Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đờng thẳng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A, B.. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào m.. Trên tia đối của
Trang 1Trờng thcs kỳ giang
Gv: trần quang tiến
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
môn toán (Thời gian: 150 phút)
Bài 1: (2.5đ) Cho biểu thức P =
1
2 + +
−
x x
x
x
x
x+
2 +
1
) 1 ( 2
−
−
x x
a Tìm x để biểu thức P có nghĩa
b Chứng minh P = x- x + 1 có nghĩa
c Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: (1đ) Giải hệ phơng trình
−
=
−
= +
1 2 3
4 2
y x
y x
Bài 3: (2.5đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol ( P): y=x2 và đờng thẳng
( d): y = 2(m+1)x - 4m+1
a Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đờng thẳng ( d) luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B
b Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào m
Bài 4: (3đ) Cho đờng tròn tâm O bán kính R, một dây cung CD có trung điểm H Trên tia đối của tia CD
lấy điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB của đờng tròn Đờng thẳng AB cắt SO và OH lần lợt tại E
và F
a Chứng minh OE.OS = R2
b Chứng minh tứ giác SEHF là nội tiếp
c cho R= 10 cm, OH = 6 cm, SD = 4 cm Tính độ dài CD, SA
Bài 5:(1 đ) Cho x, y là hai số thực thoả mãn x.y = 1
Chứng minh:
) (
4
2
y
x+ + x2 + y2 ≥ 3
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đáp án môn toán tuyển sinh 10 Bài 1:( 2.5 đ)
a ĐK:
≠
−
>
0 1
0
x
x
⇔
≠
>
1
0
x x
b P = ( )
1
1 3 + +
x x
x x
-
x
x
x2 +1
+
1
1 1
2
−
+
−
x
x x
=
1
1 2
1 + +
+ +
x x
x x x
x
- 2 x - 1 + 2 x +2 = x - x +1 (đpcm)
c P = ( x )2 - x + 1 = ( x -
2
1)2 + 4
3 ⇒ Min P =
4
3 ⇔ x =
4 1
Bài 2: (1đ)
−
=
−
=
+
1 2
3
4
2
y
x
y
x
⇔
−
=
−
= +
1 2 3
8 2 4
y x
y x
⇔
=
= + 7 7
4 2
x
y x
⇔
=
= 2
1
y x
Bài 3: (2,5đ) Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phơng trình:
Trang 2x2 = 2(m +1)x - 4m +1 ⇔x2 -2(m +1)x + 4m -1 = 0 (*)
a Ta có: ∆’ = (m +1)2 - 4m + 1 = (m-1)2 +1 > 0 ∀m ⇒ (*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b Ta có:
−
=
+
= +
1 4
) 1 ( 2
2 1
2 1
m
m
x x
x
−
=
+
= +
1 4
) 1 ( 4 )
2 1
2 1
( 2
m
m
x x
x x
⇔2(x1 + x2) -x1x2 = 5
Bài 4: (3đ)
a Xét hai tam giác vuông EOA và AOS ta có ∠ AOS chung
⇒ ∆EOA ∝ ∆AOS ⇒
OA
OE
=
OS
OA ⇔OE OS = OA2 = R2 (đpcm)
b Do H là trung điểm CD
⇒ OH ⊥ SC ⇒ ∠SHF = 1 v (1)
SA, SB là tiếp tuyến ⇒ SO ⊥ AB
⇒ ∠SEF = 1 v (2)
Từ (1),(2) ⇒ SEHF nội tiếp
c Ta có CD = 2HD = 2 OD2 − OH2 = 2 R2 − OH2 = 16 (cm)
SO2 = OH2 + HS2 = OH2 +( HD + SD)2 = 36 +(4 + 8)2 =180
⇒ SA = SO2 − OA2 = 4 5
Bài 5: Ta có
( x + y )2
4
+ x2 + y2 ≥3 ⇔
2
4
2 2
+ + y
x + x2 + y2 ≥ 3
⇔4 + ( x2 +y2 )2 +2(x2 +y2) ≥ 3(x2 +y2 ) +6
⇔( x2 +y2 )2 - 4( x2 +y2) +4 +3( x2 +y2 ) - 6 ≥ 0
⇔[(x2 +y2) -2]2 +3[x2 +y2 - 2xy] ≥ 0
⇔[(x2 +y2) - 2]2 + 3(x-y)2 ≥ 0 đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
=
= +
y
x
y
±
=
±
= 1
1
y x