n n

n n

3

3 lim

5

n n n

n n

 

= vì lim n , 4

3

lim

5

n n

n n



b/lim 4

n n n





2

3

1 1 lim

1 3

n

n n n







1 1 lim

1 3

n n

n





 vìlim n , 3

1 1

1 lim

3

n n







Bài 2:Tìm các giới hạn:

a/lim 2n23n 1 7n3 b/lim 10 n 4 4n2 3n4 c/limn2 n 4n2 n 10

d/lim 9n2 1 n25n 7 e/lim n2  n 1 n f/lim 9n24n 2 3 n

g/lim 4 n 1 16n22n 3 h/lim 2n23n 2n21 k/lim n43n2 1 n21

Hướng dẫn:

a/b/c/d:Đặt thừa số đưa về dạng tích.Đáp số theo thứ tự:     ; ; ;

e/f/g/h/k:Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.

Đáp số theo thứ tự là:1

2;

2

3;

3

4;

3 2

4 ;

5 2

Đặc điểm nhận biết:

Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giớí hạn đặc biệt

Hệ số không phải là hai số đối nhau ta đặt thừa số đưa về dạng tích.

Ví dụ: a/lim 5n2 n 11 2 n3 Nhận xét:2n có hệ số là -2 và 5n2  5n có hệ số là 5

Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích

lim 5n  n 11 2 n3 =limn 5 1 112 2 3

vìlim n  và lim 5 1 112 2 3 5 2 0

lim n 10n 1 n1

Nhận xét:n có hệ số là -1; 2

n  có hệ số là 1.n

Hệ số là hai số đối nhau→Nhân lượng liên hợp

Giải:

2

lim

=lim 2 8

n

n  n  n =

2

8



Bài 3:Tìm các giới hạn

a/lim2.3 5.4

n n

n n



 b/lim 3.2 7

10.7 5.4

n n

n n



2

lim

n

  d/

1

lim

n n

n n





 

Hướng dẫn:Biến đổi đưa về cùng số mũ.Trong công thức có chứa , ,a b c chọn n n n max a b c, , 

Giả sử là a ta chia cả tử và mẫu cho a biến đổi đưa về các giớí hạn đặt biệt n

Đáp số theo thứ tự là:5

3;

1

10;

7 24

 ;-6

Bài 4: Tìm các giới hạn

lim

3 2n

n n



 b/

2

2

1 lim

2

3

n

n

 

 

2

lim

1

n

n

2

3

lim

4

3

n

n

 

 

Hướng dẫn:Biến đổi đưa về dạng tích

Đáp số theo thứ tự là:0; ;;0

Ví dụ:

3

3

lim

2

3

n

n n

 

 

lim

4

n

 



 

 

lim

4



vàlim 3

2

n

 



 

 

2/Giới hạn hàm số:

Bài toán 1:Tìm giới hạn hàm số khi x x0(tương tự cho trường hợp x x x0 ; x0 

* Dạng 1: Nếu f x xác định tại   x thì 0    

lim

x x f x f x

Áp dụng:

1

2

lim

1

x

x x





3

3

lim

x

x

 



 

0

lim

x x

f x

g x

 với f x 0 g x 0 0

Cách giải:

☺Nếu f x g x là những đa thức thì phân tích  ,   f x   x x f x 0  1 ,g x   x x g x 0 1  khi đó:

 

 

0

lim

x x

f x

g x

 

0

1 1

lim

x x

f x

g x

☺Nếu f x hoặc   g x có chứa căn bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt 

Ví dụ:

a

3 2 2

8 lim

4

x

x

x





2 2

lim

x



2 2

2

x

x







b/ 2

6

lim

x

x



 

lim

x

 

6

lim

x

x





6

lim

25

Áp dụng:

Bài 1:

a/

2

5

25

lim

x

x

x x





3 2 1

lim

1

x

x



 c/

2 2 3

lim

9

x

x



 d/

5 1

1 lim

1

x

x x

 



 e/

2 2 4

lim

16

x

x





f/

3

2

1

lim

x



  g/

3 2 2

lim

x



  h/

3 2 3

lim

x



3 2 3

3 3 lim

3

x

x





 m/

10 1

1 lim

1

x

x x







Đáp số theo thứ tự là: 5

3

 ; -4; 1

6; 5;

3 8

 ; 0; 7; -17; 3 3 ; 10

Bài 2:

0

lim

3

x

x



 

 b/ 2

1

lim 1

x

x x



 

 c/

3

lim

3

x

x



 

 d/ 2

8

1 3 lim

x

x



 

  e/

4

lim

x

x

x



 

  f/

3 2

8 lim

x

x x





  g/ 2

2

lim

6

x

x x



4

lim

16

x

x





3

9 2

lim

x



0

lim 3

x

x x





Đáp số theo thứ tự là:1

3 ;

1 3

 ; 2

3

 ; 1

102;

15

16; -16;

1 25

 ; 7

40;

3 22

6

 

0

lim

x x

f x

g x

 với f x 0 0;g x 0 0

Cách giải:Sử dụng quy tắc b trang 131.

Ví dụ:

3

lim

3

x

x

x







3

x  x



3

x  x



  vàx  3 0 x 3 do đó

3

lim

3

x

x x











Áp dụng:

a/

2

lim

x

x x







 b/

2 5

10 lim

5

x

x x x





 

 c/

2

lim

2

x

x x





4

lim

16

x

x x





 

 e/ 3

2

lim

x

x x



 

  

 





Bài toán 2:Tìm giới hạn hàm số khi x   (x   )

* Dạng 1: lim  

x f x

  Với f x là một đa thức. 

Cách giải:Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khix    giải tương tự)

Ví dụ: lim 2 3 1

x x

x x

  

Áp dụng:

a/ lim 20 3 3 2 4

x

 

4 2

4

x

x

  

 

lim

x

f x

g x

  Với f x ,  g x là một đa thức. 

Cách giải:

Chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất,biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(tương tự cho trường hợp x   )

Ví dụ:a/

2 2

lim

x

x

 

2

lim

4

x

x x x

 



 

;(Đã chia cả tử và mẫu cho x )2

b/ lim 52 1

x

x

 



4 3 1

x

x x

 







;(Đã chia cả tử và mẫu cho x )5

Tuy nhiên nếu f x là đa thức bậc cao hơn   g x thì ta có thể đưa về dạng tích 

Ví dụ:

3

lim

x

x x

  

6

3

10 lim

4

x

x

x

x x

  

10 lim

4

x

x

  

 

4

x

x x

x x

  

 

Áp dụng:

a/

lim

x

  

3

lim

x

x x

 

2

lim

x

x

  



2

lim

x

x x

  

  e/

3

lim

x

x x

 

  f/

6

lim

x

 

* Dạng 3:

 

lim

x f x

  với f x có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích hoặc nhân 

lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(Tương tự cho trường hợpx   ) Đặc điểm nhận biết:

Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp

Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích.

     Nhận xét: x có hệ số là-1;vìx  nên 2

x x  có hệ số là 1x

Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp

2

lim

1

x

 

  

= lim 2 1

1

x

x

 



2

1 lim

1

x

x

x x

 



2

1 1 lim

x

x

x x

 



=1 2

có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích

x

  

x x

  

= 

Vì: limx  x  ; lim 4 1 3 1 1 0

c/ lim 3 3 2 9 2 1

9x 3 x 3x bậc nhất

Giải:  3 2 

x x

  

= lim 3 3 2 3 94 16

  

=lim 3 3 23 94 16

x x

  

vì: xlim  x3   , lim 3 23 94 16 3 0

Áp dụng:

a/ lim 2 2 3 5 2 

     e/lim 2 1 2 2 3

Hướng dẫn:

a/b/c/d/k:Nhân lượng liên hợp biến đổi.Đáp số theo thứ tự là:3 2

4 ; 6;

5

2; 0;

7 6



e/f/g/h:Đặt thừa số đưa về dạng tích Đáp số theo thứ tự là: ;  ;  ; 

* Các dạng khác:

3 2



2

8

b

2

3





=

3

12

x

Thay ( 2) , ( 3 ) vào ( 1 ) có : A = 3 1 11

8 12 24

3.Hàm số liên tục:

* Dạng 1:Xét tính liên tục của hàm số f x tại   x 0

Cách giải:

Dùng định nghĩa: Nếu f x xác định tại  x và 0    

lim

x x f x f x

  thì f x liên tục tại  x0

Ví dụ:Cho hàm số  

16







neáu x

Xét tính liên tục của h/số f x tại   x =160

Giải:Ta có f x xác định tại   x =16 và 0 f  16 15

 

2

16

f x

x



 =lim16 1 15  16

    Vậy f x liên tục tại  x =160

Áp dụng:

Xét tính liên tục của ham số f x tại   x trong các trường hợp sau:0

a/  

2

0

3 3







x x neáu x

neáu x

; b/  

2

0

4 4







x x neáu x

neáu x

12













x neáu x x

neáu x

0

2









x neáu x

neáu x

e/  

2

0

1 2









x x neáu x x

0

1









x x neáu x x

x

0

lim

x x f x

0

lim

x x f x



0

lim

x x f x





* Dạng 2:Định tham số để hàm số liên tục tại x0

Cách giải:Tính f x , 0  

0

lim

x x f x

lim

x x f x f x

Ví dụ: Cho hàm số  

2

2

6







Tìm m để h/số f x liên tục tại   x =60

Giải:Ta có hàm số f x xác định tại  x =6 và 0 f  6 2m2 7m10

 

2

6

f x

x



 lim6 1 5

x x



   Hàm số f x liên tục tại   x = 6 khi chỉ khi: 0 lim6    6

x f x f

2

2m 7m 10 5

     2m2 7m 5 0

1 5 2

m m











Áp dụng:

Tìm m để hàm số f x liên tục tại   x trong các trường hợp sau:0

a/  

2

0 2

3 3







x x neáu x

m m neáu x

; b/  

2

0

2 2







x x neáu x

m neáu x

c/  

3

0

1 1







x neáu x

mx neáu x

; d/  

3

0 2

1

3 1

3









x neáu x x

m m neáu x

* Dạng 3:Chứng minh rằng phương trình f x  có ít nhất một nghiệm thuộc   0 a b; 

Cách giải:

Xét hàm số yf x ,chứng minh yf x liên tục trêna b và ;  f a f b     0

x a b f x

Ví dụ:Cmr phương trình 4x3 5x 3 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc0; 2 

Giải: Xét hàm số f x 4x3 5x 3 liên tục trên R nên liên tục trên0; 2

Ta cĩ: f 0 3 , f  2 19 suy ra f   0 f 2 57 0

  x0 0; 2 : f x 0 0.Vậy 4x3 5x 3 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc 0; 2 

Áp dụng:

1/Chứng minh rằng phương trình:x73x5 2 0 cĩ ít nhất một nghiệm

2/ Chứng minh rằng phương trình:x2sinx xcox   thuộc 1 0 0; 

3/ Chứng minh rằng phương trình: x3 3x  cĩ 3 nghiệm phân biệt.1 0

4/ Chứng minh rằng các phương trình sau cĩ nghiệm với mọi m:

a/m x 1 3 x 22x 3 0 b/x4 mx2 2mx 2 0 5/ Phương trình sau cĩ nghiệm hay khơng trong khoảng (– 4 ; 0 ) ?

33 2 4  7 0

( HD : Xét nghiệm trong (– 2 ; 0 ) (– 4 ; 0 ) Suy ra pt cĩ nghiệm trong (– 4 ; 0 )

II/Chương V: ĐẠO HÀM

Bài 1:Tính đạo hàm của các hàm số sau :

y x  x  x b/ 4 5 3 3 2 10

y     c/y2x3 x 7 d/y3x 710

e/ y 5x 3 720 f/ y4x1 5  x 312 g/ 2

y x  x h/ 2

y x 

x y

x





 l/ 7 4

x y x





 m/ 23 1

x y





3

x y x





 o/ Cho f x( )x3 3x1.Tính f '(5) p/ Cho ( ) 5 . '(2)







x

x

64

q/ Cho h/s f x( ) x Tính f '(7) r/ Cho ( ) 3 . '( 2)

f x Tính f

x

s/ Cho h/s ( ) 2 8 . '(1)

3





2 7

t/ Cho y x 3 3x2.Tìm x để a y: ) ' 0 b y) ' 3

Giải

Ta cĩ: a) y' 0  3x2 3x0  x0 hoặc x2

b) y' 3  3x2 6x3 x2 2x1 0  1 2 x 1 2

Bài 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a/ysin 2x3cosx1 b/y3sin 5x2cos(3x28) c/ysin 7 x 33cos 2x14 d/ytan 4 3  x e/ytan 4 x22 x 5 f/ycot 2x2 g/7 y 1 tan 5x20

 



x

 



 



Bài 3:Tìm vi phân của các hàm số sau:

a/y2x210x3 b/y 2x c/3 y5x 27 d/ sin3

2

x

y  e/y c os 52 x6 f/ycot 5 x2 x 2 g/  2 4

1 sin

y  x h/ 2 1

y



  k/ 12

3cos

y

x



Bài 4: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau :

a/

10

1 10

x

y  x b/ 3 2

x y

x





 c/ y2x 56 d/y x cos 2x e/ y x 2sinx

Bài 5:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:

y x  x  tại điểm M  0 1; 2

b/y2x2 x1 tại điểm có hoành độ x 0 1

c/

2

y

x



 tại điểm có hoành độ x 0 0 d/y 2x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:1 7

3

x

y  

e/y2x2 8x1 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:x 4y16 0

f/

1

y

x



 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2

Hướng dẫn:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x  tại tiếp điểm M x y có phương trình o o; o

'

y y f x x x .(1)

*Nếu tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng y ax b a  , 0 thì ' 

o

f x a x o  y o áp dụng công thức (1) viết được phương trình.

*Nếu tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng y ax b a  , 0 thì '  1

o

f x

a

  x o  y o áp dụng công thức (1) viết được phương trình.

*Nếu biết tiếp tuyến có hệ số góc k thì : ' 

o

f x k  x o y o áp dụng công thức (1) viết được phương trình

*Bài tập tương tự:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:

a/y x 25x6 tại điểm M  0 1; 2

y x  x  x tại điểm có hoành độ x 0 2

y x  x tại điểm có tung độ y 0 2

d/y 2x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:1 y2x1

x

y

x





 biết tiếp tuyến đó song song với đương thẳng d: x 3y 6 0