Bài giảng Giải tích hàm một biến

Trang 1 Đõy là bài giảng mụn Giải tớch hàm số một biến dành cho sinh viờn năm thứ nhất của hầu hết cỏc Khoa trừ Khoa Kinh tế, Khoa Cơ khớ, Khoa Điện – Điện tử của Trường đại học thủy lợi

Đây là bài giảng môn Giải tích hàm số một biến dành cho sinh viên năm thứ nhất của hầu hết các Khoa (trừ Khoa Kinh tế, Khoa Cơ khí, Khoa Điện – Điện tử) của Trường đại học thủy lợi

Giáo trình chính Giải tích hàm một biến (Lưu hành nội bộ)

Sách dịch, do Bộ Môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch

+ Điểm Kiểm tra giữa kỳ (1 bài KT 50 phút)

2 Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60%

2 | P a g e

Bài số 1 Hàm số một biến giới hạn và tính liên tục

I Hàm số một biến

1 Định nghĩa hàm số

Cho 2 tập hợp D và E : D ⊆ ℝ , E ⊆ ℝ, tương ứng f D : → Echo tương ứng mỗi phần tử x ∈Dvới một

phần tử duy nhất y∈ E được gọi là một hàm số một biến số thực

+ Tập D được gọi là miền xác định, kí hiệu Df của hàm số f

+ Tập f X( ) được gọi là miền giá trị, kí hiệu R của hàm số f f

+ x ∈D f : biến số độc lập ( hay đối số)

+ ( )f x ∈R f: biến số phụ thuộc ( hay hàm số)

+ Cách viết: f D : → E hoặc x ֏ f x ( ) hoặc y = f x ( )

x ֏ y = f x ( )

2 Đồ thị của hàm số: G f ={( , ( )x f x x ∈D}

+ Cách nhận biết đồ thị: Một đường cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đồ thị của một hàm số nếu và

chỉ nếu đường thẳng cùng phương với Oy cắt đường cong đó tại nhiều nhất một điểm

Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số

3 | P a g e

II Giới hạm của hàm số

1 Ví dụ: Xét hàm số y = f x( )=x2− + Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại những điểm x 2 x gần

+ Chú ý: Hàm số y = f x ( ) có thể không xác định tại x0 = , tuy nhiên nó phải xác định tại những điểm a

thuộc lân cận của điểm đó

Chú ý: Trong khi tìm giới hạn ta quan tâm đến “x dần tới x0” chứ không phải xét khi x =x0

Ví dụ 1 : Cho ( ) f x =C , với C là hằng số Chứng minh rằng

0

lim

→ =Thật vậy, cho trước ε> , vì ( )0 f x =C,∀ nờn với bất kì  > 0: x xưx0 < , luôn có δ

0 0

3 Tính chất của giới hạn hàm số

Định lí : Cho lim ( ) 1, lim ( ) 2

→ = → = ; L L1, 2 hữu hạn Khi đó:

1 2 1

1 2 1

2 2

m m m

ớẺnh lÝ : Cho ( )f x lÌ hÌm sè xĨc ợẺnh, tÙng (giộm) khi x → +∞ (hoậc khi x → −∞); khi ợã nỏu ( )f x bẺ

chận trởn nghườ lÌ ∃ M f x : ( ) ≤ M , ∀ ∈ x D (hoậc bẺ chận d−ắi nghưa lÌ ∃ m f x : ( ) ≥ m x , ∀ ∈D) thÈ

3

x

x L

3

x

x L

6 | P a g e

+ Ta nãi hµm sè y = f x( ) cã giíi h¹n tr¸i lµ L t¹i x =a khi vµ chØ khi víi ∀ > nhá tïy ý, ε 0 ∃ > δ 0

sao cho víi nh÷ng ®iÓm x thuéc l©n cËn tr¸i cña a th× ta ph¶i cã ( )f x −L < Ký hiÖu :ε lim ( )

x a

−

→ =

L©n cËn tr¸i cña ®iÓm a

+ Ta nãi hµm sè y = f x ( ) cã giíi h¹n ph¶i lµ L t¹i x =a khi vµ chØ

khi víi ∀ > nhá tïy ý, ε 0 ∃ > sao cho víi nh÷ng ®iÓm δ 0 x thuéc l©n

cËn ph¶i cña a th× ta ph¶i cã X Ký hiÖu: lim ( )

Chuẩn bị cho Bài số 2

Giới hạn dạng vô định Hàm số liên tục

8 | P a g e

Bài số 2 GIỚI HẠN DẠNG Vễ ĐỊNH TÍNH LIấN TỤC

Giải quyết: Ta sẽ tìm cách biến đổi để khử dạng vô định

I Một số ví dụ về khử dạng vô định

Ví dụ 1 : Tính

1

1lim

1

n m x

x x

∞

∞)

9 | P a g e

Ta cã:

11

10 | P a g e

2 2

1lim

1

x

x

x x

2

lim 2

lim 1sin

0

x

x x

x x

coslimcos 2

x x

x

e x

ii) x0 ë ®©y cã thÓ lµ h÷u h¹n hoÆc v« cïng

VÝ dô : y=sinx lµ 1 VCB khi x → 0 y = −1 cosx lµ 1 VCB khi x → 0

VËy 1−cos x lµ VCB cã bËc cao h¬n sin x khi x → 0

VÝ dô : sin x ∼x khi x → v× 0

e x

1lim

ln(1 sin 3 )

x x

1 cos

12

x

x x

x x

m x

x

e x

a

a x

x

m x

Hàm số y= f x( ) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D

Chú ý: Từ Định nghĩa 1 ta thấy: Hàm số y = f x( ) liên tục tại x0

đòi hỏi thỏa mãn 3 điều kiện sau:

Hàm số y= f x( ) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái vừa liên tục phải tại x0

Ví dụ 1: + Hàm số y =3x3−5x+ liên tục tại mọi điểm 1 x0 thuộc tập xác định

Xác định a, b sao cho hàm số liên tục trên ℝ

Giải: + Dễ thấy hàm số xác định trên ℝ

+ Hàm số liên tục trên miền (ư∞, 2)∪(2, 3)∪(3,+∞)

+ Do đó hàm số sẽ liên tục trên ℝ khi và chỉ khi nó liên tục tại x = và 2 x = , tức là khi và chỉ khi 3

Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f x( ) xác định trong một lân cận của x0(có thể không xác định tại x0) Ta

nói rằng y = f x( ) gián đoạn tại x0 nếu hàm số y = f x( ) không liên tục tại điểm đó và khi đó x0 được gọi

là điểm gián đoạn của hàm số y =f x( )

Từ Định nghĩa 3 suy ra: x0 là điểm gián đoạn của ( )f x nếu xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau:

14 | P a g e

Trên hình vẽ, các điểm gián đoạn là x = −2, 2, 4, 6

Định lí : 1) Cho ( ) f x và ( ) g x là hai hàm số liên tục trong ( ; ) a b Khi đó:

a) f x( )±g x( ) là hàm liên tục trong ( ; ) a b

b) f x g x( ) ( ) là hàm liên tục trong ( ; ) a b

c) ( )

( )

f x

g x là hàm liên tục trong ( ; ) a b , trừ những điểm làm ( ) g x = 0

2) Nếu g x( ) liên tục tại x =a và f x( ) liên tục tại b = g a( ) thì hàm hợp f g liên tục tại x =a

2 Các tính chất của hàm liên tục (Tự đọc)

a Định lí về giá trị trung gian 1: Cho ( ) f x là một hàm số xác định trờn đaạn ;a b

  , liên tục trong khoảng

x − − = có ít nhất một nghiệm trong x (0, 3)

b Định lý giá trị trung gian 2: Cho ( ) f x là hàm số xác định, liên tục trong ;a b

  Khi đó ( ) f x lấy ít nhất một lần mọi giá trị nằm giữa ( ) f a và ( ) f b Nói cách khác nếu f x( )liên tục trong đoạn ;a b

  và cho N là

là một số nằm giữa ( ) f a và ( ) f b , ở đó f a( )≠ f b( ); khi đó sẽ tồn tại c ∈( , ) : ( )a b f c =N

Ví dụ : Xét hàm số ( )f x =sinx liên tục trên ℝ

Chuẩn bị cho Bài số 3

Đạo hàm và vi phõn của hàm một biến số

16 | P a g e

Bài số 3 ĐẠO HÀM VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

I Bài toán tiếp tuyến và khái niệm đạo hàm

Hình 2.3 Ý tưởng của Fermat

1 Khái niệm tiếp tuyến : Xét đường cong y = f x ( ) với x = và P0 là một điểm cố định trên đường

cong này Gọi Q là điểm thứ hai gần P trên đường cong, ta vẽ cát tuyến PQ Khi đó, tiếp tuyến tại P là

vị trí giới hạn của cát tuyến, khi Q trượt dọc theo đường cong đến P

2 Tính độ dốc tiếp tuyến

Hình 2.4

 Cho P x y( , )0 0 là điểm cố định bất kỳ trên parabol 2

y =x Ta sẽ tính độ dốc của tiếp tuyến của

parabol này tại điểm P

+ Đầu tiên, ta chọn điểm thứ hai Q x y( , )1 1 trên đường cong, gần với P

+ Vẽ cát tuyến PQ, độ dốc của cát tuyến : msec = độ dốc 1 0

phương và tiến đến một vị trí giới hạn là tiếp tuyến tại điểm P

+ Dễ thấy rằng độ dốc m của tiếp tuyến sẽ là giá trị giới hạn của độ dốc msec của cát tuyến:

1 0

1 0 sec

Hình 2.5

 Khi biến độc lập x thay đổi từ giá trị ban đầu x0 đến giá trị thứ hai x1 Ký hiệu chuẩn đối với sự

thay đổi này là x△ (đọc là ‘‘delta x ’’) :

△x =x1−x0 (5) hay là: x1=x0+△ x (6)

+ Độ dốc của cát tuyến ở trên có thể được viết dưới dạng:

(x + ∆x) −x =x +2x ∆ + ∆x ( x) −x

=2x0∆ + ∆x ( x)2 = ∆x x(2 0+ ∆x) + Vì vậy : msec =2x0+ ∆ x

+ Lúc này : x1→x0 tương đương với ∆ → , và khi đó ta nhận được kết quả như trước x 0

 Tổng quát : đối với đồ thị của hàm bất kỳ y = f x( )

+ Đầu tiên, ta tính độ dốc của cát tuyến qua 2 điểm P và Q ứng với x0 và x0+ ∆ , x

2 4

18 | P a g e

y = f(x)

P Dx

+ Sau đó, ta tìm giới hạn (nếu tồn tại) của msec khi x∆ tiến đến 0 để nhận được độ dốc của tiếp tuyến

của đường cong tại điểm P :

thuộc của nó vào cả x0 và hàm f x( ):

+ Có đường cong không có tiếp tuyến tại một điểm nào đó

+ Khi tồn tại một tiếp tuyến, cát tuyến PQ sẽ tiến đến cùng một vị trí

giới hạn khi Q tiến đến P từ bên phải hoặc từ bên trái : tương ứng với

x

∆ dần tới 0 theo cả hai phía

+ Trên thực tế ta gặp nhiều bài toán (chẳng hạn bài toán tính vận tốc tức

thời cuả một chuyển động) mà mô hình toán học của nó trong quá trình tính

toán dẫn đến việc cần tính giới hạn dạng :

19 | P a g e

3 Định nghĩa về đạo hàm

a Định nghĩa:

Cho hàm y =f x( ), đạo hàm của nó , f x'( ), là một hàm số mới có giá trị tại điểm x được xác định bởi

giới hạn sau (khi giới hạn này tồn tại):

+ Nếu giới hạn tồn tại với x =a, thì hàm số y = f x( ) được gọi là khả vi tại a

+ Hàm khả vi là hàm số khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó

● Chú ý : f x'( ) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f x( ) tại P

dt = = được gọi là tốc độ của chuyển động đó

b Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa:

● Bước 1 Tìm số gia f x( + ∆ −x) f x( ) và tiến hành rút gọn

Ở cách viết thứ hai này, ký hiệu d

dx được coi là một phép toán mà khi tác động vào hàm ( )f x sẽ có đạo hàm '( )f x :

+ Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = , ta viết : 3

+ Một hàm số không liên tục tại x0 thì sẽ không khả vi tại điểm đó

II Quy tắc tính đạo hàm

1 Các phép toán cơ bản về đạo hàm

1 Đạo hàm của hàm hằng: ( )f x = ⇒c f x'( )= 0

2 Đạo hàm của đối số: ( )f x = ⇒x f x'( )= 1

3 Giả sử ( ), ( )f x g x có đạo hàm trong ( ; ) a b

1

x y x

−

=+

y =u trong đó + Ngược lại, bằng việc thay thế u =x3+2 vào 5

y =u ta có thể lập lại (10)

+ Hàm như vậy được gọi là hàm hợp, hoặc đôi khi là hàm của hàm

Nói chung, nếu y là một hàm của u, trong đó u là hàm của x, thì ta nói:

a Hàm ẩn : Hàm y là hàm của x và được xác định bởi phương trình : F x y( , )=0 (*),

không giải được đối với y , nhưng trong đó x và y có liên quan với nhau Khi đó, ta nói phương trình (*)

xác định y như là một (hoặc nhiều) hàm ẩn của x

Chuẩn bị cho Bài số 4

Đạo hàm hàm ngược Đạo hàm cấp cao

24 | P a g e

Bài số 4 ĐẠO HÀM HÀM NGƯỢC ĐẠO HÀM CẤP CAO

I Hàm ngược Đạo hàm của hàm ngược

x f y chính là công thức nghiệm duy nhất của phương trình (*)

c Điều kiện tồn tại hàm số ngược

Khái niệm : Hàm số y  f x( ) được gọi là hàm một – một nếu với x1 x2 thì ta có f x( )1  f x( )2

25 | P a g e

Nhận xét : + Hàm y f x( ) là hàm một – một trên một miền nào đó thì một đường thẳng cùng phương với

trục hoành sẽ cắt đồ thị của hàm số trên miền đó nhiều nhất tại một điểm

hàm số đú sẽ đối xứng nhau qua đường phõn giỏc thứ nhất y x

e Hàm ngược của một số hàm sơ cấp

sin (1 / 3) 2sin (1 / 3) 2

f Đạo hàm của hàm ngược

Cho hàm y =f x( ) là hàm liên tục, một – một trên khoảng ( , )a b Khi đó tồn tại hàm ngược x = f−1( )y xác

định trong lân cận của y0 với y0 = f x( )0 Giả sử y = f x( ) có đạo hàm tại x0 và f x( )0 ≠ , thì hàm ngược 0

0

1( )

x a

=

1'

y x

=

2

1'

y

x

=+

2

1'

Kết hợp với đạo hàm của hàm hợp ta có

 Ví dụ 5 Tìm đạo hàm của các hàm dưới đây:

a) y =sin 5x; b)y =sin x; c) y =cos(2−3 )x4

 Ví dụ 3 Tìm đạo hàm của các hàm dưới đây :

28 | P a g e

a Định nghĩa : Cho hàm số y = f x( ) xác định tại x0 và lân cận của x0 Cho số gia x∆ , nếu số gia của

hàm số ∆ =y f x( 0+ ∆ −x) f x( )0 có thể viết được dưới dạng :

∆ →

∆

=

∆thì ta nói rằng hàm số y =f x( ) khả vi tại x0 và biểu thức A x∆ được gọi là vi phân của hàm số y = f x( )

tại x0 và được ký hiệu là dy Như vậy : dy =df = ∆ A x

b Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân

+ Nếu hàm số y =f x( ) khả vi tại x0 thì nó có đạo hàm tại x0; ngược lại nếu hàm số y = f x( ) có đạo

d

x x

(3x y2 2−2x dy) =(2y−2xy dx3) , + Kết quả :

d Ứng dụng của vi phân trong tính gần đúng (tự đọc)

Xét hàm số y = f x( ) khả vi trong lân cận của x0 ∈( , )a b Theo công thức số gia của hàm khả vi ta có

2 Các qui tắc lấy đạo hàm cấp cao

1) Với bất kì hàm số ,f g có đạo hàm cấp n và , λ à∈ , ta có R

(sin 2 ) 2 ( 1) sin 2(sin 2 ) 2 ( 1) cos 2

Ứng dụng của đạo hàm: Bài toán cực trị

Định lý giá trị trung bình Quy tắc L’Hospital

32 | P a g e

Bài số 5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

2) Cách tìm : + Tìm các điểm tới hạn của  ( )y f x trong đoạn a b; : chẳng hạn là c

+ Khi đó: max ( )[ , ] max{ ( ), ( ), ( )}

a b f x = f a f b f c hoặc min ( )[ , ] min{ ( ), ( ), ( )}

 Chú ý : 1) Nếu hàm số y = f x( ) liên tục trên D, và trên đó nó có duy nhất một điểm tới hạn (là điểm

dừng), và tại điểm tới hạn đó hàm số đạt cực trị

+ Nếu cực trị đó là cực tiểu thì đó cũng là GTNN của hàm số trên miền đó

+ Nếu cực trị đó là cực đại thì đó cũng là GTLN của hàm số trên miền đó

2) Nếu hàm số y = f x( ) đồng biến trên ,a b

  thì luôn tồn tại GTLN và GTNN trên miền đó

Ví dụ 1: Tìm hai số dương mà tổng của chúng bằng 16 và tích của chúng đạt giá trị lớn nhất

Giải: + Giả sử x và y là hai số dương mà tổng của chúng bằng 16

+ Đây là giá trị của x làm cực đại P với giá trị tương ứng của y cũng là 8, hơn nữa tại tại đây P cũng

đạt GTLN và GTLN đó là : maxP 64

x = suy ra GT cực đại của A

+ Giá trị tương ứng của y là 2

A=a

Ví dụ 4: Một người bán hàng dự định bán 500kg khoai tây bóc vỏ với giá 1,5 USD/kg (giá gốc là 70 cent

/kg) Tuy nhiên nếu cứ hạ giá một cent thì sẽ bán thêm được 25 kg Hỏi người bán hàng nên bán với giá nào

để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Giải: + Gọi x là số cent mà người bán hàng đã hạ giá,

+ Lợi nhuận của mỗi một kg khoai tây gọt vỏ là (80x) cent

+ Từ việc xét dấu của dP

dx rồi suy ra GTcực đại của P, và từ đó ta nhận được GTLN của lợi nhuận

+ Giá bán thuận lợi nhất là 1,2USD kg/

II Định lý giá trị trung bình (tự đọc)

 Nhận xét hình học : Giữa hai điểm bất kỳ P và Q trên đồ thị của hàm

số khả vi, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó có đường tiếp tuyến song

song với dây cung nối hai điểm P và Q , nói cách khác : Tồn tại ít nhất

một điểm c nằm giữa a và b, (a  c b) thoả mãn điều kiện:

/ ( ) ( )( ) f b f a

35 | P a g e

1) Định lý 1 (Định lý Rolle). Nếu hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [ ; ] a b và khả vi trong khoảng mở ( ; )a b

và nếu f a( ) f b( )0 thì khi đó tồn tại ít nhất một số c nằm giữa a và b thoả mãn f c'( )0

Ý nghĩa hình học: Định lý này phát biểu rằng nếu một đường cong trơn cắt trục Ox tại 2 điểm, thì

khi đó sẽ có ít nhất một điểm của đường cong này nằm giữa 2 điểm trên mà tại đó tiếp tuyến có phương nằm

Hàm số này có giá trị bằng 0 tại x 0 và x 2, và liên

tục trên khoảng đóng 0;2  Hàm số khả vi trong khoảng mở

(0;2) , trừ điểm x 1 vì khi đó đạo hàm của nó không tồn tại

Đạo hàm '( )f x rõ ràng là không bằng 0 tại bất kỳ điểm nào

trên khoảng đó Đây là một thất bại trong kết luận của Định lý

Rolle vì thực tế là hàm số không khả vi tại điểm x 1

Hàm số bằng 0 tại x  và 0 x  , và khả vi trong khoảng (0;1) 1

Hàm số liên tục trên 0;1, không liên tục tại x  Đạo hàm '( )1 f x

không bằng 0 tại bất kỳ điểm nào trên khoảng này, và trong trường hợp này kết luận của Định lý Rolle

+ Ta có (0)f = f(1)= 0

+ Do đó tồn tại x0 ∈(1, 0) sao cho f x'( )0 = , tức là 0 2

ax +bx + = c

Vậy ta được cần chứng minh

2) Định lý 2 (Định lý giá trị trung bình) Nếu hàm số ( )f x liên tục trên [ ; ]a b và khả vi trên ( ; )a b , khi đó

tồn tại ít nhất một số c nằm giữa a và b thoả mãn:

/ ( ) ( )( ) f b f a

+ Định lý giá trị trung bình sẽ cho ta câu trả lời

3) Định lý 3 Nếu một hàm số ( ) f x liên tục trên khoảng đóng ;a b

  , và nếu '( ) f x tồn tại và bằng 0 trong

khoảng mở ( )a b , khi đó hàm ; f x( ) là một hằng số trên ;a b

 

4) Định lý 4 Cho ( ) f x là một hàm số liên tục trên khoảng đóng ;a b

  và khả vi trong khoảng mở ( )a b ;

Nếu f x'( )0 trong ( )a b , khi đó ; f x( ) tăng trên ;a b

  Tương tự, nếu f x'( )0 trong ( )a b thì ; f x( ) giảm trên ;a b

 

Định lý sau sẽ cần thiết để xây dựng quy tắc L’Hospital

5) Định lý 5 (Định lý giá trị trung bình tổng quát). Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn ;a b

  và khả vi

trong khoảng ( )a b , và giả sử rằng ; g x'( )0 đối với x ∈( )a b; Khi đó tồn tại ít nhất một giá trị c nằm

giữa a và b sao cho: '( ) ( ) ( )

37 | P a g e

III Quy tắc L’Hospital

1 Quy tắc L’Hospital cho giới hạn dạng 0

 Ví dụ 1 :

2 2

x x

 Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng : lim 0

p x x

x e

→∞ = với mọi hằng số p

Giải: + Nếu p ≤0 : giới hạn xác định và giá trị giới hạn bằng 0

+ Với  0p giới hạn có dạng không xác định : ∞/∞,

+ Quá trình này tiếp tục từng bước thì chúng ta sẽ giảm thiểu số mũ tới 0 hoặc tới một số âm, và ta nhận

được điều cần chứng minh

 Nhận xét : khi x → +∞ thì x

e nhanh hơn bất kỳ đa thức nào

38 | P a g e

 Ví dụ 4: Chứng minh rằng: limlnp 0

x

x x

+ Chúng ta sẽ chuyển qua dạng 0/0 và áp dụng qui tắc L’Hospital:

c c

Đọc trước các mục : 5.3, 5.4 chuẩn bị cho Bài số 6

Nguyên hàm và tích phân của hàm số một biến

39 | P a g e

Bài số 6 KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I Nguyên hàm

1 Định nghĩa: Nếu ( )f x cho trước thì hàm số ( )F x thoả mãn

d F x( ) f x( )

được gọi là một nguyên hàm của ( )f x

Quá trình tìm hàm ( )F x từ ( )f x được gọi là quá trình lấy nguyên hàm

+ Một nguyên hàm của ( )f x thì thường được gọi là tích phân không xác định của ( ) f x và phép lấy

nguyên hàm được gọi là phép lấy tích phân

+ Ký hiệu chuẩn cho một tích phân của ( )f x là :∫ f x dx( )

được đọc là "tích phân của hàm ( )f x "

+ Vì vậy : ∫ f x dx( ) =F x( ) cho ta một tích phân , trong khi ∫ f x dx( ) =F x( )+C cho ta tất cả các tích

∫ 10 ∫ tanudu= −ln cos( u)+C

11 ∫ cotudu=ln(sin )u +C

1/6 5/6 5/6 1/6

35