Phương trình toán lý part 10 doc

Nguyễn Dinh Trí và Nguyễn Trọng Thái 1971, Phuong trình vật lý - toán, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.. Nguyễn Tú Uyên 1997, Phương trình toán ÿý, Khoa Vật lý, Trường Đại

3.12 Đặt nghiệm dưới dạng :

u(x4)=w(xt)+v(xy), trong đó w có dạng :

Av~ 4, = av, +2 (T- At); 2L L

Khai trién theo b6 ham riéng T) ta có;

Ax?

=- “+ S( T~ At}= si Ent cos

316

“95

Hệ số f,(#) durgc xdc dinh tir diéu kién ban dau:

pt fest + (r- a) tee AeA A)

2 in ke L[, ang — asin A OL -=-2° [xin ing L + (kny 2 ( y

nh eich onan f cain ERE

Tinh tich phan f xsin==

318

Thay vao phương trình ta có:

2ab (Hore, a 2AD

TQ) =3 AG) | a ehh (in -HW ““— ) (nya |

trong đó: 4 = 2 ¢(x)sin ™ ae, mm L

Khi u(x,0) = f(x)=U,:

4)

@)

319

Giải theo w ta được :

v4.2 w=0, w(0) =U, -Uy, w(L) =U, Uy; a

et et U,)oh* [u-u Yeh " wh, awh 2, ~U, xsh "2 ~(U,-U, oh x4(U, —U,)sh

Mã ~(U,~Đ,)eh ny nh x=(U,- -U,bsh(x~„)

(u,- sya metus

320

voi A, “Fh U6 )—w{§)-U, siản de

Trong điều kiện U, =U, =0, Z()=0, ta có :

= fon2¥(1—)sin Ee forth sin ae a L a +

Tính sh SH Ha sin ae {at pith -1) for son dx

Ta có: e” sin bxẩy =

I a+b? (asin bx —bcosbx)

lh emt li caye a Ph*a nh nxt, ah ie as Ehtann a nee

m1 "tr a5, «(cy AC]

u(r.g)= > [ar +B eos (yr +2 inne a Inr+A,,

trong đó các hệ số được tính theo công thức sau:

are — at fl (on <a Ear

u(a,p) = 4, u(b,9) = Bsin 29

Cách giải tương tự câu a

u({a,o)= 4, u(b,9)= Bsin29

Cách giải tương tự câu a, cuối cùng ta thu được:

tu ng,

=> ©, (9) =B, sin ey, = =0,1,2

r1 (r)r/(r)—A2()=0 J2(r)=r" So =2,

325

trong đó hệ số được xác định từ điều kiện biên như sau:

=%,(0)= 8, sin Ea, = nal

eon F tưng A2/,(r)=0

Từ điều kiện biên ta có

=D RB, sin St =f (9) = 8, = [7(e}sin 2 a9

a 2c gin =P 2re a sin =e

4,7, Ta giai phuong trinh:

w “TƯ rag lo<gen’

u(r,0) =u(r,n)=¥,

u(R,o) = Chọn nghiệm có dạng

= “et lồn lee 1 d= > (-1 >I Sey 5H g(x te)

7.3 Gợi ý: vn đụng các đồng nhất thức trong bài tập 7.1:

Oe

(2k +1) 2m

= (1 viêm Ẽ a,

Jy (x)=)

„e) 23" pr(asen) xài )

Công thức cho hàm cos chứng mình tương tự

7.5 Gợi ý: Chú ý rằng, khi thay x=cos69, -!<x<l ta có các đạo ham’ riéng thay đổi

ax sin 00° Gx "sin020 sin0267

Thay vào phương trình ta suy ra kết quả

7.6, Khi x =cosÐ ta có

T, (x) = T, (cos@) =5 | (cos +isinay +(cos6~ isin)" |

= ole" tem |= cos nO = cos n8~C? cos”? @sin’ Ð +

Suy ra: 7,(x}= x" -Ch (1 —x?}+ là đa thức bậc n

7.7 Gợi ý : Sử dụng công thức 7, (x) = coszÐ ta có

“aig

Ma Jse)e= Ju, &)=x)- EU (œ)&

Vay fou (2)de= 2, (2)

Đó là điều phái chứng minh

Ta có: eu (x)ar= fea (x)ar= [rar ()=-x'2,(z)+ 2Jes)4

fur (x)&= Jen6)4+ ig ()#=x⁄.(x)

7.11 Chimg minh các công thức truy hồi của đa thức Legendre

¢ Chứng minh công thức truy hồi thứ nhất:

Theo khái triển: v(a.r)= ER (xp"s

+2 (m4l) Rae Deh (eP" + LAG" =o

Thay n+l=n vao sé hang thir 2, n+2=n vao sé hang thứ ba va n+l=n vào số

hang thứ tư ta thụ được

Slot) Pan (s"— Dame, (sp + F(R (eo Lah (xp + Yhap c0:

Tờ 5 uy = Sar, (xph l= Dnt) (pr a por nal

Thay vào phương trình pự, —(x—p}, = 0 ta có

ot!

Như vay:

Pha (x)= P(x) — P(x):

Pi(x)— xP! (x)-nP,_,(x)=0

7.12 Tìm phuong trinh vi phan dé xac dinh P,(x)

Do hai phương trình đã chứng minh trong bai tap 7.11:

fe (x) = xf, (x)—nF, (x) Pr(z)— xP ha (x) -nP (x) = 0

sau

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Abramowitz M and Stegun LS (1972), #andbook oƒ Mathematical

Functions, 10" edition, New York: Dover Publications

Arfken G (1985), Mathematical Methods for Physics, 3" edition, Academic Press

Đỗ Dinh Thanh (1996), Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục, Hà Nội

Haberman R (1987), Elementary Applied Partial Differential Equations, Prentice-Hall

Heckbert P (2000), Partial Differential Equations, Computer Science - Department, Carnegie Mellon University

Nguyễn Dinh Trí và Nguyễn Trọng Thái (1971), Phuong trình vật lý - toán, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội

Nguyễn Tú Uyên (1997), Phương trình toán ÿý, Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội

Snieder R (1994), A Guided Tour of Mathematical Physics, Utrecht University

Trodden M (1999), Methods of Mathematical Physics, Lecture Notes,

Department of Physics, Case Western Reserve University

335

§1 PHAN LOAI PHƯƠNG TRINH DAO HAM RIENG CAP 2 5

§2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP 2

§3 KHÁI NIỆM CHUỖI VÀ TÍCH PHÁN FOURIER 20

§4 CÁC HỆ TỌA ĐỘ CONG TRỰC GIÁO re 30 Chương II PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

§1 KHÁI NIỆM VÈ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG

§2 PHƯƠNG TRÌNH DAO DONG CUA DAY oo .38

§3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIÊN

§4 DAO ĐỌNG XOÁN CỦA MỘT THANH ĐÔNG CHÁT 48

§5 DAO ĐỘNG VOI BIEN BO NHO CUA MOT SO! CHI

TREO MOT BAU

§6 PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG THUAN NHẬT

§7 SONG AM TRONG CHAT KHI HOAC CHAT LONG

§8 CHUYÊN ĐỘNG SÓNG CỦA CHÁT RĂN „T72

§10 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỌNG CỦA MÀNG o2 77

§11 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẠT, 79

§12 DAO DONG CUA MANG TRON — 83

§13 NGHIÊM D'ALEMBERT CỦA PHƯƠNG TRÌNH H SONG 89 MOT SỐ BÀI GIẢI MẪU

Chương III PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC 115

§1 PHƯƠNG TRÌNH TRUYÊN NHIỆT sao 48

§2 CÁC ĐIÊU KIỆN BẠN ĐẦU VÀ ĐIÊU KIỆN BIEN

CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYÊN NHIỆT 18

§3 PHƯƠNG TRÌNH KHUÉCH TẢN co 118

336

_>

§4 QUA TRINH TRUYEN NHIET TRONG THANH,

PHƯƠNG TRÌNH TRUYÊN NHIỆT MỘT CHIÊU 120

§5 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIÊN CHO PHƯƠNG.TRÌNH

TRUYÊN NHIỆT TRONG THANH HỮU HẠN 123

§6 TRUYỆN NHIỆT TRONG THANH CÓ NGUÔN NHIỆT 126

§7 _ BÀI TOÁN TRUYEN NHIET HON HỢP eee 129

§8 TRUYEN NHIET TRONG THANH DÀI VÔ HẠN co, 132

§9 KHAI NIEM VE HAM GREEN

§10 TRUYEN NHIET TRONG HE TOA ABO TRU

§11 TRUYEN NHIET TRONG TOA BO CAU

MOT SO BAI GIAI MAU

§4 HAM BIEU HOA VA CAC TINH CHAT

§5 PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG MIỄN CHỮ NHẬT

§6 CONG THU TÍCH PHAN POISSON TRONG MIEN TRON

MỘT SỐ BÀI GIẢI MẪU

Chương V CÁC PHÉP BIẾN ĐÓI TÍCH PHÂN ˆ

§1 HAM BƯỚC HEAVISIDE VÀ HÀM DELTA DIRAC :

§2 PHÉP BIẾN ĐÔI LAPLACE 220222 210 22222211210112ee xe

§3 PHÉP BIẾN ĐÓI FOURIER 0 0 0n 2t se

Chương VI HÀM GREEN

§1 KHÁI NIỆM

§2 TÌM HÀM GREEN BẰNG PHÉP BIÉN ĐÔI LAPLACE 220

Chương VII CÁC HÀM ĐẶC BIỆT

§1 CAC HAM TRUC GIAO

§5 TINH TRỰC GIAO CỦA HAM BESSEL ¬.-

§6 _ KHÁI TRIÊN MOT HAM TUY Ý VÀO CÁC HÀM BESSEL 248

HUONG DAN VA DAP SO

TÀI LIỆU THAM KHẢO

“es

Chịu trách nhiệm xuất bản -

Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGO TRAN AI

Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYÊN QUÝ THAO

Chịu trách nhiệm nội dung -

Chủ tịch HĐQT kiêm Giám đốc Công ty CP Sách ĐH - DN

TRẦN NHẬT TÂN

Biên tập và sửa bản ín ;

DO HUU PHU

Trinh bay bia :

HOANG MANH DUA

Chế bản : QUANG CHÍNH

339

CÔNG TY CỔ PHẦN SÁCH ĐẠI HỌC : DẠY NGHỀ

DÙNG CHO CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC VỀ VẬT LÝ

CỦA NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

Vật lý siêu dẫn và ứng dụng Nguyễn Huy Sinh

Vô tuyến điện tử Ngạc Văn An

Tuyển tập các bài tập Vật lý đại cương Nguyễn Văn Hậu

Bạn đọc có thể tìm mua tai các Công ty Sách — Thiết bị trường học ở các

địa phương hoặc các Của hàng của Nhà xuất bản Giáo đục :

Tại Hà Nội : 25 Hàn Thuyên ; 187B Giảng Võ ; 232 Tây Sơn ; 23 Tràng Tiền

Tại Đà Nẵng : _ 15 Nguyễn Chí Thanh; 82 Nguyễn Chí Thanh

Tai Thanh phố Hồ Chí Minh :_ 104 Mai Thị Lựu, Quận 1

Cửa hàng 4818 453, Hai Bà Trưng, Quận 3;