Phương trình toán lý part 7 potx

ta néi rang fx.gx trực giao nhau trên đoạn a.b với trọng số rx nếu tich ham của chúng bằng không.. đối với tập hợp các hàm ta» là một tập hợp các hàm trực giao trong khoảng 0,1 với hàm

¢, = ad Ire &= 3g Lee dx

Ap dụng cách khai triển trên, xét bộ hàm {100s a sin | hay

tương ứng với nó xét hàm te =| tuần hoàn với chu kỳ 2x xác định trong

khoảng từ [—F,Z] Xét hàm f (x) xác định trong khoảng trên và khai triển

nó vào bộ hàm riêng trong khoang [-L,L]:

mực

fix)= Sige! , (5.15)

ne

211

ms (21, n=O Chú ý, vi fet de= ”

Chuyển sang giới hạn khi # —> e, AA, > 7 ta có

«GAR, * aden 1 Trey tet

Fad= fim, St [1 Oe dg = 5 Jan Jr Ge dé (5.17)

Như vậy, bằng phép thác màn £ ra vô hạn về hai phía ta có

fdas — far free) Je ge ,

cập đến cách làm để nhận được hàm thực của phép biến đổi Fourier của

= an hah | f (E)cos r€dé ta lấn tan | /#(6)sinAS4E

Nếu f(x) 1a ham chẵn, hạng thức thứ hai sẽ bằng không, nghĩa là

Cha y rang: F? = J, 1a phép biến đối đồng nhất

Người ta gọi phép biến đổi Fourier la:

Một cách tổng quát có thể định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ƒ(x):

#Œ)= x le f(E)eO Mae =[thayd = 3,8 =2']

Như vậy, phép biến đổi Fourier 1a phép biến đổi:

F:/G)—”“h>g(y)= Jax [i eras FL FQ] =a(y);

Fay) 29 F(a) ee faves F'Lao)]= £00)

214

Ham Delta Dirac 8(x-x,) me

cap 1 va cấp 2 của nó Dùng hai toán tử (6.1) và (6.2) để xác định đồng nhất

thức Lagrange của hai hàm z{x) và v{x} như sau

[Pry] = [4 (b)u'(6) +4, (6)u(b) |v(6)-[a, ()x(®) +4;(b)v(b) ]a(B) _

-[a (a)u'(a) +a, (a)u(a)|»(a) -[a, (2)y(a)+ a (a)v(a) Ju(a)

216

Trong phương trình (6.11), biến £ được dùng như một biến giả của

phép lấy tích phân và vì thể các toán tử 7, và /; là toán tử đạo hàm đối với š

Để giải phương trình (6.9) với điều kiện (6.10), đặt „(§)=y($) là

nghiệm của phương trình (6.9) với x thay bang & va w thay bằng y trong đông nhất thức Green Như vậy, trong đồng nhất thức Green (6.11) thay

[P(vr) | =[at0)y va’ )x⁄()]y(ð)~[a(ð)v( vn )»#)]»@)-

-[a,(a)x'(a) a}+a(a)» (a) |r(a) -[a,(@) (a)v (a)+a,(a)v (a) ] (a)

(6.13)

Chon *(š) =G (Ex) là hàm Green thỏa mãn điều kiện

12(G(6x)}=ð(x-š), a<É<b, (6.14)

nó là phương trình liên hợp với đạo hàm trong L (đạo hàm theo biến &),

õ(x—§) là ham Delta Dirac có tính chất

(6.14) có dạng 7; (G°(š;x)}= ð(x—š) Theo điều kiện (6.10) ta có

P[y(4).0 (£:x) J, =[a, (4) y ()|¢ (8; x)}- [a, (a) a)y '(a)]G (a x)

trong đó Œ”(§;x) là hàm Green thỏa mãn phương trình

E(G (E:x))=8(x-8), a<E<b, với các điều kiện biên

B [ơ ]=ơ (ax)=0 81G ]=G (b;x) =0 (6.19)

Như vậy, để tìm nghiệm của phương trình (6.9), ta đi tìm hàm Green

Œ (§:x) Đó chính là phương pháp tìm nghiệm mới, được gọi là phương

phdp ham Green

218

Tết

Nhằm mục đích xây dựng phương pháp hàm Green, tạ đưa ra hai hàm

Green Œ và hàm Green liên kết Œ` thỏa mãn các toán tử 7, và /j cho bởi

phương trình (6.20) và (6.21) sau:

tơ (x:š)=ô(x-š) asx<b, (6.21)

với các điều kiện biên:

BG |=G'(ax)=0, BG ]=C (b:x)=0

Trong các phương trình trên, các vi phân lấy theo biến x Các toán tử

(1,,B,.B,) có dạng liên hợp của nó là (/;,B;,B;), điều kiện biên liên hợp

Để chứng minh tính đổi xứng trên, nhân phương trình (6.20) với

đ`(x;/) và sau đó thay biễn š trong phương trình (6.21) bằng biến ¿, rồi

nhân phương trình (6.21) với Œ`(x;š) ta thu được:

Tu dé suy ra (6.22) va goi la tink chất đối ximg cua ham Green

Như vậy nghiệm của bài toán Dirichlet (6.18) cé dang

y(x) = i (Ex) ƒ ()4 = J6) (x)œ (6.25)

219

§2 TIM HAM GREEN BANG PHEP BIEN BOI LAPLACE

(6.27)

Lich = foeas = G(s) Thực hiện phép bién déi Laplace cho hai về phương trình (6.27) ta thu được

Lẫy phép biến déi Laplace ngược ta thu được

G=G(x;š)= A+ Bx+(x—E)H(x-§), (6.29)

H(x-&) là hàm bước đơn vi Heaviside; A và B là các hằng số tùy ý

Phương trình (6.29) cho thay: néu a<x <€ thi H(x-§) =0, do đó

Œ= 4+ Bx Từ điều kiện Ơ(a) =0, ta có

G, (x:6) =e" | —— l[e'T=e*], ;(x6) [sa = š<x

Xét hàm Green liên kết thỏa mãn phương trình

Hoặc có thể biểu điễn dưới dang gon hon

Gi(s6)=£ eat ene xe

“ok er

G=G (x;š)=

G(x;§)= el fale -e'), Bex (6.38)

221

ott

Nhận thấy: Nếu tráo hai biến x va & wong biéu thitc (6.35) ta cé G, dung bing G} va G, ding bang G/ Như vậy, có thể viết G(x;š) = G' (6x)

Đó là tính đối xứng của hàm Green

Giải phương trình sau với dụng ý đổi biến lấy đạo hàm

G(0:x) = G(L;x) =0

ta thu được phương trình

| °

# Sat ene } x<&

Vậy Œ(§:x)=Œ (x:š) Tương tự, phương trình xác định hàm Green

® Ở=G(x;Š) thỏa mãn phương trinh L,(G)=8(x—&) theo biến x;

© GŒ=G(š:x)=Œ(x;š) thỏa mãn phương trình £,(G)=8(&-x)}

a<xsb xác định hàm Green liên hợp Hoặc cũng có thể giải thích là:

G(x;Š) thỏa mãn phương trình /G(x;Š}=ð(x~$), œ<x<b theo biến

*, và cũng thỏa mãn phương trình xác định hàm Green liên hợp

TG(x:š)=ð(š—x).œ<š<b nhưng theo biến š Cũng có thể dùng hai

Trong truéng hop Z, Ja toán từ vi phân tuyến tính cấp 2 tự liên hợp ta

có 1, = 1„, vì thế G(x;š) = GÌ (x:š) Trong trường hợp nay, ham Green đối xứng theo š và x Vì đ '(<š)=G(6;x) nên suy ra G(x;š)=G(§;x)

Tiếp theo dùng trường hợp riêng để viết dưới dạng tự liên hợp cho các phương trình tuyên tính cấp 2

Xét toán tử vi phân tuyến tính cấp 2 tự liên hop L, = 7} Mọi phương trình vi phân tuyên tính cấp 2:

L(y) = a(x) 23 +4 (4 +a, (x)y, a, (x) #0

có thể viết dưới dạng tự liên hợp

#J»]= Er) 2) 4(x)y=0

223

at

Chương VII

CAC HAM DAC BIET

§1 CAC HAM TRUC GIAO

1 Dinh nghĩa hàm trực giao

Xét tích của hai vector khác không và thực hiện toán tử là phép lấy tích

vô hướng của hai vector đó:

[r(2) P (w)de <4 (7.3)

224

2

Công thức trên nói lên tính hữu hạn của hàm ƒ Tương tự với tích vô

hướng cua hai vector ta néi rang f(x).g(x) trực giao nhau trên đoạn (a.b) với trọng số r(x) nếu tich ham của chúng bằng không Tích hàm

bằng không có nghĩa là diện tích bị bao bởi đường cong y =z(x)/ (x)g(x)

trên đoạn x =ø, x=ñ băng không

Một tập hợp hoặc một chuỗi các hàm

được gọi là đrực giao trên đoạn (a,b) voi diéu kién ham trọng số r(x)>0,

nếu cho mọi giá trị nguyên của w và m (n#m) thi tich ham cua hàm /,

và f, thỏa mãn điều kiện

(2./2)= [*G)/2(x)2,(x)=0, MEN (7.49#

Ở đây tích hàm bằng không cho tất cả các giá trị tổ hop cua m va n

với nzm Nếu chuỗi của các hàm (9) n=0,1,2 là một chuỗi trực

giao có thế viết biểu thức tích hàm cho các cặp số nguyên m và ø thỏa mãn môi quan hệ

g„(

Vi du I: Tập hợp các hàm trực giao {sin mm voi n=1,2,3, 1a tap

hợp các hàm trực giao trên đoạn (0.7) với ham trọng số r(x) =1

Giải, Thật vậy, theo định nghĩa tích hàm

+

L EL} 3 L

15-PTTL A

225

Chú ý rằng, chuỗi NT] cũng là một chuỗi trực giao

Ví đụ 2- Cho n=1,2,3, đối với tập hợp các hàm ta») là một

tập hợp các hàm trực giao trong khoảng (0,1) với hàm trọng s6 r(x)=1

Giải Thật vậy, theo định nghĩa tích hàm:

"se 26,

Kết quả này có thể được chuẩn hoá bằng cách dùng ký hiệu tích hàm

0, mn cos cos = + m=n#0 (7.7)

L, m=n=0

Tập hợp các hàm trực giao được viết |heos | đối với n =1,2,3,

rõ hơn là dạng được viết em) đối với m=0,1,2,3, bởi vì chúng ta muốn nhắn mạnh rằng trường hợp n=0 có dạng chuẩn bình phương khác

Tích hàm gắn với các hàm thực liên tục t (x),g(x) va tap hợp các hàm

IZ|=0 nếu và chỉ nếu ý =0

2 Quá trình trực giao hoá Gram-Schmidt

Một tổ hợp tuyến tính của một tập hợp các hàm { //(x), /2(x) ⁄„(x)} được viết:

e/(x)+e,2(x)+ +e,/2(x),

trong đó c,,e;, c„ là các hằng số tùy ý

Nếu các hằng số không bằng không, trong đó có thể tìm thấy một số tổ

hợp tuyến tính của hàm {4,0} bằng không thì tập hợp các hảm nay la phu

thuộc tuyên tính Ngược lại nêu chỉ một tổ hợp tuyến tính bằng không với

mọi x khi đó e =ec, = „=0, ta nói rằng tập hợp các hàm {f, (x)

=l,2, m là độc lập n tuyển tính Một tập hợp vô hạn được gọi là độc lập tuyển tính nêu mọi tập hợp hữu hạn là độc lập tuyến tính Nhận xét rằng, nếu tập hợp (ha (x} là một tập hợp trực giao thì nó sẽ là một tập hợp độc

227

lap tuyén tinh Đề chứng tỏ điều đó, giả sử có số hữu hạn ø tổ hợp tuyến tính của chúng băng không:

CAs) +o (x)+ +6,f,(x)=0

Nhân cả hai về của phương trình này với hàm r(x) f,(x) trong dé k

là số cố định và ] < £< ø sau đó thực hiện phép lấy tích phân đối với các

hàm trực giao, ta có

(0.95) (6.)+3 +e(- %)+ +e()=09 (7.9)

Xét mỗi tích hàm của phương trình (7.9) và chỉ chú ý đến hạng thức khác không ở về trái của phương trình này Đó là hạng thức thứ & với tích

hàm khác không e,(/;./,)= ||, |” Phương trình (7.9) rút gọn thành

€|l2|Ÿ =0, suy ra c, =0 Từ đồ cho & =1.2, ta có thể chỉ ra tất cả các

e, là bằng không, Chứng tỏ tập hợp trên là độc lập tuyến tính

Một tập hợp trực giao các hàm {s.@)) có thế được xây dựng từ một

tập hợp các hàm độc lập tuyến tính không trực giao , (x)} Diéu nay duge thực hiện băng cách định nghĩa các hàm

#(*)=.6()¡ #(x)= ñ(x)— #6),

trong đó: cụ, được chọn để tích ham (g,.g,) bằng không

Hàm tiếp theo được đặt

82(2)= AC) e808) G8 (2)

trong dé: c,,.¢,, durge chon dé tích các ham (¥,.2,),(g,.83) bang khéng

Ham tiép theo duge dat

#(z)= SÁ)— 6a (*)~cgi (x)— ca (x), trong đó: cạ,c„;vàc„ được chọn để các tích hàm (#,.g;).(#,-#;}

và (ø;.g,) bằng không

Tiếp tục cách làm như thế cho hàm thứ ø ta có

Mỗi một hằng SỐ tròng các hằng số đụ VỚI k=0,1,2, ,m~1 được chọn

để cho tích hàm (8„.#,„)=0.m=0.1/2, —1 Quá trình này mang tên là

quá trình trực giao Gram-Schmidt Bằng cách xét hạng thức tổng quát ta có thê đòi hỏi tích hàm tổng quát bằng không hoặc

228

Như vậy, ta tìm thấy mỗi hệ số chưa biết trong quá trình trực giao

Gram-Schmidt được cho bởi tích hàm chia cho bình phương của chuẩn

Ví dụ 3: Từ tập hợp của các hàm độc lập tuyến tinh f,(x)= x";

z=0,1,2 ta xây dựng được một tập hợp các hàm trực giao trong khoảng

(T11) với hàm trọng r(x)=1 Bắt đầu tiến trình trực giao Gram-Schmidt bằng cach dat g,(x)=f,(x}=1 va cht ý II =2 Tiếp theo, đặt

#(x)= /4(*)—€¡#,(x) với cạ được chọn sao cho (g,„ø,}=0 ta được

Nhận xét ring, hang sé ¢, duge cho béi tich ham chia cho binh

phương chuẩn Số hạng tiếp theo trong tập hợp trực giao là:

trong đó hệ số được chọn sao cho cả hai tích hàm (gạ.ø;) và (g¡.ø,) bằng

không Hệ số này tìm được bởi tích hàm chia cho bình phương chuẩn, tức là

&(x)= Fx va les “is

Tiép tục như trên, ta được các hàm tiếp theo:

xác định trên khoảng 4<z<b chứa một tham số A và bị ràng buộc ở điều

kiện biên ở mỗi điểm có “ne

Điều đó được biểu thị bằng hệ thức B? +B? #0 va B? +B? #0 Phuong

trình vi phân (7.10) cỏ một tham số À và một toán tir vi phân tự liên hợp 230

“Ost eg

L(y) Các hệ số trong phương trình (7.10) là ø(x), ø(x), g(x) va r(x)

là thực và liên tục với đời hỏi ø(x) >0, r(x) >0 trong khoảng # < z <b

Khi điều kiện biên (7.11) được thay thế bởi điều kiện biên tuần hoàn

1) Chúng ta chỉ xét nghiệm liên tục khác không cho hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville cho bởi phương trình (7.10) có thể không có nghiệm, có một nghiệm duy nhất hoặc có một số vô hạn nghiệm Số và loại của nghiệm phụ thuộc vào giá trị được chọn ^ Tham số ^ sẽ được chọn sao cho thu được nghiệm không âm

2) Giá trị của ^ để nghiệm tôn tại và khác không được gọi là tri riéng Tập hợp các trị riêng kết hợp với bài toán Sturm-] Liouville duge goi la pho của bài toán Nếu tật cả các trị riêng là thực và có một số vô hạn các giá trị riêng ký hiệu là ^,.À„ À„ trong đố ^À¡ là trị riêng nhỏ nhất “và

À„ ->œ khi œ—>œ thì hàm số khác không tương ứng với các trị riêng được gọi là các hàm riêng, Đối với mỗi trị riêng „ tương ứng có một hàm riêng được viết là y„(x)= y(x;^„) Nhận xét rằng, nếu y„ là một hàm riêng thì

cy„ cũng là một hàm riêng, với hằng số c0 Đôi khi để cho tiện, người ta

Chuỗi vừa biểu diễn được gọi là chuỗi Fourier tổng quat, còn các hằng

số c„ được gọi là các hằng số Fourier Có thể chỉ ra các hệ số Fourier được cho bởi một tích hàm chia cho bình phương chuẩn Nếu 1 =1,2,3 ta c6 thể viết

>

r(x) f(e)y, (x) de

¢-¥ dis 7 ———, (7.17)

6) Hệ Sturm-Liouville được gọi là mội hệ đầy đủ nếu các hệ số trong

phương trình ví phân thỏa mãn p(x) >0, g(x) > 0 và z{x)>0 ở mọi nơi,

và điều kiện biên (7.11)

7) Nếu một trong các điều kiện day đủ đã cho trong tính chất 6 là không được thỏa mãn, thì hệ Sturm-Liouville được goi la hé Sturm-Liouville don

Vi du, ham P(x) biến mất ở các điểm mút; hoặc một trong các hàm

P{(x) 4(*) r(x)có giá trị vô bạn ở các điểm mút; hoặc tất cả các điều kiện

biên bằng hang số, hoặc bằng không; hoặc một hay cả hai điểm mút a, & trở nên

vô hạn thì hệ Sturm-Liouville ở trên được gọi là một hệ Sturm- Liouville đơn

Để chứng minh tính chất trực giao, bắt đầu với giả thiết rằng, cho hai trị riêng khác nhau 4, và À„ ứng với bai nghiệm riêng khác nhau, khác không

y„(x) và y,(x) của phương trình vi phân f(y)=-Ar(x)y, trong đó

L(y) là toán tử vi phân tự liên hợp được xác định trong công thức (7.10)