Phương trình toán lý part 8 docx

Tỉnh chất trực giao thứ hai của hàm Bessel Nếu cho điều kiện: Chú ý rằng, nếu v >—1 và p>0 thì nghiệm của phương trình là thực... Vấn đề đặt ra là tìm giá trị của tham sẽ ^2., sao cho p

Khi &; >& về phải có dạng bắt định h 4p dung quy tắc L/Hopital ta có

lim LÀU, (kL) Ji (KL) _ lim ác L9,(6/)7:(80]

Ki eg

2 Tỉnh chất trực giao thứ hai của hàm Bessel

Nếu cho điều kiện:

Chú ý rằng, nếu v >—1 và p>0 thì nghiệm của phương trình là thực

Gia sit k = r , trong dé p [4 nghiém cua phuong trinh (7.57), theo công

thức (7.58) ta đặt k, =k, cho k, +k và coi &; như là biến số, ta có

Jo) an HLA (0) 0) (8) elo)

Khi k, > & vé phi có dạng bất định , áp dụng quy tắc L'Hopital

taco

k z(‡) „<11£/20)=9⁄0)25(8)= 092240] q22

2k

247

§6 KHAI TRIEN MOT HAM TUY Y VAO CAC HAM BESSEL

Hãy tìm hệ số khai triển một hàm tuỳ ý vào chuỗi của cdc ham Bessel

J, Ũ ;] trên đoạn 0< x< # trong 2 trường hợp:

a)p, (¡ =1,2, ) là nghiệm của phương trình J,(x) =0

b)n, Œ= 1,2, ) là nghiệm của phương trình œJ, (x)+ Bx/, (x)=0

Trong §5, đã chứng tỏ các hàm J, (‹ 7] trực giao và chuẩn hoá trên đoạn 0<x<L Khai triển một hàm bất kỳ vào chuỗi các hàm Bessel

2Í =) với hệ số khai triển là a,:

“eg

0, /#7

Poni} nạa- Foal ia 2

Nhân hai về với x/, [«,

a= TE) 5 bres Vu Ja

val

] rồi lấy tích phân từ 0 đến 7 suy ra được hệ số

Người ta gọi khai triển này là thai triển Fourier-Bessel

b) Nếu p, (7=1,2, ) là nghiệm của phương trình

a, (x)+ But! (x) = Theo muc 2, §5 ta co

Vấn đề đặt ra là tìm giá trị của tham sẽ ^2., sao cho phương trình tổn tại

nghiệm không tầm thường trong đoạn [-HI]

Tìm nghiệm của phương trỉnh Legendre đưới đạng chuỗi

y= Sax"

"=0

Thay y vào (7.62) ta nhận được:

5 n(n-1)a„x° - na” + 2Š ngự" -A ru” =0

Thay „=øz+2 vào số hạng thứ hai ta thụ được

[m(n+1)~^]a, ~(m+2)(n+l)a„,, =0, hay là

Khi À=zz+l) phương trình có nghiệm dưới dạng chuỗi đến bậc n Tìm nghiệm tương ứng của phương trình

(a)

250

Bây giờ chuẩn hoá đa thức bằng cách xét bình phương của đa thức

“ea

Với tính trực giao của các đa thức Legendre, c6 thé khai triển hàm bất

kỳ vào chuỗi các đa thức Legendre

4) Các nghiệm của P,(x) đều thực và nằm trong khoảng (~1,+1)

3 Đa thức Legendre liên kết

Tìm trị riêng và hàm riêng của phương trình

{fe} 0-2) reat oye Ered meto)

Thay vào phương trình (7.70), ta được:

sq-°#lÍs- |p —(toa rameter [mmo] =0

4 Tinh trực giao và chuẩn hoá của đa thức Legendre liên kết

Nhân phương trình (7.72) với (1~ x}” tạ có

(I=x'ƒ rr~2(m+1)(1=+}} x*+[á =m(n+0)](D<x}}? <0,

trong đó Vix) và À được xác định theo công thức (7.74)

254

Thay m+1 bang m, ta duce:

Xét phương trình Laplace được viết trong hệ tọa độ cầu

a= 52 (PSN ! Ta rôr ôr} r”sin0 ô0 @) r sin’ 0 de (7.78)

trong dé w=u(r.0.9)

Dùng phương pháp tách biến đặt

u{r,9,p}= R(r).¥ (8,0) (779) Thay (7.79) vào phương trình (7.78) ta có `

Chia hai về cho R(r)¥ (0,9) ta có

và mals sino ]» U oF tay =0,

sin8 Ø8 9) sin’ 6 dy”

Ham ® thỏa mãn phương trình

Agyl taY = ! min ino) Ị oF says 0 (7.81)

Hàm ÿ thỏa mãn điều kiện

Người ta định nghĩa hàm câu là nghiệm của phương trình

nba tt sinÐ 28 | 1_ oy, (n+1), =0

sin8 sinh aa |» Sint a (788)

Đặt x=cos@=> ax =—sinOd@, phương trình (7.86) được đổi sang

biến mới

_—+_ + sing” |, n(n+1)- La P=0

Elles )2|fse)- le So,

Đây là phương trình xác định đa thức Legendre liên kết và đã được giải

ở §7 Nghiệm của phương trình này là

sân eg

P! (cos8)cosp a

PẬ" (cos6)cosmp Pp ome " |

Vậy nghiệm của phương trình (7.83) có đạng

Y,(9.)= 2 (4„cos mẹ + B,,, sin mo) P!")(cos@) = ` C„Ÿ”(6,ø) : m=0

mann trong dé

{t m<0

- |» m>0

Hàm r"(6) = #,(cosÐ} không phụ thuộc vào œ được gọi là hàm đới,

tức là hình cầu chia thành zø+L miễn vĩ tuyến, tại đó đấu của hàm đới được

Voi 2n+1 ham cầu trực giao và chuẩn hoá có thể khai triển hàm

Z(9.@) bất kỳ vào chuỗi các hàm cầu

(0.)= sy, (0,0) = sy SA, cosm@ + B„sinmp) P”'(cos6) (7.87)

Ref "O97 Ref¥"0,6)P Im[¥/"0,6)P

Re[Y,/"(6.¿)J) Re[Y,"(6.4)Jˆ RefY/"(0,6)]" Im[Y/(6.0)JŸ._ Im[Y,"(6.8)J”

sa

2 Dao động riêng của hình cầu

Xét bài toán

Av+Av=0, v=0, Thay toán tử Laplace trong tọa độ cau, ta có

v(r,6,0) = R(r)¥ (80), thay vào (7.89) ta được:

Xét bài toán biên trong đối với phương trình sóng

Avtkwe=0 ; vu, =f (89) (7.100) Nghiệm có dạng: v(z.0,ø)=ÖŠ Š) , Ya we ten Wes (hry) * walker) Y@.@), (7.101

trong đó: /„ là hệ số khai triển " (6,9) theo hàm cdu {¥!” (@.9)}: f

Ey Aue) a0 aon (7.102)

§9 TINH TRUC GIAO CUA HAM CAU

Xét hai hàm cầu ¥, va ¥, trên bề mặt E, với các giá trị tương ứng

2, va A, thoa man phương trình

Agi th ¥ =0; A, % + Aah, =0 ‘apt

(7.103)

sin8 66 2)” sin? ap?

, _ ay, aY, 1 ôY ôy,

If: A, ,.%dQ ° = J: sin0 20 2 fino ot | 4 OO) si sin@d0do

= [J sin 2% + os0h 4 on d9do

sind Bp

6A, diva =~ —(sin@4,)+ ou

263

Nhu vay

J V,A,,}⁄,dQ = -l[Eemarsmar, đQ, (4Q =sin040do)

Ta có công thức Green đối với toán tử hình cầu

J= MK YAg¥ -¥Ay¥ )dQ=0, suy ra

J=(A,~^) [[ftao=0

Ÿ

ViA, #A, suy ra

Jÿras= 0= Tim 8.) ¥,(0,¢)sin @dGdg = 0

bã

Như vậy, đã chứng minh được tính trực giao của các hảm cầu tương ứng với các trị riêng ^ khác nhau

Ở §8 đã nêu lên rằng: nếu +x=m(n+l) sẽ có 2nø+1 hàm cầu

Y,")(6,ø) Để tìm tính chuẩn hoá của các hàm cầu, xét hai hàm cầu có

chung chỉ số n 1a ¥"(0, 9) và Y“°)(6.@) Tích phân chúng ta có

trong đó 6¿ =2 e, =l khi &>0

Tính trực giao của hàm cầu có thể được sử dụng để khai triển một hàm bất kỳ xác định trên mặt cầu E:

264

trong đó các hệ số được xác định theo công thức:

T4 (8.0) pm (cos 6)cos mp sin 04640

u(r,8,9) = x (+2 + 4, ¥,(8,0), 7.108)

HO

trong đó ¥,(0,p) 1a ham điều hoà cầu, nó là tổ hợp tuyến tinh cha 20 +1

Nếu xét bài toán rong r<a thi B,=0, con r>a thi 4,=0, cuối

cùng trong vùng ø<z<# (tức là không chứa điểm 0 và œ} thì kết quả có

cả r” và rn

Bài toán: Cho hình cầu bán kính a đặt vào tâm hình cầu một hệ tọa độ cầu (r,0.p), xét 2 bài toán Dirichlet :

Au=0, r<a, ul = f(8.0); (7.109) Au=0, r>a, ul_, = f(8,0), (7.110)

265

Đi

với f = f (0.9) la hàm đã cho trên bề mặt hình cầu có thể khai triển vào

chuỗi theo các hàm cầu:

/(9.}= Š {A,,, cosmo + B,,, sin mo} P!”” (cos®)

¡=0

Các hệ số 4,„ và 8,„ được xác định theo công thức:

Ihr (8,9) P”" (cos8)cos mpsin 9404

trong đó: C là đường cong kín trong mặt phẳng phức bao quanh điểm £ = 0

266

2 Các công thức truy hồi

Vi phan ham sinh theo p va x ta tìm được

W(p,x)=c”?”? > , - Ze re? )=2(x-p)y đ (sạc 7118)

y, —2pw=0, y,-2(x—p}y =0

Trong mỗi đồng nhất thức (7.116), đặt chuỗi (7.111) vào và đặt các hệ

số của luỹ thừa p” cừng bậc và cho các hệ số bằng 0, ta nhận được hai công thức truy hồi:

267

4

Hi (x) =2nH, , (x); (7.117) H,(x)—2xH, (x) +2, (x) =0 (7.118)

Công thức (7.118) cho phép xác định dạng tường minh của các /7„ (x):

3 Phương trình xác định đa thức Hermite

Ta tìm phương trình thỏa mãn đa thức Hennite /7,(x) Sử dụng công

(ery) the“ y=0 (7.120)

có nghiệm không tâm thường và tăng không nhanh hơn so với bậc hữu hạn của x

Bài toán được giải nếu tìm nghiệm dưới dạng

268

4 Chuẩn hoá đa thức 77, (x)

Ta hãy chứng minh các đa thức Hermite trực giao với nhau với trọng số e* trên khoảng —œ < x< œ và nó có công thức chuẩn hoá là

Xét biểu thức

v= fis XV, (x)e “de =(-1 y.[m.0) le lar

Ap dung công thức tính tích phân từng phản ta có

Trong các ứng dụng, ta thường s sử dung ham Hermite:

wals)=h (xe? A(x)= ie Hol) a

269

tạo nên một hệ hàm trực giao và chuẩn hoá với trọng số p(x}=l trong khoảng -œ< x< œ:

6 Bài toán ứng dụng dao động tử điều hoà

Tim trị riêng và hàm riêng trong trường hợp thế dao động tử

Dua vào ký hiệu

Bea 2mE FAS moe

“eg,

Khi j - 00 tacé a,,, =——a,, tuong ứng với số mũ của hàm khai triển

trong đó C là đường cong kín bao quanh điểm 5 =0

Dưa vào biến mới: ö =1 -Š= đ= x4

như vậy /„(x) là đa thức bậc m: /„ (x) =l+ (x) =l-x

2 Các công thức truy hồi

Phương trình (7.141) duge goi là phương trình Laguerre

Nhu vay, Z,(x) là hàm riêng tương ứng với trị riêng A=ø của bài toán: Tìm trị riêng ^ của phương trình

(xe /Ÿ +tAe'y=00<x<e (7.142)

để phương trình có nghiệm không tầm thường Nghiệm hữu hạn khi x=0

va tang khi x > «© không nhanh hơn bậc hữu hạn của x

Phương trình (7.141) có thê nhận được nêu vi phân n+2 lần hàm z=+”e "` và sử dụng công thức L, (x) = Fo 2 (xe)

ne ax”

18-PTTL A

273

_5 5, đụ ay =4 bo decay = 4 ={x ” ede v= (ver)

5 Đa thức Laguerre suy rộng

Khi nghiên cứu chuyển động của điện tử trong trường Coulomb, bên

cạnh đa thức Laguerre !,(x) ta còn gặp đa thức Laguerre suy rộng /7(x)

Xét hàm sinh

#*(p.x)=——£ '®, s>-l, Œ.145)

18-PTTL 8 274

sa“

Khai triển (7.145) vào chuỗi theo bậc của p:

¥ (x)= E(x)p" ; B= Tae (es) (7.146)

Ip=0 Lặp lại cách làm như trường hợp đa thức Laguerre, ta được

Khi đưa vào hàm z= x”"'e”

được phương trình và vì phân nó m+2 lần theo z ta tìm

az

mẻ

xu +(xt+1-s)u'+(n+1)u=0, us

dx Tinh đạo hàm của E(x)= cu và tính đến phương trình đối với

có nghiệm không tầm thường trong khoảng 0< x <œ, nghiệm hữu hạn khi x= 0 và tăng khi x —> không nhanh hơn bậc hữu hạn của x

275

“age

Các hàm trên duge goi 14 da thite Legendre lin két, P,(x),Q,(x) la

céc da thire Legendre loai I va loại II Các nghiệm trên chỉ xác định trong khoảng -1<x <1

Pe(x)=3(78 3x) PQ) = (78° -1)(I-X), P3(x)=105x(I-x")’

Công thức truy hồi:

5 Da thire Chebyshev loai I 7,(x)

Phuong trình xác định đa thức Chebyshev loại I có dang

(I-z 2 ay _ Txt ays 0 -l<x<l, (7.168) Nghiệm của đa thức Chebyshev loại I:

y=T,(x)=cos(narccos x) (7.169)

279

6 Đa thức Chebyshev loại II U, (x)

Phương trình xác định đa thức Chebyshev loại II có dạng