Luyện thi Olympic TTT2

Đờng tròn tâm I tiếp xúc với BC và tiếp xúc với DC tại G.. Câu7: Cho đờng tròn O,R và một điểm A cách O một khoảng 2R.. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn B; C là các tiếp điểm.. Câ

đề giao lu toán tuổi thơ 2009

Đề số 1

Câu1:Cho ba số tự nhiên a;b;c thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) a-b là một số nguyên tố

b) 3c2 = c(a+b)+2ab

Chứng minh rằng 8c+1 là một số chính phơng

Câu2: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:

a)2009 4 4 2 2009 2 2009

2008

x +x x + +x =

b) 22 22 3 2 0







Câu3: Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn:

4 2 4



 + − =



Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=5x-6y+7z

Câu4: a) Cho hình vuông ABCD cạnh a, E là trung điểm cạnh AB, điểm F nằm trên

cạnh BC sao cho FB>FC G là giao điểm của EF với DC Đờng tròn tâm I tiếp xúc với

BC và tiếp xúc với DC tại G Tiếp tuyến thứ hai của (I) kẻ từ F cắt DC tại K

Chứng minh rằng: Tứ giác AEGK là hình bình hành

b) Khi hình vuông trên có a=12 và trong nó chứa 2009 điểm đợc tô màu Chứng minh rằng: Luôn tồn tại một tam giác đều có cạnh 11 chứa ít nhất 503 điểm trong

2009 điểm đợc tô màu đã cho

Câu5: Cho a,b,c là các số thực không âm, trong đó không có hai số nào đồng thời

bằng 0 Chứng minh rằng:

2 1 2 2 1 2 2 1 2 9 2

a ab b +b bc c +c ca a ≥ a b c

-Hết -đáp án giao lu toán tuổi thơ 2009

Đề số 1

điểm Câu 1

Xét 3c

2=c(a+b)+ab<=>4c2=(a+c)(b+c) (*)

Ta thấy (a+c)-(b+c) = a-b = p là số nguyên tố Nên ta suy ra a-b∈Ư(a+c,b+c) hoặc (a+c;b+c)=1

+) Nếu a-b∈Ư(a+c,b+c) => a c (a b k) pk

b c ph



 + =

=>pk – ph = a-b = p => k-h = 1 => k=h+1 Khi đó (*) trở thành 4c2 = p2kh = p2h(h+1) => h(h+1) là số chính phơng => h = 0 => b+c=0 (vô lý)

+) Nếu ( a+c; b+c) = 1 thì từ (*) ta suy ra(2c)2= (a+c)(b+c) => a c h22

b c k

 + =



 + =

 =>a-b = p = h

2-k2 = (h-k)(h+k)

Do h-k<h+k mà a-b = p là số nguyên tố nên suy ra

1

h k

h k a b

− =



 + = −

 =>

(2c)2 = (a+c)(b+c)= h2k2=k2(k+1)2=[ ]2

( 1)

k k+

Mà c>0 nên 2c = k(k+1) => 8c+1 = 4k(k+1) +1 = (2k+1)2

Do (2k+1)2 là số chính phơng nên 8c+1 là số chính phơng Vậy 8c+1 là số chính phơng

Đặt 2009 = a => 2008 = a- 1 Ta có

2009

a a

−

0

0

(a x2 a x)( 4 a x2 a) 0 x4 a x2 a 0

2

0

(x2 x2 a x)( 2 x2 a 1) 0

2 2 1 0 4 2 2 1 2 2009

4 2 2008 0

2

2

1 8003

2008 0

2

− +

Vậy nghiệm của phơng trình là 8003 1

2

Phần b:

+ Nếu x = 0; y = 0 => Hệ có nghiệm (x;y) =(0;0) + Nếu x ≠ 0 NHân hai vế của (2) với x rồi trừ cho (1) theo

3

2

x

x

+

( Vì x ≠ 0 => x3 + 2 ≠ 0) Thay vào (1) ta đợc

2

2

2

3

1

3

x

x

= −







*Nếu x = -1 => y =1 => Hpt có nghiệm (x,y)=(-1;1)

*Nếu 32 36

x= − => =y

=> Hpt có nghiệm ( , ) 32 6;3

3 9

Vậy hpt có nghiệm (x,y) = (0;0); (-1;1); 32 6;3

3 9

−

 = −





Do x,y,z ≥ 0 =>

10

6

7

x

x x

 ≤



 ≤



=> A = 5x - 6y + 7z = 5 6 10 7 2 9 1 3

x−  −x+ − x+ = x+

Do x ≥ 0 => A≥37 Dấu = xảy ra“ ” <=>

0 10 7 9

x y z

=



 =





=



Lại có ( * ) 6

7

x< => 1 3 1 6 3. 6

2x 7 2 7 7 7

Dấu = đạt đ“ ” ợc khi

6 7 4 7 0

x

y z

 =





 =





=





.

Vậy Min A = 3

7

Max A = 6, 6; 4; 0

Câu 4

Phần a:

Ta thấy CG = GI ; BE = OE = 1

2AB Mà CG//AB Nên theo

hệ quả của định lý Talét ta có CG GF GI GF

Xét ∆IFG và ∆ OFE có

OEF FGI OE GI





:

 O,F,I thẳng hàng

 Kẻ OH ⊥ BC ; OQ ⊥ CD => OH = OQ = 1

2BC

Gọi I’ là tiếp điểm của (I) với FK Kẻ OH’ ⊥ FK ta có

∆OHF = ∆ OH’F => HOFã =H OFã ' (1) và OH’ = OQ =>

∆ H’OK = ∆ QOK =>

Từ (1) và (2) => ã 1ã 0

45 2

FOK = HOQ=

Ta lại có ãIKI' =IKGã (4)

Từ (3) và (4) => OK và IK là hai tia phân giác của hai góc

kề bù => ãIKO= 90 0

∆OKI có OKIã = 90 ; 0 KOIã = 45 0 => ∆ OKI vuông cân tại K

=> KI = KO Theo đề bài ta có IGKã = 90 0

Xét ∆OQK IGK, ∆ có

ã ã

0

0

90

( )

1

/ / 2







◊ AEGK là hình bình hành ( Đpcm) Phần b:

Giả sử hình vuông ABCD có tâm O, cạnh 12 Lấy

M,N,P,Q lần lợt trên AB, AD, DC,CB sao cho AN = DP =

CQ = BM = 6 2 3− Khi đó

OM = ON = OQ = OP = 4 3

Ta đi chứng minh có thể dùng 1 tam giác đều cạnh 11 phủ kín ◊POQC ( hoặc ◊QOMB; ◊MONA; ◊NOPD) Thật vậy:

Do OP =OQ = 4 3 < 11 Trên OM lấy K sao cho PK = 11

2

4 3

cho PH = 11 => ∆ KPH đều cạnh 11 Giả sử KH x BC ≡ I =>

3 3 5 2 3 5 3 6 6 2 3

=> Q nằm giữa I và C => ∆PKH phủ kín hoàn toàn ◊OPCQ Chứng minh tơng tự ta có : Có 4 tam giác đều cạnh 11 phủ kín 4 tứ giác => 4 tứ giác đó phủ kín hình vuông ABCD

=> 4 tam giác đều cạnh 11 phủ kín 2009 điểm bên trong hình vuông theo nguyên lý Đirichlê, có ít nhất một tam giác

đều cạnh 11phủ kín 2009 1 503

4

  điểm đợc tô màu =>

Điều phải chứng minh

Câu 5 áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwars ta có

a b c

a b c

b c a ab bc ca

+ + + + ≥

+ +

Ta cần chứng minh ( )2

9

a b c

ab bc ca a b c

+ +

≥

<=> (a+b+c)3≥ 9(ab + bc +ca) <=>

<=> (a + b + c)6≥ 81(ab + bc +ca)2 = 27(ab + bc +ca)2.3

<=> (a + b + c)6≥ 27 (ab + bc +ca)2(a2 + b2 +c2)

Đặt a2 + b2 +c2 = S

Không mất tính tổng quát giả sử a + b + c = 3 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 27 ≥ S2 (9-2S) (1)

(Vì a2 +b2 +c2) =(a + b + c) – 2(ab + bc + ca) = 9 – 2S

(1) <=> 27 – 9S2 + 2S3 ≥ 0 <=> 27 – S2 (9 –S3) ≥ 0

<=> (S- 3)2.(2S + 3) ≥ 0 ( Luôn đúng) => (1) đợc chứng

minh => Bất đẳng thức đợc chứng minh Dấu “=” xảy ra khi

a = b = c = 1

Nếu học sinh làm cách khác mà ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa

đề giao lu toán tuổi thơ 2009

Đề số 2

A: Điền kết quả thích hợp vào chỗ trống

Câu1: Giá trị của biểu thức ( 3 )2009

4 1

P= x − x+ khi 3 10 6 3( 3 1)

6 2 5 5

=

+ − là

Câu2: Các số x,y,z thoả mãn ( x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 0 thì giá trị biểu thức

P= x +y x +y x +y bằng

Câu3: Giá trị của số 1 5 1 5

    bằng

Câu 4: Cos720 bằng (Ghi kết quả chính xác)

Câu 5 : Phơng trình 3 2 1

3

Câu 6: Đờng thẳng (d) đi qua điểm A (0; 4) và điểm B (0; 6) thì diện tích AOB bằng

Câu7: Cho đờng tròn (O,R) và một điểm A cách O một khoảng 2R Vẽ các tiếp tuyến

AB, AC với đờng tròn (B; C là các tiếp điểm) Số đo của góc ãBAC là

m= − + n=− − thì tổng n3 + m3 bằng

Câu 9: Tam giác MNP đều có cạnh bằng 6, thì bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác

MNP bằng

Câu10: Khi phơng trình 2x(kx – 4) –x2 + 6 = 0 vô nghiệm thì giá trị nhỏ nhất của k bằng

Câu11: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình 2x2 – 3mx -2 = 0 Biểu thức 2 2

1 2

x +x

đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng

Câu12: Cho phơng trình x2 - 6x – 7 = 0 Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình Khi đó giá trị của 5 5

1 2

x +x bằng

Câu13: Một đờng tròn bán kính r nội tiếp tam giác vuông cân và một đờng tròn bán

kính R ngoại tiếp tam giác ấy.Khi đó tỷ số R

r bằng

Câu14: Ba đờng tròn nhỏ bằng nhau tiếp xúc với nhau từng

đôi một và tiếp xúc với các cạnh của tam giác ( hình vẽ) Nếu

mỗi đờng tròn có bán kính là 3 thì chu vi của tam giác

bằng

Câu 15: Nếu α là góc nhọn và sin1 1

x x

α = − thì tgα bằng

Câu16: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m Nếu chiều dài tăng thêm

15m và chiều rộng giảm 15m thì diện tích giảm đi 450m2 Khi đó diện tích thủa ruộng bằng

B: Giải các bài tập sau

Câu17: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng (d) ở ngoài đờng tròn, A là hình chiếu của O

trên d Kẻ cát tuyến ABC và hai tiếp tuyến Bx, Cy cắt d lần lợt tại D và E Chứng minh

AE = AD

Câu18: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy Vẽ các đờng tròn

đờng kính MA và MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai đờng tròn có giá trị nhỏ nhất

Câu19: Có bao nhiêu cặp số nguyên dơng (x, y) thoả mãn phơng trình x2 + y2 = x3

Câu 20: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 1 ; 1

10 − 72 10 6 2 +

Giám thị không giải thích gì thêm

-đáp án giao lu toán tuổi thơ 2009

Đề số 2

4

1

4

−

3

1

2 1

−

7 4

−

Câu17: Ta nhận thấy A và B cùng thuộc

đờng tròn đờng kính OE nên suy ra

OEB OAC= O, A, D, C cùng thuộc đờng

tròn đờng kính OD nên

ODC OAC= => ∆OBE= ∆OCD=>OE OD=

Tam giác OED cân nên đờng cao OA chia

đôi cạnh ED

Câu18: Đặt AM = x BM = y

Ta có x + y = AB ( 0 < x, y < AB) Gọi S

và S’ th tự là diện tích của hình tròn đờng

kính MA và MB

x y

Dấu “=” xảy ra khi x = y Do đó min(S + S’) = 2

8

AB

π khi M là trung điểm của AB

Câu19: Ta có x2 + y2 = x3 <=> y2 = x2(x-1) do đó phơng trình có vô số nghiệm, chẳng hạn lấy x = k2 + 1 với k nguyên bất kỳ thì tồn tại số nguyên y, với y = (1+k2) nguyên k lúc đó cặp số (x,y) này sẽ thoả mãn phơng trình y2 = (1+k2)2.k2

Câu 20: Sử dụng định lý Viét đảo ta lập đợc phơng trình 28t2- 20t + 1 = 0