Dựng hình thoi ABCD hướng quay của tia AB đến AC và AD theo chiều dương lượng giác sao cho góc ÐA BC =2arccot 2.. Hãy tính bán kính của viên bi theo R và h.. Bài 7: 3 điểm Cho hình chóp
Trang 1Đề số 5: Huế 2008- 2009
Bài 1: (3 điểm)
3
m = , tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng ;3
4 4
p p
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 2 nghiệm trên khoảng ;3
4 4
p p
Bài 2: (3 điểm)
Cho điểm A cố định trên đường tròn và điểm C di động trên đường tròn đó Dựng hình thoi ABCD (hướng quay của tia AB đến AC và AD theo chiều dương lượng giác) sao cho góc ÐA BC =2arccot 2.
a) Xác định phép đồng dạng biến điểm C thành điểm B
b) Tìm quỹ tích của các điểm B và D Xác định các quỹ tích đó
Bài 3: (3 điểm)
a) Giải hệ phương trình
2
3
x
x y
ïïï
Bài 4: (2 điểm)
n
a) Chứng tỏ rằng các tử số của các số hạng liên tiếp của u lập thành một cấp số cộng n
b) Hãy biến đổi mỗi số hạng của u n (n ³ 1) thành một hiệu liên quan đến 2 số hạng kế tiếp của nó, từ đó rút gọn
n
u và tính lim u n
Bài 5: (3 điểm)
a) Tính tổng các số chẵn có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4
b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
3
x x x
hạng trong khai triển này là a0 + a1+ a2 + + a n = 4096
Bài 6: (3 điểm)
Cho cốc nước (hình vẽ) phần trên là hình nón đỉnh S, đáy có tâm O
bán kính R, chiều cao SO = h Trong cốc nước đã chứa một lượng nước
có chiều cao a so với đính S Người ta bỏ vào cốc nước một viên bi
hình cầu thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu Hãy tính bán kính của
viên bi theo R và h
Bài 7: (3 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt
bên và mặt đáy bằng j
a) Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và các cạnh bên của
hình chóp
b) Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của
góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB)
cắt hình chóp theo một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai
phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó
O
S I M
Trang 2Đáp án Đề số 6: Huế 2009- 2010
Bài 1 NỘI DUNG ĐIỂM
(3đ)
a)
(1,5) Đặt t cosx sinx 2 cosæçx p4ö÷÷
÷
2 1 sin cos
2
t
3 1
t
t
2
t = - <
3
3
t =
p
x = - p+ æçç - ö÷÷
÷
0,5
0,5
0,5
2
2
1
t
t
t
4 4
p p
t arccos
4 4
p p
2
1
t
t
2 2 2
2 1
1
t
t
-Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trình (2) có hai nghiệm khi và chỉ khi:
0,5
0,5
Trang 3( ; 2 2; )
t - 2 -1 1 2
g'(t) + + +
+ ¥ + ¥
2
g(t) - 2
- ¥ - ¥
0,5 Bài 2 (3đ) a) (1,0)
3
2
nên M
2
2
0,5
0,5
b)
(2,0)
Quỹ tích của C là đường tròn (O), nên: Quỹ tích của B là ảnh của đường tròn (O) qua phép
đồng dạng F
0,25
Tương tự, D là ảnh của C qua 2 phép biến hình liên tiếp: Phép quay tâm A, góc a và phép vị tự
2
F'
2
0,5 0,25
Để xác định quỹ tích của B:
Ta chọn một điểm C trên (O), dựng trung điểm I của AC, dựng hình vuông AIKL, dựng đường
Trang 4tròn tâm I bán kính IL cắt trung trực đoạn AC tại B Dựng hình thoi ABCD Dựng đường tròn
tâm A bán kính AC cắt tia AB tại M
vuông AJRS, dựng đường tròn tâm J bán kính JS cắt trung trực đoạn AO tại P Dựng đường tròn
tâm A bán kính AO cắt tia AP tại O' Qua B kẻ đường thẳng song song với MO' cắt tia AP tại
O"
Quỹ tích của B là đường tròn tâm O", bán kính R" = O"A
0,25 0,25 0,25
Bài 3 (3đ)
a)
2
2
log 3
4 log
x
x
y y
ì
0,5 Đặt: u =log2x ; v =log2y hệ phương trình trở thành:
1
4 4
v v
ìï
(2) Nếu u = thì 0 v = trái với điều kiện Do đó 0 u ¹ 0
2
4
v v
ïïî
0,5
2
÷
b)
ç
3
4
x x
ïï
ï
ï < ç ÷=
ïî
4
27
4
x
x x
ïï
ï > ç ÷=
ïî
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 27; 4
64
0,5 0,5
0,5
Bài 4 (2 đ)
Ta có: éê4(k + 1) 1- ùú- (4k- 1) = 4=éê4(k + 2) 1- ù éú ê- 4(k+ 1) 1- ùú
Do đó:3, 7, 11, , (4k-1) lập thành một cấp số cộng có công sai d = 4
Suy ra:
2 (4é k + 1 - 1)ù=(4k - 1)+ é(4 k + 2 - 1)ùÛ 2 4k + 3 =(4k- 1)+ (4k + 7)
0,5 0,5
Trang 5Suy ra: 2 3 1
u
2
n
0,5 0,5
Bài 5 (3 đ)
a)
(1,5đ)
Các số cần tính tổng có dạng abcd với a b c, , Î {1, 2, 3, 4 ,} d Î {2, 4}
Ta có abcd =103a + 102b+ 10c+ d Þ å abcd =103å a + 102å b+ 10å c+ å d
Có tất cả: 4 4 4 2´ ´ ´ =128 số chẵn gồm 4 chữ số được viết từ {1, 2, 3, 4 , trong đó:}
mỗi chữ số , ,a b c xuất hiện 4 4 2 32´ ´ = lần
mỗi chữ số d xuất hiện 4 4 4´ ´ =64 lần
Do đó: å a =å b=å c =32 1( + 2+ 3+ 4) =320 và å d =64 2( + 4) =384
å
0,25
0,5 0,5 0,25
b)
5
3
0
1 ( )
n k k
x
-=
÷
0
n k
k
=
Suy ra:
12
3
x
æ ö æ ö
Số hạng không chứa x ứng với - 6k + 60=0Û k =10
Vậy số hạng không chứa x có hệ số là: C1210 =66
0,25 0,5
0,25 0,25 0,25
Trang 6Bài 6 (3đ)
Thể tích nước chứa trong cốc là:
2 3 2
h
p
÷
0,5
Khi thả viên bi vào thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu, tức là mặt nước tiếp xúc với mặt cầu
3
C
Thể tích của khối nón chứa nước và quả cầu là:
2 3
R h
h
p p
0,5
1
+
1 1
x
R h
p p
C
4
aR x
=
Suy ra:
=
0,5 0,25 0,25
0,5 0,25 0,25
I
S
Trang 7( )
3 3
Vậy: Để nước trong cốc dâng lên vừa phủ kín viên bi và không tràn ra ngoài thì:
3
3
3
4
4 0
a
ïï
ïïï
-ïï
ïï
ïî
Với điều kiện này, bán kính của viên bi là:
aR x
=
-a)
3
t an 6
a
6
a
tiếp xúc với mặt đáy và mỗi cạnh bên của hình chóp có tâm I cách đều (ABC) và SA, nên I là giao điểm của tia phân giác góc SAO và SO, bán kính
của mặt cầu là: r =IO
+ 2
3 t an
a
j
=
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
Bài 7 (3 đ)
b)
(1,5) Mặt phẳng (P) tạo bởi AB và phấn giác MT của góc j = ·SMO, cắt hình chóp theo thiết diện là
tam giác cân ABN (N là giao điểm của tia phân giác
MI và SC) Gọi H1 và H2 là hình chiếu của S và C xuống MI, ta
có hai tam giác vuông SMH1 và CMH2 đồng dạng, nên:
1 2
1
3 cos
Suy ra tỉ thể tích của hai hình tứ diện được cắt ra bởi thiết diện AMB là:
1
3 cos
SA BN
CA BN
0,5
0,5
0,5
A
B
C
S
O M
I
N H1 H
A
B
C
S
O M
I H K
L
