ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3

Xác định m để hàm số 1 có 3 điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.. Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ QUÝ ĐÔN

Tổ : Toán - Tin

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM HỌC 2009 -2010

Môn : Toán – Khối: A+B

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ BÀI Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y=x4- 2mx2+ +m 1 (1) ( m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2 Xác định m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của

đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Câu 2: (2 điểm)

1 Giải phương trình: sin8 os8 1cos 22 1 os2

x c- x= x- c x

2 Giải hệ phương trình:

0

ì - + = ïïï

ïïî

Câu 3: (3 điểm)

1 Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :

x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M Tìm BÎ ( ) àd v CÎ ( ')d sao cho

A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC

2 Trong không gian cho hai đường thẳng :

2

1

2 1

x

ì

a Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau

b Lập phương trình đường vuông góc chung giữa d1 và d2

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2; AD=2 2 và

SA =2 vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và

SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

Câu 4: (3 điểm)

1 Tính tích phân:

8

3

ln 1

x

x

=

+

ò

2 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3 2 n

x x

çè ø biết rằng: n

+

Î ¢

thỏa mãn : C n6+3C n7+3C n8+C n9=2C n8+2

3 Cho các số thực x,y dương thay đổi thỏa mãn: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(1 )(1 ) (1 )(1 )

- Hết

-TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ QUÝ ĐÔN

Tổ : Toán - Tin

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM HỌC 2009 -2010

Môn : Toán – Khối: D

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ BÀI Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y=x4- 2mx2+ +m 1 (1) ( m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2 Xác định m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của

đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Câu 2: (2 điểm)

1 Giải phương trình: sin8 os8 1cos 22 1 os2

x c- x= x- c x

2 Giải hệ phương trình:

0

ì - + = ïïï

ïïî

Câu 3: (3 điểm)

1 Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :

x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M Tìm BÎ ( ) àd v CÎ ( ')d sao cho

A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC

2 Trong không gian cho hai đường thẳng :

2

1

2 1

x

ì

a Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau

b Lập phương trình đường vuông góc chung giữa d1 và d2

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2; AD=2 2 và

SA =2 vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và

SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

Câu 4: (3 điểm)

1 Tính tích phân:

2

ln ln(ln )

e

e

x

+

=ò

2 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1+x)n có tỉ số hai hệ số liên tiếp bằng 7

15

3 Cho các số thực x,y dương thay đổi thỏa mãn: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(1 )(1 ) (1 )(1 )

- Hết

-ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III

Môn: Toán A,B- Năm học: 2009 – 2010

1 1 m=1 ta có y = x 4 -2x 2 + 2

+ TXĐ: D= ¡

+ xlim®±¥ y= +¥

+ y’=4x 3 – 4x ' 0 0

1

x y

x

é = ê

= Û

ê =±

ë

BBT

1

2

1

+¥

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (- ¥ ;-1) và (0;1)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và ( 1; +¥ )

0.5

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=±1 giá trị cực tiểu của hàm số là y( 1) 1± =

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0 giá trị cực đại của hàm số là y(0)=2 0.25

10

8

6

4

2

-2

-4

0.25

2 Ta có y’ = 4x 3 – 4mx = 4x(x 2 –m)

y’ = 0 x2 0

é = ê

Û ê =ë điều kiện để hàm số có 3 cực trị : y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

Û m > 0.

0.25

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị 2

2

(0; 1)

-ïï

-íï

ïï - - + -ïî

4

2

os

c BAC

ïïî

uuur

0.25

3

2

1

m m

m

+

3

3 3

2

sin 2

1 1

1 2

1

2

R

m m

R

m

m

m

+

+ +

é = ê ê

ê = ê

0.5

2

2

điểm

1

Giải phương trình: sin8 os8 1cos 22 1 os2

x c- x= x- c x

PT

2 2 2

(sin os )(sin os ) cos 2 os2

os2 (1 sin 2 ) os2 ( os2 1)

os2 (1 os 2 ) os2 ( os2 1) os2 ( os 2 os2 ) 0

os2 1

2

c x c x c x c x

c x c x c x

k x

c x

k

c x

p p

é

ê = +

ê

ê

¢

0.25

0.25

0.5

2

Giải hệ phương trình:

0

ì - + = ïïï

ïïî Điều kiện : 4

2

1 0

log log

y y

ï ³ ï ³ïî ïïî

0.25

Với điều kiện trên hệ đã cho tương đương với:

2

ïî

0.25

2 2

4 3

1

4 3

3

x y

y

y

ìï = ï ì

ì = - ï =

Û íï Û íï Û íï ê =

ë ïî

0.25

Tập nghiệm của hệ phương trình là: S={ ( ) (1;1 ; 9;3) } 0.25 Câu

3

1 Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :

x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M Tìm BÎ ( ) àd v CÎ ( ')d sao cho A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC

M(3;1):

( ) ( ; 2) ( ') ( '; 4 ')

BÎ d Þ B t t- CÎ d Þ C t - t

A là tâm đường tròn ngoại tiếp

6 ' 2

t

ï = ï =ïî ïî

B(6;4) và C(2;2)

0.25

0.5

0.25 2

Trong không gian cho hai đường thẳng :

2

1

2 1

x

ì

a Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau

b Lập phương trình đoạn vuông góc chung giữa d1 và d2

1 2

1 2

1 2

(1;1;3) (2;0;0) ó: d

(0;0;1) (1; 2;0) , ( 2;1;0)

(1; 1;3)

& éo

u u

u u AB AB

d d ch nhau

ì é ù

-ï ê ú

ïï

-ïî

Þ

ur uur

ur uur uuur uuur

1

(1;1;3 ) (2 ; 2 ;0) ( 1; 2 1; 3)

3

1 4 2 0

t

Ta c

+

-ì =-ï

uuur

uuur ur uuur ur uuur uur uuur uur

0.25

(1;1;0)

6 3 ( ; ;0)

11 2

5 5 ( ; ;0)

5 5

M

MN N

-ï

ïïî

uuur

0.25

Đường vuông góc chung MN có phương trình:

6 1 5 3 1 5 0

z

ìïï = + ïï

ïï

ïï = -íï ïï

ï = ïï ïïî

0.25

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2; AD=2 2 và

SA =2 vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD

và SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông

góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

j

H I

S

A

D M

N

·

0 0

1 ( )

2

90 90

ABM BCA c g c do

ABM BCA

ABM BAC BCA BAC

V : V

0.5

Gọi H là trung điểm của AC Ta có HN là đường trung bình của VSAC

2

SA

1

Tính tích phân:

8

3

ln 1

x

x

=

+

ò

Đặt

8 8 3 3

ln

1

1 (2 1ln ) 2 6 ln 8 4ln 3 2

du x dx

dv

x

x

x

+

-0.5

Tính

8 3

1

x

x

+

2

3

3 2 2

(2 ) (2 ln ) 2 ln 3 ln 2

20ln 2 6ln 3 4

t

I

2

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3 2 n

x x

çè ø biết rằng: n

+

Î ¢ thỏa mãn : C n6+3C n7+3C n8+C n9=2C n8+2

Đk nÎ ¢+,n³ 9

2

2 2

n

+

0,25

Khi đó

2

Số hạng không chứa x tương ứng với: 30 5 0 6

6

k

k

0,25

Só hạng không chứa x phải tìm là: C126 26 = 320320 0,25

3 Cho các số thực x,y dương thay đổi thỏa mãn: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

(1 )(1 ) (1 )(1 )

D ô

2 2

B Tc si

x y

x y

³

2

x y

Û = =

2

P= + Û x= =y

0.5

0.25

0.25

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III

Môn: Toán D- Năm học: 2009 – 2010

1 1 m=1 ta có y = x 4 -2x 2 + 2

+ TXĐ: D= ¡

+ xlim®±¥ y= +¥

+ y’=4x 3 – 4x ' 0 0

1

x y

x

é = ê

= Û

ê =±

ë

BBT

1

2

1

+¥

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (- ¥ ;-1) và (0;1)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và ( 1; +¥ )

0.5

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=± 1 giá trị cực tiểu của hàm số là y( 1) 1± =

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0 giá trị cực đại của hàm số là y(0)=2 0.25

10

8

6

4

2

-2

-4

0.25

2 Ta có y’ = 4x 3 – 4mx = 4x(x 2 –m)

y’ = 0 x2 0

é = ê

Û ê =ë điều kiện để hàm số có 3 cực trị : y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

Û m > 0.

0.25

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị 2

2

(0; 1)

-ïï

-íï

ïï - - + -ïî

4

2

os

c BAC

ïïî

uuur

0.25

3

2

1

m m

m

+

3

3 3

2

sin 2

1 1

1 2

1

2

R

m m

R

m

m

m

+

+ +

é = ê ê

ê = ê

0.5

2

2

điểm

1

Giải phương trình: sin8 os8 1cos 22 1 os2

x c- x= x- c x

PT

2 2 2

(sin os )(sin os ) cos 2 os2

os2 (1 sin 2 ) os2 ( os2 1)

os2 (1 os 2 ) os2 ( os2 1) os2 ( os 2 os2 ) 0

os2 1

2

c x c x c x c x

c x c x c x

k x

c x

k

c x

p p

é

ê = +

ê

ê

¢

0.25

0.25

0.5

2

Giải hệ phương trình:

0

ì - + = ïïï

ïïî Điều kiện : 4

2

1 0

log log

y y

ï ³ ï ³ïî ïïî

0.25

Với điều kiện trên hệ đã cho tương đương với:

2

ïî

0.25

2 2

4 3

1

4 3

3

x y

y

y

ìï = ï ì

ì = - ï =

Û íï Û íï Û íï ê =

ë ïî

0.25

Tập nghiệm của hệ phương trình là: S={ ( ) (1;1 ; 9;3) } 0.25 Câu

3

1 Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :

x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M Tìm BÎ ( ) àd v CÎ ( ')d sao cho A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC

M(3;1):

( ) ( ; 2) ( ') ( '; 4 ')

BÎ d Þ B t t- CÎ d Þ C t - t

A là tâm đường tròn ngoại tiếp

6 ' 2

t

ï = ï =ïî ïî

B(6;4) và C(2;2)

0.25

0.5

0.25 2

Trong không gian cho hai đường thẳng :

2

1

2 1

x

ì

a Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau

b Lập phương trình đoạn vuông góc chung giữa d1 và d2

1 2

1 2

1 2

(1;1;3) (2;0;0) ó: d

(0;0;1) (1; 2;0) , ( 2;1;0)

(1; 1;3)

& éo

u u

u u AB AB

d d ch nhau

ì é ù

-ï ê ú

ïï

-ïî

Þ

ur uur

ur uur uuur uuur

1

(1;1;3 ) (2 ; 2 ;0) ( 1; 2 1; 3)

3

1 4 2 0

t

Ta c

+

-ì =-ï

uuur

uuur ur uuur ur uuur uur uuur uur

0.25

(1;1;0)

6 3 ( ; ;0)

11 2

5 5 ( ; ;0)

5 5

M

MN N

-ï

ïïî

uuur

0.25

Đường vuông góc chung MN có phương trình:

6 1 5 3 1 5 0

z

ìïï = + ïï

ïï

ïï = -íï ïï

ï = ïï ïïî

0.25

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2; AD=2 2 và

SA =2 vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD

và SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông

góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

j

H I

S

A

D M

N

·

0 0

1 ( )

2

90 90

ABM BCA c g c do

ABM BCA

ABM BAC BCA BAC

V : V

0.5

Gọi H là trung điểm của AC Ta có HN là đường trung bình của VSAC

2

SA

1

Tính tích phân:

2

ln ln(ln )

e

e

x

+

=ò

Đặt

2

ln

1 2

dx

x

x e t

ì = Þ =

ïï

íï = Þ =

ïî

0.25

2 2 2 2

2

3

t

I =ò t+ t dt=òtdt+ò tdt= + = +I I 0.25

Tính I1:

Đặt

2

1

ln

( ln ) 2ln 2 2ln 2 1

dt

t

dv dt v t

ìï

ïî ï =ïî

-Vậy 2ln 2 1 1 2ln 2

I= +3 - = +

0.25

2 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1+x)n có tỉ số hai hệ số liên

tiếp bằng 7

15

Ta có (1 )n n k k

n

k o

x C x

=

Hệ số của hai số hạng liên tiếp là: 1

& (0 1, )

C C + £ £ -k n kÎ ¢

0,5

Theo yêu cầu của bài toán:

1 1

7 7

1 15 15

k n k n k n k n

n k C

k C

+ +

ê Phân số 7

15 tối giản, nên n nhỏ nhất thì:

éìïï + = éìïï =

êïïî - = êïïî =

êìï - = êìï =

Vậy n = 21 thỏa mãn yêu cầu bài toán

0,5

3 Cho các số thực x,y dương thay đổi thỏa mãn: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

(1 )(1 ) (1 )(1 )

D ô

2 2

B Tc si

x y

x y

³

2

x y

Û = =

2

P= + Û x= =y

0.5

0.25

0.25