B.Các ứng dụng khác của đạo hàm I.Chứng minh một biểu thức không phụ thuộc x... Dùng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức... Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh -+ ∞ 1 9 f'x
Trang 1Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM
A.Định lí Lagrăng
Định lý:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại ít nhất một
điểm c thuộc khoảng (a; b) sao cho f(b)− f(a)= f,(c)(b−a)
Ý nghĩa hình học của định lý
Từ đẳng thức
a b
a f b f c f a b c f a f b f
−
−
=
⇒
−
=
)
Ta có
a b
a f b
f
−
)
(
là hệ số góc của đường thẳng AB , f,(c)là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại c Vậy ý nghĩa hình học của định lý là : Nếu hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện của định lý Lagrăng thì trên cung AB của đồ thị hàm số f (x)tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó song song với AB
Hệ quả: Nếu hàm số f (x)liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) và f(a)= f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c thuộc khoảng (a; b) sao cho f,(c)=0
B.Các ứng dụng khác của đạo hàm
I.Chứng minh một biểu thức không phụ thuộc x.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
3
2 ( cos ) 3
2 ( cos
3
2 ( sin ) 3
2 ( sin sin2 x+ 2 π +x + 2 π −x
Bài giải:
3
2 ( cos ) 3
2 ( cos
ta có
0 2 sin 2 sin 2
sin 3 cos 2
2
sin
) 2 3 sin(
) 2 3 sin(
2 sin )
2 3
4 sin(
) 2 3
4 sin(
2
sin
) 3
2 sin(
) 3
2 cos(
2 ) 3
2 sin(
) 3
2 cos(
2 sin cos
2
)
(
,
= +
−
= +
−
=
−
− + +
−
=
− +
+
−
−
=
−
− +
+ +
−
−
=
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
f
π
π π
π π
π π
π π
Do f,(x)=0⇒ f(x) là hằng số
Vậy A không phụ thuộc vào x
3
2 ( sin ) 3
2 ( sin sin2 x+ 2 π +x + 2 π −x
Ta có
0 2 sin 2 sin ) 2 sin(
3 cos
2
2
sin
) 3 sin(
) 3 sin(
2 sin ) 2 3
4 sin(
) 2 3
4 sin(
2
sin
) 3
2 cos(
) 3
2 sin(
2 ) 3
2 cos(
) 3
2 sin(
2 cos sin
2
)
(
,
=
−
=
− +
=
− +
+
−
=
−
− + +
=
−
−
− + +
+
=
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
g
π
π π
π π
π π
π π
Do g,(x)=0⇒ g(x) là hằng số
Vậy B không phụ thuộc vào x
Ví dụ 2:Tìm a sao cho f(x)=cos2x−asin2 x+2cos2 x không phụ thuộc x
Trang 2Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Bài giải:
x x
a x
x
f( )=cos2 − sin2 +2cos2 không phụ thuộc x khi và chỉ khi f ,(x)=0,∀x∈R
5 0
5 ,
0 2 sin
)
5
(
, 0 sin cos 6 cos sin 2 2
sin
2
−
=
⇔
= +
⇔
∈
∀
= +
−
⇔
∈
∀
=
−
−
−
⇔
a a
R x x
a
R x x
x x
x a x
II Dùng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với ∀x>0 ta có x− x <sinx< x
6 3
Bài giải:
Xét hàm số f x x x sinx
6 ) (
3
+
−
Ta có
x x
x
f
x x
x
f
x
x
x
f
∀
≥
−
=
−
=
+
−
=
, 0 cos
1
)
(
sin
)
(
cos 1 2
)
(
,,
''
2
,
Suy ra f ,,(x) đồng biến trên [0;+∞)⇒ f ,(x) ≥ f ,( )0 =0,∀x∈ ⇒ f ,(x) đồng biến trên )
;
0
[ +∞
) ( )
; 0 [ , 0 ) 0 ( )
x
x x x
x x
x x
f
x
6 0
, 0 sin 6
0 , 0 ) 0
(
)
f,(x)= x−sinx đồng biến trên [0;+∞)⇒ f,(x)=x−sinx> f,(0)=0⇒sinx< x,∀x>0.(2)
Từ (1) và (2) suy ra: với ∀x>0 ta có x−x <sinx<x
6 3
Ví dụ 2: Chứng minh
20
7 20 sin 3
1< 0 <
Bài giải:
2
3 20
sin 4 20 sin 3 60
Vậy sin200 là nghiệm của phương trình
2
3 4
3x− x3 =
Xét hàm số f(x)=3x−4x3 trên R có
2
1 0
) ( 12
3 )
, x = − x ⇒ f x = ⇔x=±
f
Bảng biến thiên:
f'(x)
f(x)
2
-1 2
Trang 3Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Do ,sin200
3
1
) 2
1
; 2
1 ( 20
7
20
7 20 sin
; 3
và là các giá trị của biến số x cùng thuộc khoảng đồng biến của hàm số f(x)=3x−4x3
Suy ra
8000
7028 2
3 27
23 ) 20
7 ( ) 20 (sin )
3
1 ( 20
7 20 sin
3
Do BĐT
8000
7028 2
3 27
23
<
20
7 20 sin 3
1< 0 < đúng
Ví dụ 3: Chứng minh 3 24 >3 2+3 4
Bài giải:
Đặt x=3 2+3 4 ⇔ x3 =6+6(3 2+3 4)=6+6x⇔x3 −6x−6=0
Xét hàm số f(x)=x3 −6x−6 trên R
Ta có : f(3 2+3 4)=0
2 2
0 ) ( 6
3
)
, x = x − ⇒ f x = ⇔ x = ⇔ x=±
f
Bảng biến thiên:
2
- 2
f'(x)
f(x)
x
Do 3 2+3 4 và 3 24 đều lớn hơn 2 nên 3 2+3 4 và 3 24 là hai giá trị của biến số x cùng thuộc khoảng đồng biến ( 2;+∞) của hàm số f(x)= x3 −6x−6
Mà f(3 24)=18−63 24 >18−63 27 =0⇒ f(3 24)>0⇒ f(3 24 > f(3 2+3 4)
Suy ra 3 24 >3 2+3 4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu x + y = 1 thì
8
1 4
4 + y ≥
x
Bài giải:
Từ giả thiết x + y = 1 suy ra y = 1 - x⇒ x4 +y4 = x4 +(1−x)4
Xét hàm số f(x)= x4 +(1−x)4
Có f,(x)=4x3 −4(1−x)3 =4[x3 −(1−x)3]
2
1 0
)
(
, x = ⇔ x=
f
Bảng biến thiên:
1 8
+
f ' (x)
f(x)
Trang 4Một số ứng dụng khỏc của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Từ bảng biến thiờn
8
1 ) 2
1 ( )
2
1
=
x
Vớ dụ 5: Cho
2
0< < <π
b
b
b a a b
a
b a
2
2 tan tan cos cos
−
<
−
<
−
Bài giải:
Xột hàm số f(x)=tanxtrờn khoảng (0; )
2
π
2
; 0 ( , 0 cos
sin cos
sin cos 2 ) ( cos
1 )
2
x
x x
x x x
f x x
f
Suy ra
x x
cos
1 )
( = là hàm số đồng biến trờn khoảng )
2
; 0
Trờn [a; b] với a, b thuộc )
2
; 0
hàm số f(x)=tanxliờn tục và cú đạo hàm trờn khoảng (a; b)
Theo định lớ Lagrăng thỡ ∃c∈( b a; )sao cho
a b
c
a b a
b
a b
c a
b
a f b
f
c
cos
tan tan
cos
1 )
( )
(
)
−
−
=
⇔
−
−
=
Do
x x
cos
1 )
2
; 0
b
a b c
a b a
a b b c
1 cos
1 cos
⇒
Vậy
b
a b a b
a
a
b
2
2 tan tan cos
cos
−
<
−
<
−
Vớ dụ 6: Cho n là số nguyờn lẻ n≥3 Chứng minh rằng với mọi a≠0luụn cú:
1 )
! )!
1 (
! 3
! 2 1
)(
!
! 3
!
2
1
(
1 3
2 3
2
<
−
− + +
− +
− +
+ +
+
n
a n
a a
a a n
a a
a
a
n n
n
Bài giải:
Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0
Đặt
)!
1 (
! 2
1
!
! 3
! 2 1
1 2
, 3
2
− + + + +
=
⇒ + + + + +
n
a a
a u
n
a a
a a
u
n n
)!
1 ( )!
2 (
! 4
! 3
! 2 1
! )!
1 (
! 3
!
2
1
1 2
4 3 2 ,
1 3
2
−
−
− + +
− +
− +
−
=
⇒
−
− + +
−
+
−
=
−
−
−
n
a n
a a
a a a
v
n
a n
a a
a
a
v
n n
n n
Khi đó
!
,
!
, ,
n
a v v n
a u
u
n n
−
−
= +
=
)!
1 (
! 4
! 2 1
(
2
1 4
2
>
− + + + +
=
n
a a
a v
u
n
với mọi a và n lẻ n > 2
Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là f(a)
!
)
! ( )
! (
)
,
v u n
a n
a u v n
a v u vu uv
a
f
n n
n
+
−
=
− +
−
−
= +
=
Do
>
<
<
>
⇒
≠
>
+
0 0
) (
0 0
) ( 0
,
,
a khi a
f
a khi a
f a
v
u
Trang 5Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Ta cã b¶ng biÕn thiªn
) ( , a
f +
-)
(a
f 1
do a kh¸c 0 nªn f(a) <1 ( ®iÒu ph¶i chøng minh)
III.Dùng đạo hàm để xét phương trình và bất phương trình.
Ví dụ 1: Cho m > 0 và ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện:
0
1
+
+
c m
b m
a
Chứng minh rằng phương trình ax2 +bx+c=0có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
Bài giải:
Xét hàm số
m
cx m
bx m
ax x f
m m
m
+ +
+ +
1 2
) (
1 2
ta có f(x) là hàm số xác định trên R và có đạo hàm )
( )
f = m+ + m + m− = m− + +
Ta thấy hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện của định lí Lagrăng trên đoạn [0; 1]
Suy ra tồn tại x0∈(0;1) sao cho
0 ) (
) (
1 2
) 0 1 )(
( )
0
(
)
1
(
0
2
0
1
0
0
2 0
1 0 0
,
= + +
⇔
+ +
= + +
+ +
⇔
−
=
−
−
−
c bx ax
x
c bx ax x
m
c m
b m
a x
f f
f
m
m
0
1 0
0∈ ⇒x − ≠ ⇒ax +bx +c=
Vậy phương trình ax2 +bx+c=0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên chẵn và a > 3 thì phương trình
0 )
2 ( 3
)
1
(n+ x n+ 2 − n+ x n+ 1 +a n+ 2 = vô nghiệm
Bài giải:
Xét hàm số f(x)=(n+1)x n+2 −3(n+2)x n+1+a n+2 Có
=
=
⇔
=
⇒
− +
+
= + +
− +
+
3
0 0
)
(
) 3 ( ) 1 )(
2 ( ) 1 )(
2 ( 3 )
1 )(
2
(
)
(
,
1 ,
x
x x
f
x x n n x n n x
n n
x
Do n chẵn nên x n ≥0 Ta có bảng biến thiên
f(3)
0
3 +
0
f'(x)
f(x)
x
Từ bảng biến thiên suy ra min ( )= (3)= n+2 −3n+2 >0
Như vậy đồ thị hàm số f(x) không cắt trục hoành nên phương trình f(x) = 0 vô nghiệm
Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:x+3=m x2 +1
Bài giải:
Trang 6Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
x
x x
m
+
+
⇔ +
= +
1
3 1
3
2
2
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
m x
x x f
+
+
=
2
3 )
m
Xét hàm số
1
3 )
(
2 +
+
=
x
x x
3
1 0
) ( , ) 1 (
1 3
)
3 2
+
+
−
x
x
x
f
1
3 lim
) (
lim
2 =− +
+
=
−∞
→
−∞
x x
f
x
1
3 lim
) ( lim
+
+
= +∞
→ +∞
x x
f
x x
Bảng biến thiên:
10
1 -1
+ ∞
- ∞
-f'(x)
f(x)
x
1 3
Từ bảng biến thiên ta có:
Nếu m < - 1 hoặc m > 10 phương trình vô nghiệm
Nếu -1 < m 1≤ hoặc m = 10 phương trình có 1 nghiệm
Nếu 1 < m < 10 phương trình có 2 nghiệm
Ví dụ 4: Tìm a để phương trình x3 −x2 +18ax−2a=0 có 3 nghiệm dương phân biệt
Bài giải:
Phương trình x3 −x2 +18ax−2a=0⇔ x3 −x2 =2a(1−9x)
Nhận thấy
9
1
=
x không phải là nghiệm của phương trình đã cho
x
x x x
a x
−
−
⇔
−
=
−
) 9 1 ( 2 ) 1 9 (
2 3
Phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số
) 9 1 ( 2 ) (
2 3
x
x x x f
−
−
=
Và đường thẳng y = a cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ dương
Xét hàm số f(x) xác định trên tập D = R \
9
1
và có
=
=
⇔
=
−
−
−
=
3 1
0 0
) ( , ) 9 1
(
) 1 3
(
)
2
2 ,
x
x x
f x
x x
x
f
Bảng biến thiên:
Trang 7Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
-+ ∞
1 9
f'(x)
f(x)
3
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy nếu đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) thì không có quá hai điểm có hoành độ dương
Vậy không có giá trị nào của a để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình x+3+ 6−x− (3+x)(6−x) =m có nghiệm
Bài giải:
Đặt t = x+3+ 6−x với x∈[−3;6]
Ta có
2
3 6
3
3 6
0 ,
) 6 )(
3 ( 2
3
≤
≤
−
+
=
−
⇔
=
− +
+
−
−
x
x x
t x x
x x
t
Bảng biến thiên:
t'
2
Từ bảng biến thiên của hàm số t suy ra t∈[3;3 2]
Khi đó
2
9 )
6 )(
3
(
2 −
=
−
2
9 2
2
2
m t
t m
t
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y =
m và đồ thị hàm số
2
9 2
) (
2
+ +
−
t
Xét hàm số
2
9 2
) (t =−t2 +t+
f với t∈[3;3 2] có f,(t)=−t+1
Bảng biến thiên :
Trang 8Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
3 2-9 2
3 2 t
3
-f'(t)
f(t)
Từ bảng biến thiên của hàm số f(t) ta có những giá trị cần tìm của tham số m là: ∈ −2;3
9 2 3
m
Ví dụ 6: Biết rằng: 4a + 3b +3c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax2 +bx+c=0có nghiệm trong khoảng (0; 2)
Bài giải:
Xét hàm số f x = ax +bx +cx
2 3 ) (
2 3
ta có f(x) là hàm số liên tục trên R và f,(x)=ax2 +bx+c
Áp dụng định lí Lagrăng
Ta có trên đoạn [0; 2] luôn tồn tại x0∈(0;2) sao cho
0
0 ) 3 3 4 ( 3
1 3
4 2
2 2
4 3 8 0
2
) 0 ( ) 2
(
)
(
0
2
0
0
,
= + +
⇒
= + +
= + +
=
+
+
=
−
−
=
c bx
ax
c b a c
b a c b a f
f
x
f
Điều đó chứng tỏ phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2)
Ví dụ 7: Cho a, b , c là ba số thực đôi một khác nhau Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài giải:
Xét hàm số f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)
Là hàm số xác định và có đạo hàm tại mọi x thuộc R
=
)
(
, x
f (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c)
Ta có f(a)= f(b)= f(c)=0
Theo định lý Lagrăng thì tồn tại x1 , x2 sao cho a<x1 <b<x2 <c sao cho ( ) ,( 2) 0
1 , x = f x =
f
Điều đó có nghĩa là phương trình f,(x)=(x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 có ít nhất hai nghiệm
Mặt khác phương trình f,(x)=(x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình mx− x−3≤m+1có nghiệm
Bài giải:
Tập xác định của bất phương trình là [3;+∞)
Đặt t = x−3⇒t∈[0;+∞)
Bất phương trình đã cho trở thành
2
1 2
) 2
+
+
≤
⇔ +
≤ +
t
t m t
t
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm ⇔bất phương trình (1) có nghiệm t ≥0
Trang 9Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Điều đó tương đương với có phần đồ thị hàm số
2
1 )
+
+
=
t
t t
f ứng với t≥0không nằm dưới đường thẳng y = m
Xét hàm số
2
1 )
+
+
=
t
t t
3 1 0
3 1
3 1 0
0 2 2 0
) ( )
2 (
2 2 )
(
2 ,
2 2
2
≥
+
−
=
−
−
=
⇔
≥
= +
−
−
⇔
=
⇒ +
+
−
−
t t
t t
t t t
f t
t t
t
f
Bảng biến thiên:
- ∞
3+1 4
-1+ 3
+ ∞
_-0 f'(t)
f(t)
t
Từ bảng biến thiên suy ra những giá trị cần tìm của m là
4
1
3+
≤
m
Ví dụ 9: Tìm m sao cho hệ bất phương trình
<
+ +
<
− +
0 1 3
0 1 2 3 3
2
mx x
x x
Có nghiệm
Bài giải:
Với mọi m thì x = 0 không phải là nghiệm của hệ đã cho nên
+
−
<
<
<
+
−
>
<
<
−
⇔
<
+ +
≠
<
<
−
⇔
<
+
+
<
−
+
x
x m x x
x m x
mx x
x
x
mx
x
x
x
3 1 3
1 0
3 1
0 1
0 1 3 0 3
1 1
0 1
3
0 1
2
3
3
3
3 3
2
Xét hàm số
x
x x f
3
1 )
(
3 +
−
2
3 ,
2
1 0
) ( 3
2 1 )
x
x x
f
Bảng biến thiên:
1 3
2
+
-28 27
1 3 -1
- ∞
+ ∞
+
0
0 f'(x)
f(x)
x
Trang 10Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Từ bảng biến thiên suy ra hệ (1) có nghiệm khi m > 0 , hệ (2) có nghiệm khi
27
28
−
<
m
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ít nhất một trong hai hệ (1) hoặc (2) có nghiệm
Khi và chỉ khi m > 0 hoặc m <
27
28
−
Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi a khác 0 hệ phương trình
+
=
+
=
x
a x y
y
a y x
2 2
2 2
2 2
Có nghiệm duy nhất
Bài giải:
Do x và y đều khác 0 nên
=
−
>
=
⇔
>
>
= + + +
−
+
=
⇔
>
>
+
=
+
=
⇔
+
=
+
=
) 2 ( 2
) 1 ( 0 0
0
0 ) 2
2 )(
( 2
0 0 2 2
2
2
2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
a x x
y x
y x
y x y x y x
a y y x
y x
a x x y
a y y x
x
a
x
y
y
a
y
x
Ta nhận thấy số nghiệm của hệ phương trình đã cho chính là số nghiệm dương của phương trình (2) Xét hàm số f(x)=2x3 −x2 trên khoảng (0;+∞)có
3
1 0
) ( 2
6 )
, x = x − x⇒ f x = ⇔ x=
f
+∞
=
=
+∞
→
xlim 0; lim
0
Bảng biên thiên:
+ ∞
+ ∞
+
_-1 3 0 0
0 f'(x)
f(x)
x
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đường thẳng y = a2 chỉ cắt đồ thị hàm số f(x)=2x3 −x2 tại một điểm
có hoành độ dương duy nhất với mọi a nên phương trình (2) chỉ có một nghiệm dương với mọi a suy ra
hệ đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a
C.Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho n > 1 và 0 < a < b Chứng minh:
na n− 1(b−a)<b n −a n <nb n− 1(b−a)
Bài 2: Với a + b ≥0 và n nguyên dương Chứng minh
2
) 2 (
n n
b
Bài 3: Chứng minh rằng:
9
3 2 ) 1 ( −x2 ≤
x với ∀x∈(0;1) Áp dụng để chứng minh: Nếu a, b, c dương và
1 2
2
2 +b +c =
2
3 3 2 2 2 2 2
+
+ +
+
c a
c
b c
b a
Trang 11
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Bài 4: Cho n nguyên dương Chứng minh rằng:
ne x
x n
2
1 1
− < với mọi x∈(0;1)
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có:
a sinx
! 5
! 3
5
3 x x
x− +
b
! 4
! 2 1 cos
4
2 x x
x< − +
Bài 6: Chứng minh rằng nếu
4
0< x<π
) sin (cos sin
cos
x x x
Bài 7: Chứng minh rằng ∈ 5
3
; 5
π π
3
2 4 sin 4
1 3 sin 3
1 2 sin 2
1
Bài 8: Chứng minh với a, b > 0 và a + b = 1 thì
2
25 )
1 ( )
1
b
b a a
Bài 9: Chứng minh:
a
6
1
10
tan 0 > , b
5
7 55 tan 0 >
c 3 43<3 9+3 3<3 44 , d 5tan60 >6tan50
Bài 10: Cho
2
0<α <β <π
Chứng minh rằng αsinα −βsinβ >2(cosβ −cosα)
Bài 11: Với n là số nguyên dương cho trước, hãy biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2 2 2
2
2 2 2
2
= + + +
+ +
+ +
a
x n
x n
Bài 12: Giải phương trình: x+1+ 2x+3+ 3x+7 =9
Bài 13: Xác định m sao cho phương trình
2
1 1
Bài 14: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x+m=m x2 +1
Bài 15: Chứng minh phương trình (x+a)3 +(x−b)3−x3 =0 không thể có 3 nghiệm phân biệt với mọi
a, b thuộc R
Bài 16: Tìm a để phương trình 2x2 −3x−2 =5a−8x−2x2 có nghiệm duy nhất.
Bài 17: Tìm a để phương trình −2x2 +10x−8 =x2 −5x+a
có 4 nghiệm phân biệt
Bài 18: Chứng minh phương trình x5 +2x3−x2 +x−1=0chỉ có một nghiệm duy nhất
Bài 19: Chứng minh rằng phương trình : 6 1 1 0
2
2
3 − x− x −x+ + =
Bài 20: Chứng minh hệ phương trình:
=
−
= +
−
4 3
4 2
2 2
xy y
m y xy x
Có nghiệm với mọi m
