chương 4 phương trình vi phân

• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.. • Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕx thỏa mãn phương trình.. 2.Nghiệm tổng quát: Nghiệm tổng quát của phương trình

CHƯƠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

• Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y(n) )= 0 trong đó

x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,…,y(n) là các đạo hàm của y

• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm

• Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình

4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 :

4.1.1 Khái niệm:

1 Phương trình vi phân cấp 1 :

Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0

Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có dạng y’= f(x,y)

2.Nghiệm tổng quát:

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ (x,C) thỏa phương trình

3 Nghiệm riêng:

Nghiệm y = ϕ(x,C0) nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) ứng với

một giá trị cụ thể C = Co gọi là nghiệm riêng

4.Tích phân tổng quát : Trong một số trường hợp , ta không tìm được

nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = ϕ(x,C) mà tìm được hệ thức dưới dạng ẩn φ(x,y,C) = 0 Ta gọi đó là tích phân tồng quát của phương trình vi phân

* Đồ thị của mỗi nghiệm y = ϕ (x,C) của phương trình vi phân gọi là

đường cong tích phân của phương trình nầy

* Nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) tương ứng với 1 họ đường cong tích phân phụ thuộc tham số C

* Nghiệm kỳ dị:

Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổng quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị

4.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly :

1 Định Nghĩa : Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có

dạng:

f(x)dx = g(y)dy (1)

2 Cách giải:

Lấy tích phân 2 vế của (1)

∫ f(x)dx=∫g(y)dy

F(x) = G(y) + C

Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0

Ví Dụ 2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy

4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp :

1 Định nghĩa :

Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình

có dạng : y’ = f (

x

y

)

2 Cách giải :

Đặt u =

x

y

<=> y = ux => y’ = u’x + u

Suy ra : f(u) = u + x

dx

du

<=> x

dx

du

= f (u) - u

Nếu f (u) - u ≠ 0 ta có :

x

dx

=

u u f

du

− ) ( Đây là phương trình biến số phân ly

Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân y’ = 2 2

y x

xy

−

Ví Dụ2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ =

x

y

+ sin

x y

với điều kiện ban đầu y (1) =

2 π

4.1 4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 :

1 Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có

dạng y’ + p(x).y = q(x) (1)

trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục

2 Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1)

Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng

y’ + p(x)y = 0 (2)

Đây là phương trình biến số phân ly ,giả sử y = ϕ(x,C) là nghiệm tổng quát

của phương trình (2)

Bước 2 : Xem C là một hàm theo x ,tìm y’ rồi thay vào (1).Từ đó tìm ra C

Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe-x2 (1)

ĐS : y = 2 2

2

x e K

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

Ví Dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x2+1)y’+xy = 1 thỏa điều kiện ban đầu y (0) = 2

ĐS :y =

2

2

1

2 ) x 1 (x

ln

x

+

+ + +

4.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li)

1 Định Nghĩa : Phương trình có dạng : y’ + p(x)y = q(x).yα

trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục, α ∈R

2 Cách giải : • Nếu α = 0 hoặc α =1, phương trình trở thành phương trình

tuyến tính

• Giả sử α ≠ 0 và α ≠1 Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y∝

y-∝ y’ + p(x).y1-∝= q(x) Đặt u = y1- α suy ra u ’= (1- α ) y -α.y’ Phương trình trên trở thành :

u’+ (1-α ) p(x) u = (1- α )q(x)

Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u

Ví Dụ : Giải phương trình vi phân : y’ + x2y4

ĐS : y =

3 3 ln

1

x K x

4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 :

4.2.1- Khái niệm :

Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’)

Nghiệm tổng quát : y =ϕ (x,C1,C2)

Nghiệm riêng :y = ϕ (x, 0

2

0

1,C

2

0

1,C

C là các giá trị xác định của C1, C2 Tích phân tổng quát : φ(x,y,C2,C2) = 0

4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :

y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)

Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng :

y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số)

Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất :

y’’ + py’ + qy = 0 (2)

Giải phương trình đặc trưng :

k 2 + pk + q = 0 (3)

Ta có 3 trường hợp xảy ra :

* ∆= p 2 -4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực khác nhau k1 và k2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :

* ∆ = p 2 -4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k

Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :

y = e kx(C 1 +C 2 x)

* ∆ = p 2 -4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp :

k1 = α + β i và k2 = α- β i Nghiệm tổng quát của pt (2) là :

Ví Dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện

ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1

Ví Dụ 2 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0

y = C1e 1x +C2e 1x

y =eαx(C1cos βx + C2 sinβ x)

Bước 2: Phương trình vi phân không thuần nhất :

y’’ + py’ + qy = f(x) (1)

Phương pháp giải :

* Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng :

y’’+py’ +qy = 0 (2)

* Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1)

* Nghiệm tổng quát của pt (1) = nghiệm tổng quát của pt (2) + nghiệm riêng của

Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt :

1) f(x) =eαxP n (x)

a)Nếu α không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm

nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y = eαxQ n (x)

b)Nếu α trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm

nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =xeαxQ n (x)

c)Nếu α trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm

nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x 2eαxQ n (x)

Ví Dụ 1: Giải phương trình y’’ +3y’ -4y = x

ĐS : y = C 1 e x + C 2 e -4x -

4

1

x -

16 3

Ví Dụ 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y’’ –y’ = e x (x+1)

ĐS : y =(C 1 + C 2 )e 3x + x3 e3x

6

2) f(x) = P m (x) cos β x + P n (x) sin β x :

Nghiệm riêng của phương trình có dạng :

• y = Ql(x) cos β x + Rl(x) sin β x nếu ± i β không trùng với nghiệm của pt

đặc trưng

• y = x [ Ql(x) cos β x + Rl(x) sin β x ] nếu ± i β trùng với nghiệm của pt đặc

trưng ( l = max (m,n) )

Ví Dụ : Giải phương trình :

a)y’’ + y’ = sin 2x

b)y’’+ y = xsinx