Giải tích hàm một biến phức

Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức Chương 1 số phức

Chương 1

Số phức 1.1 Trường các số phức

1.1.1 Xét tập hợp các cặp sắp thứ tự 2=( , ) :x y x ,y  trên đó khái niệm đẳng thức, phép toán cộng và nhân được định nghĩa như sau :

a ( ,x y = 1 1) (x y nếu và chỉ nếu 2, 2) x1= và x2 y1=y2,

b ( ,x y + 1 1) (x y = 2, 2) (x1+x y2, 1+y2),

c ( ,x y 1 1) (x y = 2, 2) (x x1 2−y y x y1 2, 1 2+x y2 1)

2cùng với hai phép toán cộng và nhân nói trên, theo ngôn ngữ đại số là một trường Ta gọi trường này

là trường số phức, ký hiệu là Mỗi phần tử của trường là một số phức Ta đồng nhất số phức dạng

( ,0)x với số thực x , viết x=( , 0)x Số phức (0,0) là số 0 Trường số thực xem như một trường con của trường số phức Số phức (0,1) được gọi là đơn vị ảo, ký hiệu i , nghĩa là i =(0,1), có tính chất 2

1

i = −

Do (0, )y =(0,1).( , 0)y = , ( , ) ( ,0) (0, )iy x y = x + y = + mỗi số phức ( , )x iy x y có thể viết dưới dạng x iy+

Ta thường nói rằng viết số phức dưới dạng x iy + là thể hiện nó dưới dạng đại số x được gọi là phần

thực của z , được viết là Re z ; y gọi là phần ảo của z , được viết là Im z Dạng đại số của số phức cho

z = z ;

Cho điểm P ứng với số phức z= +  , góc lượng giác x iy 0  từ tia Ox đến OP , được xác định bởi

cặp phương trình cos Rez, sin Imz

= = , được gọi là ac gu men của z Mỗi số phức khác 0 có vô số

ac gu men, ta ký hiệu tập hợp tất cả các ac gu men của z là arg z Nếu o là một giá trị của arg z thì tập hợp các giá trị của arg z là

o+k2 : k  Nếu o là một giá trị của arg z thỏa mãn −  o thì  o được gọi là ac gu men chính của z , ký hiệu

Argz

với r= z và arg z, được gọi là dạng lượng giác (dạng cực) của số phức

Mệnh đề 1.3 Với z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)ta có

(cos+isin ) n=cosn+isinn ( n nguyên không âm)

Ký hiệu hình thức e i: cos= +isin ta viết z=re i và gọi đây là dạng mũ của số phức

Mệnh đề 1.4 Với mọi số phức khác không i

z r

  −

= ; iii) z n =r e n in ( n nguyên không âm)

1.1.5 Cho a là số phức và n là số nguyên dương z được gọi là căn bậc n của a nếu z n = a

c) Từ S = + +1 i +i2018+i2019 có iS= +i +i2019+i2020 , suy ra (1−i S) = −1 i2020= − = Do đó 1 1 00

Nếu z là nghiệm của một đa thức ( )0 P z thì P z( )0 = Từ chứng minh trên suy ra 0 P z( )0 = Do đó 0 z 0

cũng là nghiệm của đa thức ( )P z

Ví dụ 1.3 Cho z z z là các số phức thỏa mãn 1, 2, 3 z1 = z2 = z3 = Chứng minh rằng r

3 2

z z

Do đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.4 a) Mô tả tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

iz −3 = (1 1.1)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của z thỏa mãn điều kiện (1.1)

Giải a) Giả sử M x y( , ) là biểu diễn hình học của z= + ,x iy x y  thỏa mãn (1.1) Khi đó

Tập hợp các điểm M là đường tròn ( ) C tâm (0, 3)I − bán kính R = 1

b) Ta có z =OM Theo câu a) M( )C và điểm O ở ngoài ( )C , OI =3 Theo bất đẳng thức tam giác

mở rộng OM +MI OIvà do đó OM OI−MI=OI − = với mọi R 2 M( )C Dấu bằng xảy ra khi

Giả sử phản chứng rằng 2 2

1

n k k

n k k

b) Chứng minh z−  −1 1 z + z Argz với mọi số phức z

Giải a) Giả sử z=r(cos+isin ) ,=Argz,−   Ta có   



Ý nghĩa hình học: Giả sử M là biểu diễn hình học của z

z , N là biểu diễn hình học cho số 1 , M và N

nằm trên đường tròn đơn vị Bất đẳng thức trên chỉ ra độ dài dây cung MN nhỏ hơn hoặc bằng độ dài cung MN (bằng số đo Argz ) Xem hình 1.2

b) Do kết quả câu a) ta có z− z  z Argz với mọi z  và theo bất đẳng thức a −  +b a b có

z− − − z  z Argz với mọi z  nên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.8 Chứng minh rằng đường thẳng D qua z và 1 z vuông góc với đường thẳng 2 D qua ' z và 3 z 4

nếu và chỉ nếu

1 2

3 4 2

z z Arg

Ví dụ 1.9 Cho z=cos+isin

a) Chứng minh rằng ( )z n+( )z n=2cosn; ( )z n−( )z n=2 sini n

b) Dùng khai triển của 5

(z+z) =( )z +( )z +5 [( )zz z +( ) ] 10z + z z (z+ z)tức là 5 5

2 cos =2cos5 +5.2cos3 +20cos(do zz = ) 1 =2cos5+40cos3−10cos

cos5=16cos −20cos +5cos

(z−z) =( )z −( )z +5 [( )zz z −( ) ] 10z + z z (z−z) tức là 5 5 5

2 i sin =2isin5−5.2isin3+20 sini (do zz = ) 1

= ; c)z4= + z z

Giải a) Giả sử z x iy= + với ,x y  , phương trình đã cho được viết

3 3

Tập hợp nghiệm của phương trình là các căn bậc 4 của 1:−1,1,−i i, 

c) Ta có z =0 là một nghiệm của phương trình z4= + z z

++ (với 1+zw ) là số thực 0

6 Viết phương trình đường A x( 2+y2) 2+ Bx+2Cy+ =D 0, ,x y dưới dạng phức

7 Chứng minh rằng điểm đối xứng của điểm z qua đường thẳng D ax: +by= , ( , ,c a b c  ) được cho bởi 2ic (b ai z)

0

ij

a = với mọi , i j )

b) Hãy chỉ ra một ví dụ rằng kết luận trên không còn đúng nếu trong câu a) chỉ giả thiết rằng các phần tử

của u chỉ là số thực

9 Cho A là ma trận cấp n n  với các phần tử là số phức A được gọi là hec-mit nếu A†= A

a) Chứng minh rằng nếu A là hec-mit thì u Au† là thực với mọi vec tơ cột u cấp n 1 có các phần tử là số phức

b) Chứng minh rằng nếu B là m n ma trận với các phần tử là số phức thì †

12 Chứng minh vectơ z cùng phương với vectơ 1 z nếu và chỉ nếu 2 Im(z z1 2)= 0

13 Chứng minh với mọi z z z sao cho 1, 2, 3 z1 = z2 = z3 = ta có 1

z+  + z + Dấu bằng xảy ra khi nào ?

18 Với mọi z z z z 1, 2, 3, 4 Chứng minh rằng 1 2 3 4

−+

21 Dùng công thức De Moivre chứng minh rằng

1 4

21

i i

01

a) arg(z z z1 2 3)=argz1+argz2+argz3;

b) arg(z z1 2)=argz1−argz2

30 Hãy kiểm tra trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng

a) Argz z1 2 =Argz1+Argz2 nếu z10, z2 ; 0

b) Argz = −Argz nếu z không là số thực không dương ;

31 Chứng minh argz1=argz2 nếu và chỉ nếu z1=cz2 với c là một số thực dương

32 Chứng minh rằng công thức tính arg(x+iy)có thể được tính bởi công thức

1

2arg( ) ( ) 2 , khi 0, 0

2

ˆkhong xác dinh khi 0, 0

34 Áp dụng số phức vào lượng giác tính các tổng

a) S1= +1 cosx+cos 2x+ + cosnx;

S2=sinx+sin 2x+ + sinnx

b) S3=cosx+cos(x+)+cos(x+2 ) cos( + + x+n);

S4=sinx+sin(x+) sin(+ x+2 ) sin( + + x+n)

35 Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì

sin2sin2

n n

z z C z − z

=

37 Chứng minh rằng với mọi n  , n  1 có z1+z2+ + z n  z1 + z2 + + z n Dấu = xảy ra khi nào?

Số phức z được gọi là giới hạn của 0  n , hoặc nói  n hội tụ đến z , nếu với mọi 0   có một số 0nguyên dương N =N( ) sao cho n−z0  với mọi n N  Khi đó ta viết lim n 0

n  z

→+ = Nói cách khác, z là giới hạn của 0  n nếu lim n 0 0

n n

→+ = d) Nếu lim n

z = + i

Giải a)

21

n n

i i

( )

0 1

1123

Dãy  u n có hội tụ không, nếu có tìm giới hạn của dãy?

Giải: Viết u n =x n+iy n với x y  n, n với mọi n  Khi đó

được gọi là một chuỗi số phức

Tổng S n=z0+ + +z1 z n−1 của n số hạng đầu tiên được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.17) Nếu tồn tại lim n

n S S

→+ =   thì chuỗi (1.17) được gọi là hội tụ hay khả tổng Khi đó S được gọi là tổng

của chuỗi (1.17) và viết

0

k k

Định lý 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy của chuỗi số) Chuỗi số phức

0

k k

n z

→+ = ii) Tính hội tụ của chuỗi (1.17) không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn số hạng của chuỗi iii) Tính hội tụ của chuỗi (117) không thay đổi nếu ta nhân tất cả các số hạng của chuỗi với cùng một hằng số khác 0

Chuỗi (1.17) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

0

k k

z



=

 hội tu Chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối

được gọi là bán hội tụ (hay hội tụ có điều kiện) Nếu chuỗi (1.17) hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ

Mệnh đề 1.10 Cho  z n là dãy số phức và giả sử limn

0

in n

z



=

 hội tụ và tổng của nó là 1

1 z−

b) Do e in = với mọi n nên 1 e → in 0 khi n →  Do đó chuỗi

0

in n

a ⎯⎯⎯→ nên 0→+ a k  khi k đủ lớn Suy ra 1 2

0a k  khi k đủ lớn Theo dấu hiệu so sánh có a k

n n n

k n

n k

i S

n

i i

z z

n n

n i n

z



=

ik k

e z k



=

 hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối

8 Cho 2 dãy số phức (u ) và( n v ) hội tụ đến 0 Giả sử tồn tại một số thực  sao cho với n n :

z n

0 0

n k

n

l l k

B z  = z z−z  được gọi là đĩa đóng tâm z0 bán kính

Tập hợp S  được gọi là lân cận của z nếu có một đĩa mở tâm 0 z chứa trong S 0

Điểm z được gọi là điểm trong của tập hợp S 0 nếu có một đĩa mở tâm z chứa trong S Tập hợp 0

các điểm trong của S được ký hiệu là S Nếu mọi điểm của S là điểm trong của nó thì ta nói S là một tập o

US z   Điểm z0 S được gọi là điểm cô lập của tập hợp S nếu nó không là điểm tụ của

S , nghĩa là có một lân cậnU của z0 sao cho U =S  z0 Tập hợp các điểm tụ cùng với tập các điểm cô

lập của S tạo thành tập hợp gọi là bao đóng của S , ký hiệu S S là tập đóng nhỏ nhất chứa S Mỗi phần tử thuộc S được gọi là điểm dính của S

Tập F  được gọi là tập đóng nếu \ F là tập mở F là tập đóng trong nếu và chỉ nếu

F= Mọi đĩa đóng là tập đóng F

Mệnh đề 1.13 Các tập đóng có các tính chất sau

i) Tập  và là tập đóng trong

ii) Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là một tập đóng,

iii) Giao của một họ bất kỳ các tập đóng là một tập đóng

Điểm z được gọi là điểm biên của tập hợp S 0 nếu với mọi lân cận của z chứa ít nhất một điểm 0

của S và ít nhất một điểm không thuộc S Tập hợp tất cả các điểm biên của S được gọi là biên của S , ký hiệu S  Tập hợp S là tập đóng thì nó chứa mọi điểm biên của nó

Mệnh đề 1.14 Tập F  đóng nếu và chỉ nếu với mọi dãy  c n trong F mà lim n

n c 

→ = thì  F

1.3.2 Một tập S  là được gọi là tập bị chặn nếu có số R  sao cho z0  với mọi z S R  Nói cách

khác S là tập bị chặn nếu nó được chứa trong một lận cận nào đó của điểm gốc O

Một tập hợp đóng và bị chặn trong được gọi là tập compact

Mệnh đề 1.15 Các khẳng định sau tương đương trong :

a) S là tập compact

b) Mọi dãy trong S có chứa một dãy con hội tụ đến một điểm trong S

c) Mọi phủ mở của S chứa một phủ con hữu hạn, nghĩa là với mọi họ các tập mở  G I sao cho

1.3.3 Tập hợp A  được gọi là tập con liên thông của nếu mọi tập con khác rỗng của A mà vừa đóng vừa mở chỉ là A

Cho  a b là khoảng đóng của đường thẳng thực Ánh xạ liên tục , : a b, → được gọi là đường cong hoặc cung trong từ điểm đầu ( ) a đến điểm cuối ( ) b và ta nói rằng  nối ( ) a và ( ) b trong

Tập hợp A  được gọi là tập con liên thông đường của nếu với mọi cặp , p q có đường cong A 

trong A với điểm đầu là p , điểm cuối là q

Ví dụ 1.21 Đường tròn z = , R > 0 là tập liên thông đường trong Tập R   1

không liên thông đường trong

Cho w w1, 2, ,w w n, n+1 thuộc Với mỗi k=1, ,n ký hiệu l là đoạn thẳng nối k w và k w k+1 Các đoạn thẳng liên tiếp l1, ,l tạo thành một đường cong được gọi là đường gấp khúc n l1+ + nối l n w w1, n+1

Định lý 1.16 Cho D là tập mở khác rỗng trong Các mệnh đề sau tương đương

i) D là liên thông;

ii) Với mọi cặp ,p q  có đường gấp khúc song song với các trục nằm trong D nối từ p đến q ; D

iii) D là liên thông đường

Ví dụ 1.22 Mặt phẳng phức, đĩa mở là một tập mở liên thông

a) S là tập bị chặn trong vì với mọi z trong S , z 2

b) Vì mọi lân cận thủng của z = trong chứa ít nhất một điểm của S nên 0 z =0 là một điểm giới hạn

của S Đây cũng là điểm giới hạn duy nhất của S

c) S không là tập hợp đóng trong vì điểm giới hạn z =  mà 0 S0 S  S dù là tập bị chặn nhưng

không đóng do đó nó không là tập compact

d) Các điểm của S là điểm cô lập của S vì với i S k,

k  có thể chọn lân cận là đĩa B tâm i

e) Mọi lân cận của mọi điểm i

k chứa ít nhất một điểm thuộc S và ít nhất một điểm không thuộc S do đó i

k là điểm biên của S Điểm z = cũng là điểm biên của S Do đó 0  = S S  0 Như vậy S = cũng S

là tập compact

f) không có điểm trong vì với mỗi i S k,

k  mọi lân cận của nó đều có chứa ít nhất một điểm

không thuộc S Như vậy S =  o Ta có S không là tập mở trong vì S   và S =  o

Bài tập 1.3

1 Cho S là tập hợp mọi điểm biểu diễn a+ với ,ib a b là các số hữu tỷ, nằm bên trong (không kể

biên) hình vuông được tô đậm như trong hình vẽ 1.4

S

O Hình vẽ 1.4 1

a) S có là tâp bị chặn trong ?

b) Tập các điểm giới hạn của S trong là gì?

c) Tập các điểm biên và tập các điểm trong của S trong là gì?

j) Bao đóng của S có là tập compact?

2 Trong cho các tập hợp được mô tả bởi các bất phương trình sau

a) Tập hợp nào trong các tập hợp đã cho là tập hợp mở trong ?

b) Tập hợp nào trong các tập hợp đã cho là tập mở liên thông trong ?

c) Tập hợp nào trong các tập hợp đã cho là tập hợp bị chặn trong ?

d) Mô tả biên trong của các tập hợp đã cho

e) Tập hợp nào là tập hợp đóng?

f) Tập hợp nào trong các tập hợp đã cho là tập hợp compact trong ?

3 Cho z là điểm thuộc S 0 Chứng minh rằng nếu z không là điểm trong của S thì 0 z là điểm 0

biên của S

4 Chứng minh rằng biên của một tập compact trong là tập compact trong

5 Cho ,A B là các tập hợp con của Ta định nghĩa

d A B = z− zAB

là khoảng cách giữa hai tập A và B Cho A compact và B đóng trong Chứng minh rằng

a) Tồn tại aA b,  sao cho ( , )B d A B = − ; a b

7 Cho ,A B là hai tập con compact của Chứng minh rằng A là tập compact trong B

8 Chứng minh rằng nếu  A i i I là một họ tập con liên thông của sao cho i

tập con liên thông của

9 Nếu S và T là các tập mở liên thông thì S  hay S T T  có là một tập mở liên thông không?

10 Ta định nghĩa một tập đóng S  là một tập đóng liên thông (hay còn được gọi là một continuum)

nếu nó không thể được viết như là hợp của hai tập đóng khác rỗng rời nhau (không có điểm chung) Xác định xem tập hợp nào sau đây là một continuum:

Khi z →  thì ( ) z → nên nếu qui ước ( ) P P   = ta xác lập được một song ánh giữa   và S  

Ký hiệu =   là mặt phẳng phức mở rộng Mặt cầu để mô tả số phức như trên được gọi là mặt  cầu Riemann Song ánh z M=( )z được gọi là phép chiếu cầu (hoặc phép chiếu nổi)

Ví dụ 1.25 a) Tìm ảnh của điểm z i= qua phép chiếu nổi lên mặt phẳng phức mở rộng

b) Tìm tạo ảnh của điểm 6 8 10, ,

Ví dụ 1.26 Mô tả ảnh của tập hợp A= z : Rez0qua phép chiếu nổi lên mặt phẳng phức mở rộng

Giải Với z A ta có Rez 0 và 1+ z2 nên ảnh của z nằm trên mặt cầu Riemann và 0

x x x

x y x

z= +  Vậy ( )x iy A  A là bán cầu ( ,x x x1 2, 3)S x: 1 0

Ví dụ 1.27 Chứng minh rằng khoảng cách Euclide giữa hai ảnh ,Z W qua phép chiếu nổi ứng với các

điểm ,z w trong mặt phẳng phức được cho bởi

z w dist Z W

  qua phép chiếu nổi

2 Chứng minh rằng mọi đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức qua phép chiếu nổi được

biến thành đường tròn trên mặt cầu Riemann

3 Chứng minh rằng qua phép chiếu nổi lên mặt cầu Riemann

a) các ảnh của hai điểm ,z − đối xứng nhau qua trục z Ox3

b) các ảnh của hai điểm ,z z đối xứng nhau qua mặt phẳng Ox x 1 3