ly thuyet co ban 12

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1... Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất thường là sử dụng công cụ đạo hàm * Ta thườ

chuyên đề lý thuyết ch ơng trình lớp 12I/ Công thức l ợng giác:

1, Bảng g/trị lợng giác của các góc đặc biệt :

(Π/6) 45

0 (Π /4)

60 0 (Π/3) 90

0 (Π/2) 120

0 (2Π/3) 135

0 (3Π/4) 150

0 (5Π/6) 180

0 ( Π ) Sin α

0

2

2 2

1 2

Góc: α và Π + α

sin(Π+α) = - sin αcos(Π+α) = - cos αtan(Π+α) = tan αcot(Π+α) = cot α

cos(a ± b) = cosa.cosb m sina.sinb

sin(a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb

tan(a ± b) = 1 tan tantanm a±atanb b

Công thức nhân đôi:

sin2a = 2 sina.cosacos2a = cos2a- sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a

2

cos a sin a = −

tana ± tanb = cos cos sin( a a b ± ) b

cota ± cotb = sin sin sin( a a b ± b )

Chú ý: một số ct hay dung trong biến

đổi

1+ sin2x = ( sinx + cosx) 2 1- sin2x = ( sinx - cosx) 2 1- cos2x = 2sin 2 x

1+ cos2x = 2cos 2 x tanx + cotx = 2

Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) cú chứa tham số m Định

Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) cú chứa tham số m Định

m để đồ thị hàm số cú cực trị?

Phương phỏp:

TXĐ: D

Ta cú: y’ = ax 2 + bx + c

Đồ thị hàm số cú cực trị khi phương trỡnh y’ = 0

cú 2 nghiệm phõn biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm đú ⇔ 0

Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) cú chứa tham số m

Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luụn luụn cú cực trị?

Phương phỏp:

TXĐ: D

Ta cú: y’ = ax 2 + bx + c Xột phương trỡnh y’ = 0, ta cú:

∆=….>0, ∀ m Vậy với mọi m đồ thị hàm số đó cho luụn luụn cú cực trị.

Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) cú chứa tham số m

Định m để đồ thị hàm số khụng cú cực trị?

Phương phỏp:

Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) cú chứa tham số m Định

m để đồ thị hàm số đi qua điểm cực trị M(x 0 ;y 0 )?

+ y 0 và f’(x 0 ) Suy ra PTTT.

2/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(x0 ;y 0 ):

- gsử đờng thẳng qua M có hệ số góc là k có dạng: y=k(x-x 0 ) +y 0

- đt trên là tiếp tuyến khi hệ sau có nghiệm

phương trỡnh tiếp tuyến (d) của (C)

a/ song song với đường thẳng y = ax + b.

b/ vuụng gúc với đường thẳng y = ax + b.

Tớnh y 0 tương ứng với mỗi x 0 tỡm được.

Suy ra tiếp tuyến cần tỡm (d):

Tớnh y 0 tương ứng với mỗi x 0 tỡm được.

Suy ra tiếp tuyến cần tỡm (d):

y – y 0 = 1

a

− ( x – x 0 ) Chỳ ý: + Đường phõn giỏc của gúc phần tư thứ

Giải phương trình f’(x) = 0, ta được các điểm cực trị: x 1 ,

Phương pháp chung ta thường lập BBT

Dạng 13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m là tham

số.Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên đi qua với

mọi giá trị của m.

Phương pháp:

Ta cĩ: y = f(m,x)

Am + B = 0, ∀ m(1)

Hoặc Am 2 + Bm + C = 0, ∀ m (2)

Đồ thị hàm số (1) luơn luơn đi qua điểm M(x;y) khi (x;y)

là nghiệm của hệ phương trình:

A B C

(C 2 ) là đồ thị của hàm số y = g(x) Biện luận số

giao điểm của hai đồ thị (C 1 ), (C 2 ).

Dạng 15: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo

m số nghiệm của phương trình f(x) - g(m) = 0

x y x

+

=

−Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)

Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ Suy ra I(x 0 ;y 0 ) là tâm đối xứng của (C).

Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn Suy ra đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng của (C).

Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai đường cong cĩ

III/ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.

A KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

−

2 Các tính chất :

B KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a ≠1 và N > 0

N a

• log N a α = α.log N a Đặc biệt : log N a 2 =2.log N a

3 Công thức đổi cơ số :

• log N log b.log N a = a b b a

a

log N log N

• Tính đơn điệu: * a > 1 : y log x= a đồng biến trên R+

* 0 < a < 1 : y log x= a nghịch biến trên R+

5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: Với 0 < a ≠1 thì : aM = aN ⇔ M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a ≠1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

C CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M(x) = a N(x) (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau : 16 x 10 x 10+− =0,125.8 x 15 x 5−+

Bài tập rèn luyện:

a, 3

17 7

5

128.25,0

− +

2 1 1

23

0,125

x x

x

− +

x

x x

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2)

0422

Bài tập rèn luyệnï: a, 12.3x +3.15x −5x+ 1 =20 (

3

5log3

=

b, 4x2+x.2x2+1+3.2x2 =x2+2x2 +8x+12

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có

không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong

khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)

4; 3.25x-2+9(3x-10).5x-2+3-x=0 5; x2.3log 2x−xlog 3 2 =xlog 9 2

Bài tập rèn luyện:

D CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log N a = a (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) log (x 6) 3 2) x + = 2 x 1 x 1

2 log (4 + = −4) x log (2 + −3)

3) 21log ( 1) log ( 4) log2(3 )

2 1

2

2 x− + x+ = −x (x=− 11;x=−1+ 14)

log (x +3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + = +

2 Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸

víi (a+b).(a-b) 1 ≠ víi b a.c ≠

3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x 3 log (x 2) 4(x 2)log (x 2) 16+ + + + + =5; log 3x 7+ (9 12x 4x ) log+ + 2 + 2x 3+ (6x 2+23x 21) 4+ = 6; 2

log (5 ) 1 log 7

7 x− −x =0

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

log x 2.log x 2 log x.log x 2 + 7 = + 2 7 Bài tập rèn luyệnï:

)112(log.loglog

9 x= x x+ − (x=1;x=4) log x log x log x.log x 2 + 3 = 2 3

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có

không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong

khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b)

do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)

E CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N (≤ > ≥, , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1

x x x

Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1)2 2x−3.(2 ) 32 0 x 2+ + < 2)2 x+2 3 x− ≤9 3)

F CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na < a (≤ > ≥, , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1) x x

3)(log2

G PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mị vµ LOGARIT cã tham sè

DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số

Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4x−4m.(2x−1)=0 (m<0∨m≥1 )

Bài 2: Cho phương trình: 4x−m.2x+ 1+2m=0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1≠x2 sao cho x1+x2 =3 (m=4)

Bài 3: Tìm m để pt sau có hai nghiệm trái dấu: (m+3).16x+(2m−1)4x+m+1=0 (

4

3

1< <−

− m )

DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số

Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 5.16x +2.81x =m 36 x (m<2 10)

Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình: 1+log5(x2+1)−log5(x2+4x+m)>0

−

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 

Bài 1: Giải các phương trình

1) 1

2

122

12

.6

23x − x − 3(x−1) + x = (x=1)

2) log ( 1) 2 log 4 log (4 3)

8 2

2

4 x+ + = −x+ +x (x=2;x=2−2 6)3) log7x=log3( x+2) (x=49)

22log32log

=

−

−

(x=1,x=2,x=4)8) 2xlog2x+2x−3log8x−5=0 ( , 2

log

2)10(log.2log2

1 6 3 (x<−1∨0<x<1∨x>1)

8

14

x (x>log310)8) log ( 1 3 ) log (13 1)

3 1 2 2

x

x x

(-2 < x <-1)

Bài 3 : Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1

2 1

2

3 2log

2

x x y

u

α α

∫

1ln

1, Ph ơng pháp 1: Biến đổi các biểu thức.

Ví dụ1: tính ∫cos xdx2 dùng ct hạ bậc cos a2 =1+cos a2 2 2 1 2

2

cos a sin a= − ∫tan xdx2 dùng ct 12

cos α = 1+ tan2 α

∫ t×m A,B sao cho 2 sinx−3cosx A sinx= (2 +5cosx)+B cosx(2 −5sinx)

x dx2x 1+

∫ 3)

1 0

x 1 xdx−

∫ 4)

1 2 0

4x 11 dx

++ +

∫ 5)

x +2x 1+

∫ 7)6 6 6

0(sin x cos x)dx

π

∫ 11)

2 6

1 sin 2x cos2xdxsin x cosx

1 dx

e 1+

dx x

π

dx x

π

dx x

x 16)

∫ −

2

05 2sincos

π

dx x

x

18) ∫

++

2

1

x+ −

∫ 5)

∫

2, Ph ơng pháp 2: Đổi biến loại I

Ψdx = a.cost.dt , đổi cận rồi thay vào tích phân ban đầu để tính

1

1dx

−∫ ± + ( hoặc mẫu là bậc 2 vô nghiệm)

3, Ph ơng pháp 3: Đổi biến loại II

Đặt t = U(x) ( U(x) thờng là các biểu thức trong căn, trong luỹ thừa)

Ψ dt = U’.dx

'

dt dx U

1

1dx

∫ đặt t = x2−1

1

x dx x

+

∫ đặt t = 3 x+1

e,

2 5

21

x dx x

++

x

++

f,

2

3 1

1cos x dx

Π

∫ đặt t = tanx

+

0cos sinx x sin x 1dx

tan

1

x dx cosx cos x

Π

2 3

2 4

1 tan(1 t )

x dx anx

Π

Π

++

3 0

dx cosx si x

Π

−+

1

1 x dx e

π

∫ 7)

e 1

1 ln xdxx

+

∫ 8) 4

0

1 dxcosx

tg x dxcos2x

π

dx x x

π

dx x

(

π

dx x

tg 19)∫

+

−2

4 1 sin2

cossin

π

x

x x

20) ∫

+

+2

0 1 3cos

sin2sin

π

dx x x

x 22) ∫2 +

0 sin cos )cos(

π

xdx x

−+

1

lnln3

4, Ph ¬ng ph¸p 4: TÝch ph©n tõng phÇn

b a

f x e dx

b

x a

Π

∫ 3

0(2x 1).ln 2xdx

Π

−

0.ln

Π

∫

3 3 2 0

1 n

x

l xdx x

Π

+

3 0ln( 1)

2 1 1 3

1 3 3 2

3 2

3 3 2 2 1 1

3

3 2

2 1 1

3 3 2 2 1

1

3 3

2 2

1 1

2 3

2 2

2

1

3 2 1

3 3 2 2 1 1

2 2

2

,,

.0

,(

1

b b

a a b b

a a b b

a a

b

b a b a b a b

a

b

b

a b

a b

a b

a b k a

b

b a b a b

a

b

b a

b a

b a

b

a a a

ka ka

ka

b a b a b a

b

a

z z y

y x

x AB

AB

z z y y x x

AB

A B A

B A

B

A B A B A B

ky y k

kx x

1

,1

,1

,2

B A B A B

,3

,3

C B A C B A C B

0,1,0();

0,0,1

N Ox x

M( ,0,0)∈ ; (0, ,0)∈ ; (0,0, )∈

18

Oxz z

x K Oyz z

y N Oxy y

1

a a a AC

Daùng4: Hỡnh chieỏu cuỷa ủieồm M

1 H laứ hỡnh chieỏu cuỷa M treõn mp α

 Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) qua M

vaứ vuoõng goực mpα : ta coự a d =nα

 Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ (α)

2 H laứ hỡnh chieỏu cuỷa M treõn ủửụứng thaỳng (d)

 Vieỏt phửụng trỡnh mpα qua M vaứ vuoõng goực vụựi (d): ta coự nα =a d

 Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ (α)

Daùng 5 : ẹieồm ủoỏi xửựng 1.ẹieồm M ủoỏi xửựng vụựi M qua mp / α

 Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn mpα

(daùng 4.1)

 H laứ trung ủieồm cuỷa MM/

2.ẹieồm M ủoỏi xửựng vụựi M qua ủửụứng thaỳng / d:

 Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn (d) ( daùng

4.2)

H laứ trung ủieồm cuỷa MM/

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

2: Cho ba vectơ →a = ( 2;1 ; 0 ),→b= ( 1; -1; 2) , →c = (2 ; 2; -1 ).

a) Tìm tọa độ của vectơ : →u = 4→a- 2→b + 3→c b) Chứng minh rằng 3 vectơ →a,→b ,→c không đồng phẳng

c) Hãy biểu diển vectơ w→= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ →a,→b,→c .

3: Cho 3 vectơ →a= (1; m; 2),→b = (m+1; 2;1 ) ,→c = (0 ; m-2 ; 2 ) Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng

6: Cho ba điểm không thẳng hàng: A(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).B − C − − Hãy tìm trọng tâm G của tam giác ABC

7: Cho bốn diểm không đồng phẳng : (2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).A − B C − D − − Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

8: Cho điểm M(1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:

a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz

9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:

a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy

10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tìm tọa độ của các đỉnh còn

lại

11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2) Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.

a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M

15 a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1)

17 Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác b) Tính chu vi và diện tích ∆ABC

c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành d) Tính độ dài đờng cao của ∆ABC hạ từ đỉnh A.e) Tính các góc của ∆ABC

18. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A

19 Cho ∆ ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B

20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện Tính thể tích của khối tứ diện ABCD

b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó

c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B

d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD

21 Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).

a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo

c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A

Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

22 Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).

a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD

b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD

c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D

d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D

23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)

a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC b) Tính cosin các góc A,B,C

c) Tính diện tích tam giác ABC

PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG 1.TểM TẮT Lí THUYẾT

Caởp veựctụ chổ phửụng cuỷa mp : α

ar br laứ caởp vtcp cuỷa α ⇔ ar, br cuứng // α

3 Quan heọ giửừa vtpt n r vaứ caởp vtcp ar, br:

nr = [ar, br]

4 Pt mpα qua M(x o ; yo ; zo) coự vtpt n r = (A;B;C)

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta coự nr = (A; B; C)

5.Phửụng trỡnh maởt phaỳng i qua đ A(a,0,0)

B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

ax+by+cz= 1

Chuự yự : Muoỏn vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng caàn:

1 ủieồm vaứ 1 veựctụ phaựp tuyeỏn

6.Phửụng trỡnh caực maởt phaỳng toùa ủoọ

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

8 Vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa hai mp (α1) vaứ (α2)

° αcaộtβ⇔A1:B1:C1 ≠A2:B2:C2

°

2

1 2

1 2

1 2

1

//

D

D C

C B

B A

°

2

1 2

1 2

1 2

1

D

D C

C B

B A

o o o

C B A

D Cz By Ax

+ +

+ + +

= ) d(M, α

10.Goực gi a ữ hai maởt phaỳng :

2 1

2 1

.

.

n n

n n

r r

r r

=

) , cos(α β

//