SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊNTRƯỜNG THPT SÔNG CÔNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: " BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG - ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH THPT" Người thự
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT SÔNG CÔNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
" BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG - ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH THPT"
Người thực hiện: NGUYỄN THỊ THU THỦY
Tổ : TOÁN
Sông Công, năm 2010
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thực tế giảng dạy lớp 12 thì bài toán viiết phương trình tiếp tuyến với một đường cong là một bài toán rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm Vì thế là một giáo viên dạy Toán THPT và nhiều năm dạy, ôn luyện học sinh lớp 12 tôi chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong, đưa ra các phương pháp giải với từng dạng đồng thời chỉ ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải Vì mục đích ấy kính mong sự đóng góp ý kiến của các đồng chí chuyên viên có trách nhiệm thẩm định đề tài và các đồng chí đồng nghiệp bổ khuyết
B NỘI DUNG
I PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN
1 Dạng 1: Cho hàm số y= f (x) có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp
tuyến với (C) tại một điểm M o(x o;y o) ∈ (C).
a) Phương pháp giải:
- Tính f ' x( )
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k= f' (x o).
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o(x o;y o) là:
) )(
(
o f x x x y
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y= f(x) =x3 + 2x2 − 15x+ 12 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)∈(C).
Giải
5 ) 2 ( ' 15 4 3 ) (
f
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
12 5
) 2 ( 5 2
−
=
⇒
−
= +
x y
x y
Trang 3⇒ Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố còn lại và làm tương tự như trên
Ví dụ 2: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12)
2
1 4
C x
x
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng
4
7
Giải
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm ⇒ ta có 1 1
2
1 4
1 4
0
4
= x x x o
Với x o = 1 ⇒ f' ( 1 ) = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại
−
4
7
; 1 1
4
1 2 )
1 ( 2 4
7
−
=
⇔
−
=
− x y x y
Với x o = − 1 ⇒ f' ( − 1 ) = − 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại
−
4
7
; 1 2
4
1 2 )
1 ( 2 4
− x y x y
Ví dụ 3: Cho hàm số
1
2 2 )
(
2
+
−
−
=
=
x
x x x f
(C) cắt trục hoành tại A và B Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
A và B
Giải
- Tập xác định: D = R\{- 1}
- Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình.
3 1 0
2 2 0
1
2
2
±
=
⇔
=
−
−
⇔
= +
−
x
x x
⇒ (C) cắt Ox tại điểm A( 1 + 3 ; 0 )và B( 1 − 3 ; 0 )
) 3 2 ( 3 2 ) 3 1 ( ' )
1 (
2
2
−
= +
=
⇒ +
+
x
x x
y
) 3 2 ( 3 2 ) 3 1 (
y
Trang 4Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
) 3 1 ( ) 3 2 ( 3
y
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng:
) 3 1 ( ) 3 2 ( 3
−
y
* Nhận xét: Qua ví dụ 3 cho thấy học sinh sẽ lúng túng không viết được
phương trình tiếp tuyến nếu không tìm được tọa độ của A và B Vì vậy đối với các bài toán ở dạng 1 nhưng trong bài lại chưa cho tọa độ (xo; yo) thì cần tìm (xo; yo) trước rồi mới bắt đầu vào bước 1 trong phần phương pháp giải ở trên
Đồng thời bài toán ở dạng 1 này đã được mở rộng để áp dụng vào xây dựng phương trình tiếp tuyến của các đường Cônic như trong SGK hình học 12 (trước phân ban) ta xét ví dụ cụ thể với elip
Ví dụ 4: Cho (E) có phương trình: 1
64 100
2 2
= + y
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm M( 5 ; 4 3 )
Giải
Nhận xét điểm M( 5 ; 4 3 ) ∈ (E)
2 2
2 2
100 5
4 ' 100
5
4 64
100
100
x
x y
x y
x y
−
±
=
⇒
−
±
=
⇔
−
3 5
4 )
5 (
⇒ y vì M( 5 ; 4 3 ) ∈phần (E) mà các điểm trên đó có tung độ
dương nên
3 5
4 )
5 ( ' 100
5
= x y
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M( 5 ; 4 3 ) là:
0 80 4 3
2 Dạng 2: Cho hàm số y= f (x) có đồ thị là (C) Hãy viết phương trình
tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước:
a) Phương pháp giải:
- Tính f ' x( )
Trang 5- Gọi M o(x o;y o) ∈ (C) tại đó tiếp tuyến có hệ số góc k.
⇒ xo là nghiệm phương trình f' (x o) =k
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y−y o k(x−x o).
Chú ý: Giả sử đường thẳng D1 có hệ số góc là k1
đường thẳng D2 có hệ số góc là k2 Thì D1 // D2 ⇔ k1 = k2
D1 ⊥ D2 ⇔ k1 k2 = - 1
D1 cắt D2 ⇔ k1 ≠ k2
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số
2
1 2
−
+
=
x
x
y Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(C) của hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009)
Giải
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm (x o; y o)
⇒ xo là nghiệm phương trình
=
=
⇔
−
=
−
−
⇔
−
=
3
1 5
) 2 (
5 5
) (
o
o o
o
x
x x
x y
Với x o = 1 ⇒y o = − 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= − 5x+ 2
Với x o = 3 ⇒y o = 7 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= − 5x+ 22
Ví dụ 2: Cho hàm số
1
2 3 ) (
−
−
=
=
x
x x f
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc
với đường thẳng y= 4x+ 10
Giải
D = R \ {1}; ( 1 ) 2
1 '
−
−
=
x
Gọi M o(x o;y o) ∈ (C)tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 10
= x
y , có hệ số góc k:
4
1 1
4
Trang 6⇒ xo là nghiệm phương trình
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
−
2 7 2 5 3
1 4
1 ) 1 (
1 2
o
o
o
o
x y
x x
−
2
5
; 1 1
M có tiếp tuyến là
4
9 4
−
= x
2
7
; 3 2
M có tiếp tuyến là
4
17 4
−
= x
* Nhận xét: Qua ví dụ 2 ở trên cho thấy nhiều bài toán viết phương trình
tiếp tuyến dạng 2 nhưng không trực tiếp hệ số góc mà phải thông qua một giả thiết khác Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc nắm kiến thức một cách liền manh, biết vận dụng, liên hệ các phần với nhau
3 Dạng 3:
a) Bài toán: Cho hàm số y= f (x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp
tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm A(x A; y A)cho trước
b) Cách giải:
* Cách 1:
- Gọi d là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k và đi qua A.
⇒ d có phương trình: y=k(x−x A) + y A(1)
- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ
phương trình:
=
+
−
=
k x f
y x x k x
) ( '
) ( ) (
Giải hệ phương trình tìm k ⇒ thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến
* Cách 2:
- Giả sử có tiếp tuyến (d) đi qua A, tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm
)
;
o x y
M ⇒ d có phương trình: y−y o = f' (x o)(x−x o).
- Vì A (xA ; y A ) ∈ d ⇒y A−y o = f' (x o)(x−x o)
) )(
( ' )
A f x f x x x
Trang 7- Giải phương trình (2) tìm xo
=
⇒
) ( '
) ( 0
o
o
x f
x f y
- Viết phương trình tiếp tuyến dạng:
) )(
(
o f x x x y
c) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số ( )
1
2 3
C x
x y
−
−
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A (2; 0).
Giải
TXĐ: D = R \ {1}
2 ) 1 (
1 '
−
−
=
x y
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k là
).
2
=k x
y
- Hoành độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ
phương trình:
−
=
=
−
=
=
⇔
=
≠
−
−
=
−
−
⇔
=
−
=
9 3 4 1 0
1
) 1 ( 1
) 2 ( 1
2 3 )
( ) (
2 '
k x k x
k x
x
x k x
x
k f
xy x x k x f
x
A A
- Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua A(2; 0) là
+
−
=
+
−
=
18
9
2
x
y
x
y
Ví dụ 2: Cho hàm số ( )
2
3 3 2
f
Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến đó đi
qua A(0; 3/2)
Giải
Trang 8- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 3/2) và có hệ số góc k là
2
3
+
=kx
- Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2) thì hệ phương trình:
=
−
+
= +
−
k x x
kx x
x
6 2
2
3 2
3 3 2
1
3
2 4
±
=
=
⇒
±
=
=
⇔
2 2
0 2
2
0
k
k x
x x
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần viết là:
2
3 2 2
2
3 2 2 2 3
+
=
+
−
=
=
x y
x y
y
- Từ dạng 3 này có thể mở rộng bài toán tiếp tuyến thành 1 vài dạng: chẳng hạn ở ví dụ 3:
Ví dụ 3:
2
1 3 2
C x
x x y
−
+
−
CMR không có tiếp tuyến nào với (C) đi qua giao điểm của các tiệm cận.
Giải
Có x = 2 Là tiệm cận đứng
y = x - x Là tiệm cận xiên Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận ⇒ I (2; 1)
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm
2
1 3 2
−
+
−
=
⇒
o
o o o
x
x x
2 ) 2 (
5 4 )
( '
−
+
−
=
o
o o o
x
x x x
Phương trình tiếp tuyến tại (xo; yo) dạng
) ( ) 2 (
5 4 2
1 3
2
2 2
o o
o o o
o
x
x x x
x x
−
+
−
=
−
+
−
−
Trang 9Giả sử tiếp tuyến đi qua I(2; 1) thì pt:
) 2 ( ) 2 (
5 4 2
1 3
2 2
o o
o o o
o
x
x x x
x
−
+
−
=
−
+
−
(2)
≠
− +
−
=
− +
−
−
−
⇔
2
) 2 )(
5 4 ( ) 2 )(
1 3 ( ) 2
o
o o
o o
o o o
x
x x
x x
x x x
vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến của đường cong đã cho đi qua I (2; 1) là giao điểm của các đường tiệm cận
PHẦN 2: KẾT LUẬN
1 Những sai lầm thường gặp: Học sinh hay nhầm lẫn giữa dạng 1 và dạng 3 nên trong quá trình giảng dạy cần phan biệt cho học sinh:
- Tại một điểm thuộc đường cong chỉ có một tiếp tuyến với đường cong đó
- Qua một điểm có thể có ít nhất một tiếp tuyến với đường cong (nếu có tiếp tuyến)
2
3 3 2
C x
x
viết phương trình tiếp tuyến đi qua
2
3
; 0
- Lời giải đúng: (Đã trình bày)
- Lời giải chưa chính xác như sau:
Dễ dàng nhận thấy ( )
2
3
;
⇒ phương trình tiếp tuyến tại A:
2
3 ) 0
(
0
2
3
y x
Lời giải này không đầy đủ cụ thể thiếu hai phương trình tiếp tuyến
2
3 2 2
; 2
3 2
−
= x y x
2 Để học sinh có thể làm được các bài toán tiếp tuyến với đường cong cần phân tích rõ các yếu tố cần thiết
Trang 10- Hệ số góc k = f'(xo ).
C KẾT QUẢ THỰC HIỆN
1 Phương pháp tiến hành.
- Chọn đối tượng thực nghiệm và đối tượng dùng để đối chứng sau đó so sánh kết quả:
- Phân tích số liệu thực nghiệm và rút ra kết luận
2 Kết quả:
- Đối tượng thực nghiệm: 12C7
- Đối tượng đối chứng: 12C6
Cùng làm bài viết phương trình tiếp tuyến với đường cong cả 3 dạng (nhưng 12C7 được dạy tổng kết các dạng phương trình tiếp tuyến)
Kết quả: 12C7: 81,2% trên TB
12C6: 62% trên TB
3 Kết luận:
- Việc tổng kết các dạng bài toán cơ bản, mở rộng, chỉ ra những sai lầm hay gặp của học sinh là những hoạt động phải làm thường xuyên trong các giờ giảng trên lớp
D TÀI LIỆU THAM KHẢO
- SGK giải tích, hình học 12
- Hướng dẫn ôn thi TN 2008 - 2009; 2009 - 2010
- Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - cao đẳng tòan quốc (từ 2002 - 2008)