ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 9 Thời gian: 90 phút không kể thời gian phát đề... Cả 3 trường hợp trên... Cho tam giác có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian phát đề) Năm học: 2008-2009.
I Phần trắc nghiệm: (20 phút) (5 điểm)
Câu 1: 2x+4 có nghĩa khi:
Câu 2: Rút gọn (5− 7 được kết quả là:)2
Câu 3: Rút gọn 12 6 3 được kết quả là−
Câu 4: Biết 4x2 = 6 thì x bằng:
Câu 5: Kết quả phép tính :(4 − 13)(4 + 13) là
Câu 6: Rút gọn 27a b4 2 được kết quả là:
A 3 3a2b B -3 3a2b C 3ab2 D 3 3a2 b
Câu 7: Kết quả của phép tính 2−1 3 2+ +1 3 là:
Câu 8: Khử mẫu của biểu thức 1
20 là :
A 1 5
10 D Cả câu B và C đều đúng
Câu 9: Tập nghiệm của phương trình x2 – 7 = 0 là:
A S={7; 7 − } B S={ 7; − 7} C S={ }7 D S= −{ }7
Câu 10: Nếu x thỏa mãn điều kiện 3 + x = 3 thì x nhận giá trị là:
Câu 11: Biểu thức 1 32
1
x x
− + có nghĩa khi:
A x > 13 B x < 13 C x ≤ 13 D x ≥ 13
Câu 12: tam giác ABC vuông tại A có AC AB = 34, đường cao AH = 12 cm
khi đó độ dài CH bằng :
Trang 2Câu 13: Trên hình vẽ :
A x = 16/3 và y = 9
B x = 4,8 và y = 10
C x =5 và y = 9,6
D Cả 3 trường hợp trên.
Câu 14: Cho cosα = 2/3 khi đó sinα bằng:
A 59 B. 5
1
1 2
Câu 15: Giá trị của biểu thức: sin4 α + cos4 α + 2sin2 α .cos2 α bằng:
Câu 16: Cho góc nhọn α Hãy điền vào số 0 hoặc số 1 vào chỗ trống(…) cho
đúng
A sin2 α + cos2 α = … B tgα cotgα = …
C …< sinα < … D …< cosα <…
Câu 17: Trên hình bên ta có: x+ y bằng:
A 4 3 C 4 2( + 3)
B 4 1( + 3) D 10
Câu 18: Tam giác ABC vuông tại C Trung
tuyến CE vuông góc trung tuyến BF và
cạnh BC = x Độ dài cạnh BF là:
A 32x 2 B 2 2x
C. 5
2
2
x
Câu 19: Tích n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho :
Câu 20: 81bằng:
II Phần tự luận : ( 15 điểm)
Câu 1: ( 5 điểm)
a/Chứng minh rằng: 42n+2- 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên b/ Chứng minh rằng:1945 – 1930 chia hết cho 20
Câu 2: (3 điểm)
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, biết :
2
1
x C x
+
= +
Câu 3: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức A, biết
A = 6 4 2 3 1 − 3 + 3
Câu 4: (2,5 điểm)
y
6
6 2
y x
x
D E F C
Trang 3Cho tam giác có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE Gọi H, K là hình chiếu của B, C trên đường thẳng DE, Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q Chứng minh rằng:
SBEC + S BDC = S BHKC.
Câu 5:( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, độ dài cạnh BC = a , AC = b, AB = c Chứng minh rằng:
a/ sina A =sinb B =sinc C
b/ S ABC = 12bc.sina
ĐẤP ÁN
I Phần trắc nghiệm:( 5 điểm) (mỗi câu đúng được 0,25điểm)
Câu 1:B
Câu 2:A
Câu 3:C
Câu 4:C
Câu 5:A
Câu 6:D
Câu 7:A
Câu 8:D
Câu 9:B
Câu 10:D
Câu 11:C
Câu 12:B
Câu 13:B
Câu 14:B
Câu 15:C
Câu 16: A: 1, B:1 , C: 0<……<1, D: 0<… <1
Câu 17:C
Câu 18:D
Câu 19:A
Câu 20:C
II Phần tự luận:( 15 điểm)
Câu 1: (5 đ)
a/ + với n = 0 ta có: 42.0+2 -1 =15 chia hết cho 15
+ Giả sử(*) đúng với n = k (k thuộc N) nghĩa là :
42k+2 – 1chia hết cho 15
Ta phải chứng minh(*) đúng với n = k+1, nghĩa là
42k+2 – 1chia hết cho 15 Ta có:42(k+1) +2 -1 = 42(42k+2-1) + 15
Mà 42(42k+2-1) + 15 chia hết cho 15 Vậy 42(k+1) +2 -1 chia hết cho 15
Vậy: 42n+2- 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên
b/ Ta có: 1945 – 1930 = 1930.( 1915+1) chia hết cho 20
Trang 4Câu 2:(3điểm)
Ta có:
2 2
x+2
1
C
x
+ − + + + +
≥ − +
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là -1 khi x + 2 = 0↔ x = -2
Câu 3: (2điểm)
A= 6 4 2 3 1 − 3 + 3 = 6( 3 1 1 − ) 3 + 3 = 3( 3 1 1 − )( + 3) = 3 2
Câu 4: (2,5 điểm)
Gọi I là trung điểm của ED
Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC
Ta có: I I’ là đường trung bình của
hình thang EE’D’D nên: EE’+ DD’=2 I I’
Vậy:SBEC + SBDC = 12 EE’.BC + 12 DD’.BC
= 12 BC(EE’+ DD’)
= BC I I’(1) Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q
Ta có: BC I I’ = SBPQC Mặt khác ∆PIH = ∆QIK(c-g-c)
Suy ra: SPIH = SQIK Do đó: SBPQC = SBHKC.Từ (1),(2),(3)
suy ra: SBEC + SBDC = SBHKC
Câu 5:(2,5 điểm)
a/ Dựng đường cao AH, ta có:
sinB = AH/AB; sinC = AH/AC
→ sinB/sinC=AH/AB:AH/AC = b/c
→ b/sinB = c/sinC (1)
Chứng minh tương tự ta có: a/sinA = b/sinB(2)
Từ (1),(2) suy ra: a/sinA = b/sinB = c/sinC
b/ Kẻ CH vuông góc AB, ta có:
CH = AC.sinA
Mà SABC = 12AB.CH = 12AB.AC.sinA
Hay SABC = 12b.c.sinA
c
H
A
a
b c
H A
P
I'
I
D' E'
K
H
D E A
Q
