Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ pdf

Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng... Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng n

Chuyên đề 2:

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng

từ đẳng thức (1) ta suy ra:

ca bc ab c

b a c b

(   2  2 2  2  

Mở rộng:

n n n

n

a a

a1 2 )2 12 22 12 2 2 1 2 2 1

Tổng quát:

n b n a n

a B b B b

a )  ( )   ( )  (

CÁC VÍ DỤ :

Ví dụ 1:

Cho x+y=9 ; xy=14 Tính giá trị của các biểu thức sau: a) x-y ; b) x2+y2; c)x3+y3

Giải

suy ra x-y = 5 b) (x+y)2

=x2

+y2

+2xy

suy ra x +y =(x+y) -2xy = 9 -2.14 = 53

c) (x+y)3= x3+y3+3x2y+3xy2= x3+y3+3xy(x+y)

Nhận xét:

1 Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng

nhau.Ngược lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phương bằng nhau

( A – B)2= ( B – A )2

2 Để tiện sử dụng ta còn viết:

( A – B)3 = A3- B3 - 3AB(A-B )

Ví dụ 3:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Giải :

A = x + 9y + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26

= ( x2- 10x + 25) + ( 9y2 - 30y + 25 ) + 1 = ( x -5)2+ ( 3y-5)2+ 1

Vì (x-5)2

3

5

3

5

 )

Ta viết min A = 1

Nhận xét :

1 Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau

Chẳng hạn:

2 Bình phương của mọi số đều không âm :

( A – B )2

Ví dụ 4:

đa thức của biến y trong đó y =x+ 1

Giải: thay x bởi y-1, ta được :

1x2- 5x +3 = 2( y – 1)2- 5( y-1 ) + 3

= 2 ( y2

- 2y + 1) – 5y + 3 + 5

= 2y - 9y + 10

Ví dụ 5:

Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?

+1)(24

+1)(216

+1)

B = 232 Giải:

Nhân hai vế của A với 2-1, ta được :

A = (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

A = 232-1 Vậy A < B

Ví dụ 6:

Rút gọn biểu thức :

A = (a + b + c)3 + (a - b – c)3 -6a(b + c)2 Giải :

A = [a + (b + c)]3 + [a – (b + c)]3- 6a(b + c )2

= a3+ 3a2(b + c) + 3a(b + c)2+ (b + c) + a3-3a2(b + c) + + a3

- 3a2

(b + c) + 3a(b + c)2

- (b + c)3

- 6a(b + c)2

= 2a3

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)

Bài 6:

Tính nhamh kết quả các biểu thức sau:

a) 1272

; b) 98.28 - (184 - 1)(184+ 1) ;

c) 1002 - 992+ 982- + 22- 12

d) (202+182+ +42+22) – (192+172+ +32+12) ;

2 2

75 125 150 125

220 780







Bài 7 :

Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :

2 2

246 254

242 258





462;

a) D = (502+ 482+ +22) – (492+472+ +32+ 12)

Bài 8 :

Bài 9 :

x2+ 2x + 4n- 2n 1+2 = 0

B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :

Bài 10 :

Rút gọn các biểu thức :

b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3;

c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ;

Bài 11 :

Tìm x biết : 6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0

Bài 12 :

Chứng minh các hằng đẳng thức : (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)

Bài 13 :

Cho a+b+c+d = 0 Chứng minh rằng :

a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) Bài 14 :

Cho a+b = 1 Tính giá trị của M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2)