Vectơ cùng phương, cùng hướng
Lý thuyết Định nghĩa ằ Vectơ là một đoạn thẳng cú hướng
Trong toán học, vectơ được ký hiệu bằng ký hiệu chữ cái có mũi tên phía trên, thể hiện một đại lượng có phương, độ lớn và hướng từ điểm đầu đến điểm cuối Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, ta vẫn có thể biểu diễn nó bằng ký hiệu riêng mà không cần chỉ rõ các điểm này.
Độ dài của vectơ, còn gọi là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, là một yếu tố quan trọng trong hình học vectơ Độ dài của vectơ được ký hiệu là |**v**| và thể hiện khoảng cách chính xác giữa hai điểm Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hướng trong không gian.
▶ Giá c ủa vectơ : ằ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của 1 vectơ được gọi là giỏ của vectơ đó
Hai vectơ cùng phương có đặc điểm là chúng song song hoặc trùng nhau, thể hiện sự đồng hướng hoặc ngược hướng Khi hai vectơ cùng phương, chúng luôn nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song, giúp xác định rõ ràng mối quan hệ về hướng của chúng Việc hiểu rõ đặc điểm của vectơ cùng phương là nền tảng quan trọng trong thao tác toán học và vật lý, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến hướng và độ lớn của vectơ.
♨ Nh ậ n xét: ằ Ba điểm phõn biệt thẳng hàng hai vectơ và cựng phương.
Vectơ – không
Định nghĩa ằ Hai vectơ và gọi là b ằ ng nhau nếu chỳng cựng hướng và cú cựng độ dài
Kí hiệu ằ Hai vectơ và gọi là đố i nhau nếu chỳng ngược hướng và cú cựng độ dài
♨ Chú ý: ằ Khi cho trước vectơ và điểm , thỡ ta luụn tỡm được một điểm duy nhất sao cho Định nghĩa ằ Vectơ-khụng là vectơ đặc biệt cú điểm đầu và điểm cuối đều cựng một điểm, ta kớ hiệu là ằ Ta quy ước vectơ-khụng cựng phương, cựng hướng với mọi vectơ ằ Như vậy và
D ạ ng 1 Xác định vectơ; phương, hướng; độ dài của vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó
⑶ Vectơ cùng phương – cùng hướng:
Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau
Hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng
♨ Nh ậ n xét: ằ Ba điểm phõn biệt thẳng hàng hai vectơ và cựng phương
Hai vectơ và gọi là b ằ ng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài
Hai vectơ và gọi là đố i nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài
Là vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều cùng một điểm, ta kí hiệu là
Ta quy ước vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ
Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với
⑴ Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác?
⑵ Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác?
Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD Lấy 8 điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ Tìm số vectơ bằng với vectơ
Gọi G là trọng tâm tam giác vuông với cạnh huyền Tính (với là trung điểm của )
Cho điểm và véctơ khác Tìm điểm sao cho:
⑴ cùng phương với ⑵ cùng hướng với
Cho tam giác có trực tâm Gọi là điểm đối xứng với qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng và
D ạ ng 2 Hai vectơ bằng nhau
Lời giải Để chứng minh hai véctơ bằng nhau ta có thể dùng một trong ba cách sau:
Cách 02 Tứ giác là hình bình hành và
Cho tam giác có lần lượt là trung điểm của
Cho hình vuông tâm Liệt kê tất cả các véctơ bằng nhau (khác ) nhận đỉnh hoặc tâm của hình vuông là điểm đầu và điểm cuối
Cho hình bình hành Dựng ,
Tứ giác là hình gì nếu có và
Cho tứ giác đều Gọi lần lượt là trung điểm của
Cho tứ giác Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để ?
Cho tam giác Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Chứng minh
A Câu h ỏ i – Tr ả l ờ i tr ắ c nghi ệ m ằ Cõu 1 Cho cỏc vectơ a b c u, , , và v như trong hỡnh bờn
Hỏi có bao nhiêu vectơ cùng hướng với vectơ u?
A 4 B 2 C 3 D 1 ằ Cõu 2 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Cú bao nhiờu vectơ khỏc 0 cựng phương với AB cú điểm đầu và cuối là các đỉnh của hình bình hành?
Trong bài toán này, ta xét tam giác ABC với các trung điểm M, N, P lần lượt của các cạnh AB, AC, BC Điểm M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm của cạnh AC, và P là trung điểm của cạnh BC Khi đó, vectơ MN là một trong những vectơ đặc biệt phản ánh quan hệ giữa các trung điểm của tam giác Số lượng các vectơ khác vectơ không, bằng với vectơ MN, có điểm đầu và điểm cuối là các điểm M, N, P, giúp làm rõ tính chất đối xứng và kết nối giữa các trung điểm trong tam giác Các tính chất này có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định các vectơ độc lập và ứng dụng trong giải các bài toán hình học không gian.
A 4 B 2 C 5 D 7 ằ Cõu 4 Nếu AB AC thỡ:
A tam giác ABC là tam giác cân B tam giác ABC là tam giác đều
Điểm N nằm giữa hai điểm M và P trên cùng một đoạn thẳng, giúp xác định các cặp vector cùng hướng trong các bài toán hình học Khi hai điểm M, N, P thẳng hàng, các vector từ các điểm này có thể cùng hướng hoặc ngược hướng dựa trên vị trí của chúng Trong đó, các cặp vectơ như \(\vec{MN}\) và \(\vec{NP}\) cùng hướng khi N nằm giữa M và P, góp phần giải quyết các bài tập liên quan đến quan hệ của các vector trong hình học phẳng Hiểu rõ vị trí của các điểm thẳng hàng giúp xác định chính xác hướng của các vectơ, là kiến thức nền tảng quan trọng trong môn Toán trung học phổ thông.
Trong tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C? Việc này giúp hiểu rõ hơn về số lượng các vectơ độc lập trong hình học không gian, từ đó nâng cao khả năng phân tích cấu trúc hình học của tam giác Các vectơ này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các phép biến đổi hình học và tính chất của tam giác trong không gian.
Trong hình lục giác đều ABCDEF tâm tại điểm O, số lượng vectơ khác vectơ cùng phương với vectơ OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là 9 Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính đối xứng và các vectơ trong hình học lục giác đều Việc xác định số lượng vectơ phù hợp giúp nâng cao khả năng ứng dụng các phép tính vector trong các bài toán hình học phức tạp.
A 4 B 6 C 8 D 10 ằ Cõu 8 Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CD
A ABCD là hình bình hành B ACBD là hình bình hành
C AD và BC có cùng trung điểm D AB CD và AB/ /CD ằ Cõu 9 Cho hỡnh vuụng ABCD, cõu nào sau đõy là đỳng?
A AB BC B AB CD C AC BD D AD CB
Luyện tập ằ Cõu 10 Cho tứ giỏc đều ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Mệnh đề nào sau đây là sai?
Trong bài toán về hình học, câu hỏi liên quan đến số lượng vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác ABCD Điều này đòi hỏi xác định số vectơ khác nhau giữa các đỉnh của tứ giác, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và các mối quan hệ giữa các đỉnh của hình học này.
A 4 B 8 C 10 D 12 ằ Cõu 12 Cho 5 điểm A, B, C, D, E cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm đã cho:
A 4 B 20 C 10 D 12 ằ Cõu 13 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành
C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều
Dữ liệu đề cập đến việc xác định các vectơ khác với vectơ ban đầu có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của lục giác đều ABCDEF, sao cho bằng với vectơ AB Các vectơ này đều cùng hướng, có độ dài bằng nhau với vectơ gốc, và có điểm bắt đầu hoặc kết thúc tại đỉnh của lục giác hoặc tâm O, thể hiện mối liên hệ chính xác giữa các đỉnh và tâm của hình học Nội dung này giúp làm rõ cách xác định và so sánh chiều dài, hướng của các vectơ liên quan đến lục giác đều trong bài toán hình học.
Trong bài viết, chúng tôi trình bày về các quan hệ trong không gian, đặc biệt là khi các điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng Các vectơ AB và BC cùng hướng nếu và chỉ khi chúng có cùng phương và cùng chiều, điều này giúp xác định các tính chất về quan hệ hướng của các vectơ trong không gian hình học Việc hiểu rõ các điều kiện này là nền tảng quan trọng để phân tích các bài toán liên quan đến vectơ và vị trí của các điểm trong không gian.
A Điểm B thuộc đoạn AC B Điểm A thuộc đoạn BC
C Điểm C thuộc đoạn AB D Điểm A nằm ngoài đoạn BC ằ Cõu 16 Cho hỡnh thoi tõm O, cạnh bằng a và A 60 Kết luận nào sau đõy là đỳng?
OA ằ Cõu 17 Cho tứ giỏc ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC Biết MP PN
Trong bài toán về tam giác ABC với trực tâm H, điểm D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định đúng cần xác định mối quan hệ chính xác giữa các đoạn thẳng hoặc các điểm trong tam giác Các lựa chọn như AC BD bằng nhau hoặc AD BC bằng nhau đều mang ý nghĩa liên quan đến đặc điểm của các đoạn trong tam giác và các điểm đối xứng Việc phân tích các điều kiện về đối xứng và vị trí của điểm D giúp xác định khẳng định đúng trong bài toán này.
A HA CD và AD CH B HA CD và DA HC
C HA CD và AD HC D AD HC và OB OD ằ Cõu 19 Cho ABC với điểm M nằm trong tam giỏc Gọi A B C', ', ' lần lượt là trung điểm của BC,
CA, AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A B C', ', ' Câu nào sau đây đúng?
A AM PC và QB NC B AC QN và AM PC
Trong bài viết này, ta xem xét tam giác ABC có điểm H là trực tâm và O là trung điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Điểm D được xác định là đối xứng với B qua trung điểm O Các phương trình liên quan như C AB CN = và AP QN =, cũng như D AB' = BN và MN BC = đều liên quan đến các mệnh đề về đặc điểm và tính chất của các điểm, đường thẳng trong tam giác Câu hỏi đặt ra là, trong các phát biểu sau, câu nào đúng về đặc điểm của các điểm đối xứng qua trung điểm O trong tam giác ABC?
A AH DC B AB DC C AD BC D AO AH ằ Cõu 21 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD Lấy
8 điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ Tìm mệnh đề sai?
A Có 2 vectơ bằng PR B Có 4 vectơ bằng AR
Trong hình vuông ABCD tâm O có cạnh a, điểm M là trung điểm của cạnh AB, và N là điểm đối xứng với C qua D Để tính độ dài của vectơ MN, ta xác định các tọa độ của M và N dựa trên các đặc điểm của hình vuông và tính toán dựa trên các công thức về vectơ Việc xác định chính xác vị trí của M và N giúp dễ dàng tính độ dài của vectơ MN, từ đó hiểu rõ hơn về các mối quan hệ hình học trong hình vuông.
MN ằ Cõu 23 Cho tứ giỏc ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA
Gọi O là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm của các đoạn thẳng
AC, BD tương ứng là I, J Khẳng định nào sau đây là đúng?
A OI OJ B MP NQ C MN PQ D OI OJ ằ Cõu 24 Cho AB khỏc 0và cho điểm C, cú bao nhiờu điểm Dthỏa món AB CD
C 2điểm D không có điểm nào ằ Cõu 25 Cho 3 điểm M,N,P thẳng hàng trong đú Nnằm giữa Mvà P khi đú cỏc cặp vộc tơ nào sau đây cùng hướng?
Trong bài toán, các điểm M, N, P thẳng hàng với N nằm giữa M và P Khi xác định các cặp vectơ cùng hướng, ta cần xem xét các vecto như MN, NP, MP, và PN Các cặp vectơ cùng hướng là những vectơ có cùng hướng hoặc có phương cùng chiều Điều này giúp xác định mối quan hệ giữa các điểm M, N, P và các vectơ liên quan trong hình học Việc nhận biết các cặp vectơ cùng hướng là cơ sở để giải các bài toán vận dụng liên quan đến định lý, tính toán độ dài, hoặc xác định vị trí trong không gian hình học phẳng.
Trong bài tập này, chúng ta xác định trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, và BC, lần lượt gọi là M, N, và P, nhằm phân tích các véctơ liên quan Cụ thể, các véctơ MP và PN, MNvà PN, NMvà NP, cũng như MNvà MP đều liên quan đến các trung điểm của tam giác ABC, giúp hiểu rõ mối quan hệ về véctơ trong tam giác Đồng thời, câu hỏi yêu cầu đếm số véctơ khác và véctơ không có điểm đầu và điểm cuối nằm trong các điểm của tam giác, từ đó khám phá các tính chất véctơ nội tại trong bài toán hình học không gian Các nội dung này nhằm mục đích vận dụng các kiến thức về véctơ để phân tích các đoạn thẳng và trung điểm trong tam giác, qua đó giải thích các mối liên hệ về véctơ trong không gian.
A 1 B 4 C 2 D 3 ằ Cõu 28 Cho hỡnh thoi ABCD Khẳng định nào sau đõy đỳng?
A AD CB B AB BC C AB AD D AB DC ằ Cõu 29 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A Chúng cùng phương và có độ dài bằng nhau
B Giá của chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành
C Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
Trong bài viết, chúng ta xem xét các đường chéo của hình bình hành ABCD, với điểm O là giao điểm của hai đường chéo Điều kiện quan trọng là hai đường chéo cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau, giúp xác định các tính chất của hình bình hành Trong câu hỏi số 30, yêu cầu chọn đẳng thức sai liên quan đến điểm O và các đặc điểm của hình bình hành, nhằm kiểm tra kiến thức về hình học phẳng và tính chất của hình bình hành.
A AB DC B OA CO C OB DO D CB AD ằ Cõu 31 Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Ba vectơ bằng với AB là
A OF ED OC, , B OF DE CO, , C CA OF DE, , D OF DE OC, , ằ Cõu 32 Cho lục giỏc đều ABCDEFtõm O Ba vectơ bằng vectơ BA là:
