Bài toán hay về phương pháp tính potx

Thử trực tiếp thấy chỉ cần lấy n= 8.. Tính trực tiếp từng số hạng của tổng cùng sai số tính toán do quy tròn số.. Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình: Đặt f x= x-sinx-0.25... Ta c

Bài 4.b/

Công thức tính sai số phương pháp:

|Rn(x)| = | f(n+1)(c).(x-x0)n+1)/(n+1)! | với x0≤ c ≤x

Ta có e = f(1) với f(x) = ex Nếu dùng công thức xấp xỉ:

e ~ 1+x/1! +x2/2! + +xn/n!, với x=1 và x0=0 thì sai số mắc phải là:

∆e1 = |Rn(1)| = | ec/(n+1)! | với 0≤ c ≤1

Do đó |Rn(1)| < 3/(n+1)! Để đạt độ chính xác với 4 chữ số lẻ thập phân đáng tin

∆e1 ≤ 0.5.10-4 Vậy chỉ cần xác định n sao cho: 3/(n+1)! < 0.5.10-4

Thử trực tiếp thấy chỉ cần lấy n= 8 Khi đó ∆e1 = 8.10-6

Tính trực tiếp từng số hạng của tổng cùng sai số tính toán do quy tròn số Có:

=> ∆e2 = Θ1+Θ2+Θ3+Θ4+Θ5+Θ6+Θ7+Θ8= 19.10-6

=> ∆e = ∆e1+∆e2 = 19.10-6+8.10-6 = 2.7.10-5

=> e ~ 1+1+0.5+0.16667+0.04167+0.00833+0.00139+0.00020+0.00002 =

= 2.71828

Có thể viết: e = 2.71828 ± 2.7.10-5, làm tròn tiếp đến 4 chữ số lẻ thập phân:

e = 2.7183 ± (2.10-5+2.7.10-5) = 2.7183 ± 0.47.10-4 Kết quả này có sai số tổng hợp = 0.47.10-4 < 0.5.10-4 nên thỏa mãn bốn chữ số

lẻ thập phân là đáng tin

Bài 5:

1 Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:

Đặt f (x)= x-sinx-0.25

Có f’(x)=1-cosx, mà -1≤ cosx≤ 1 hay 0≤ 1-cosx≤ 2,

=> 0<=f’(x)<=2

Hàm cosx là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên ta lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn: [-π; π] như sau:

x -π 0 +π

f’(x) 2 + 0 + 2

f (x)

-0.25 π-0.25

-π-0.25 -0.25

Có f (π/4) = π/4-√2/2-0.25 ~ -0.1717< 0

f (π/2)= π/2-1-0.25 ~ 0.3208 > 0

=> f (π/4).f (π/2)< 0

Vậy một khoảng phân ly nghiệm của phương trình là: [π/4;π/2]

2 Chọn hàm lặp:

Từ phương trình đầu => x= sinx+0.25

Chọn φ(x)= sinx+ 0.25 thì x= φ(x) và φ’(x)= cosx

Trong đoạn [π/4;π/2] có 0≤ φ’(x)≤ √2/2 = q<1, nên phương pháp lặp hội tụ

Do φ’(x)≥0 nên ta chọn giá trị khởi đầu x0 = π/4.

xn = φ(xn-1 ) = sin(xn-1 )+ 0.25

Công thức tính sai số: |x-xn| ≤ q/(1-q) |xn-xn-1| = 1/(√2-1) |xn-xn-1|

Quá trình tính cho ta kết quả với hai chữ số lẻ thập phân đáng tin là:

Quy tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết:

x-1.17 = x- x7+ x7- 1.17

|x-1.17| ≤ |x-x7| + |x7 -1.17| = 0.004253599 + 0.000101535

|x-1.17| ≤ 0.004355134

Có thể viết: |x-1.17| ≤ 0.4.10-2 < 0.5.10-2

=> cả 2 chữ số lẻ thập phân trong kết quả này là đáng tin

Vậy có: x = 1.17 ± 0.004

Bài 6:

1 Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:

Đặt f (x)= 1.8x2 – sin10x

Có f’(x)= 3.6x – 10cos10x

f’’(x)= 3.6x + 10sin10x

Hàm số y = sin10x nghịch biến trong khoảng này và ta có:

f (π/20)= 1.8π2/400 -1 ~ -0.955< 0,

f (π/10)= 1.8π2/100 ~ 0.178> 0,

Hay f (π/20).f (π/10) < 0

Vậy [π/20; π/10] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình

2 Quá trình tính:

Trên đoạn [π/20; π/10] có f’’(x)> 0 do đó để phương pháp hội tụ thì ta chọn

x0 = π/10 vì khi đó f(x0)> 0 cùng dấu với f’’(x) Ta có công thức lặp:

x0 = π/10.

xn = xn-1 - f(xn-1)/f’(xn-1) = xn-1 – (1.8x2

n-1 – sin10xn-1)/( 3.6xn-1 – 10cos10xn-1) Với sai số tuyệt đối không vượt quá 10-5 quá trình tính cho ta kết quả như sau:

Có |x-x3| ≤ 9.363.10-6< 10-5 nên quá trình tính dừng lại

Bài 7:

1 Tìm khoảng phân ly nghiệm:

Đặt f (x)= x3 - x - 1000

Có f’(x)= 3x2 – 1

f’(x) = 0  x = ±1/√3

Bảng biến thiên:

x -∞ -1/√3 1/√3 +∞ f’(x) + 0 - 0 +

f(x)

CĐ +∞

-∞ CT

f(CĐ) = f(-1/√3) = -( 2/3√3 + 1000) < 0

f(CT) = f(1/√3) = 2/3√3 – 1000 < 0

Nhận xét: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số chỉ cắt trục dương Ox tại một điểm trên đoạn [1/√3; +∞]

Xét f(10) = -10 <0,

f(11) = 320 >0 => f(10).f(11) < 0

Do đó [10;11] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình đã cho

2 Chọn hàm lặp:

Từ phương trình đã cho rút ra được: x= 3√(x+1000) = φ(x)

Có φ’(x) = 1/(3.3√(x+1000) 2)

Trên đoạn [10;11] có: 0 < 1/(3.3√10112) ≤ φ’(x) ≤ 1/(3.3√10102) = q <1

Nên phương pháp lặp hội tụ

Do φ’(x) ≥ 0 nên ta chọn giá trị khởi đầu x0 = 10

Tóm lại:

x0 = 10

xn = φ(xn-1 ) = 3√(xn-1+1000)

Công thức tính sai số: |x-xn| ≤ q/(1-q) |xn-xn-1|

Quá trình tính cho ta kết quả với sai số tuyệt đối không vượt quá 10-5 là:

x2= 10.03333284 |x-x2| ≤ 3.65.10-7

Quy tròn đến 5 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết:

x-1.17 = x- x2+ x2- 1.17

|x-1.17| ≤ |x-x2| + |x2 -1.17| = 0.00000284 + 3.65.10-7

|x-1.17| ≤ 3.205.10-6 < 10-5

Vậy x = 10.03333 ± 10-5

Bài 10:

1 Lập bảng các tỉ hiệu:

Vì ta cần tính ln2 mà hàm đã cho có dạng y=ex  x = lny, nếu đổi vai trò của x

và y thì ta có y = lnx, do đó ta đi tìm đa thức nội suy Newton tiến P5(y)

Trước tiên ta lập bảng tỉ hiệu:

0.496376451

Đa thức nội suy Newton tiến thu được là:

P5(y) = 0.65 +

+ (y-1.91554).0.496376451 +

+(y-1.91554).(y-2.11700).(-0.111388642) +

+ (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).0.03017511 +

+ (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(-8.38.10-3) +

+ (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(y-2.85765).2.87.10-3 Thay y=2 vào ta tính được:

ln2 ~ P5(2) = 0.693147268

Làm tròn đến 6 chữ số thập phân ta được ln2 ~ 0.693147

Bài 11:

1 Công thức hình thang:

a Tính IT:

Có h= (b-a)/n = (1-0)/10 =0.1.

Do đó có bảng:

=> IT = 0.1((1+1/2)/2 +1/1.1+1/1.2+1/1.3+ +1/1.9) = 0.693771403

b Tính | I- IT |:

Có f’’(x)= 2/(1+x)3,

=> M= max[0;1] |f’’(x)| = max[0;1](2/(1+x)3) = f’’(0) = 2

Vậy ta có sai số là:

| I- IT | ≤ M.h2(b-a)/12 = 2.0.12.(1-0)/12 = 1.67.10-3

Nếu làm tròn IT = 0.69377 thì sai số mắc phải là:

| I- IT | ≤ 0.0000071403+1.67.10-3 < 1.68.10-3

Vậy có thể viết I = 0.69377 ± 1.68.10-3

2 Công thức Simson:

a Tính IS:

h= (b-a)/(2.n) = (1-0)/20 =0.05

Do đó có bảng:

Có h

=> IS = 0.05.[(1+1/2) +4.(1/1.05+1/1.15+ +1/1.95) + 2.(1.1+1.2+ +1.9)]/3 =

= 0.693147374

b Tính | I- IS |:

Có f(4)(x)= 24/(1+x)5,

=> M= max[0;1] |f’’(x)| = max[0;1](24/(1+x)5) = f’’(0) = 24

Vậy ta có sai số là:

| I- IT | ≤ M.h4(b-a)/180 = 24.0.054.(1-0)/180 = 8.3.10-7

Nếu làm tròn IS = 0.69315 thì sai số mắc phải là:

| I- IT | ≤ 0.00005-0.000047374+8.3.10-7 < 3.5.10-6

Vậy có thể viết I = 0.69315 ± 3.5.10-6

*Chú ý *

Ở đây tính hoàn toàn bằng máy tính, không làm tròn mỗi kết quả đơn lẻ (như

1/1.05 chẳng hạn) do đó sai số tính toán của kết quả tính được là nhỏ hơn rất

nhiều so với đáp án trong sách Giáo khoa