Chuyên đề hsg phần giới hạn 11

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎIa a do bất đẳng thức AM-GM... chuyển qua giới hạn ta được:... TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN Bài 1... Bằng phương pháp quy

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

a a

(do bất đẳng thức AM-GM)

Nếu a  thì 0

12

a a

 (do bất đẳng thức AM-GM) nên

12

a a

.Nếu a  thì 1 a  Ta chứng minh: 1 2 a n 2,    n *

tăng Hơn nữa  a n

bị chặn trên bởi1, thật vậy

khi n  , với  là số thực cho trước

Hướng dẫn giải

Dễ dàng chứng minh được x n 0,  bằng qui nạp.n 1

Ta có

, 2

n x

  

Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp 2

1 lim

2

n n

n x

c n



   

n x

  

.Nếu   thì 2

với n 1, 2, .Theo quy tắc

sau: giải nghĩa cái đó là: 1

  

Hướng dẫn giải

2 1



và áp dụng công thức sin 2a được:.

2

2 n

1

2

20092010

U S

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 8. Cho dãy số u n

xác định bởiu 1 1,

2 1

, 1

n n

.HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Chứng minh bằng quy nạp toán học

giảm và bị chặn dưới bởi số tan 0 0

và bị chặn trên bởi số tan 4 1.

.Chứng minh dãy số  y n

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

n

z 

.Vậy   là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.2

Bài 10. Cho dãy số  y n

thỏa mãn y1 0,y n31 y1y2 y n,  n 1Chứng minh rằng dãy số

n y n

1

( 1)

y n n

u

u u

k k 



n n

1

1,2013

n n

( 2013)( 2013)( 2013) ( 2013)

a a

Vậy limv  n lim 1

2 2 2

1 2

lim

n n

n n

Đặt a n  2 b n Từ giả thiết suy ra lim (5b n1 3 ) 0b n 

Với số dương  bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với n N thì ta có:

Tóm lại luôn có b n  , hay lim( ) 0 b  n

n n

Giả sử u k 2,  , khi đó k 1 u3k1 3u k1 2u k  2 2 2  nên.

chuyển qua giới hạn ta được:

.12

n n

x      x   x x

.phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2

Suy ra dãy  x n tăng và không bị chặn trên nên limx  n

Bài 21. Cho dãy số  x n

được xác định bởi x1 2016,x n1 x n2 x n1,n1, 2,3, a)Chứng minh rằng  x n

tăng và limx  n b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt 1 2

Vậy (1) đúng với mọi n Từ  x n

tăng ngặt và x n     suy ra limn 1, n 1 x  n .

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng x n     (1).n 1, n 1

Thật vậy, (1) đúng với n  Giả sử (1) đúng với 1 n n  ( 1) thì.

Bài 22. Cho dãy  a n n1

u n

1

1( 1)

n         n 

Bài 24. Cho α>2 và dãy số (x n) với: { x 1 = α ¿ ¿ ¿ ¿

.a) Chứng minh: x n>1 với ∀ n∈N¿

.b)Chứng minh dãy số (x n) có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Suy ra: x k+2<x k +1 Vậy (x n) là dãy giảm.

(x n) lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.

n

x

x x

Vậy lim x n=1 .

Bài 25. Cho dãy số  u n

được xác định: { u 1 =2011 ¿ ¿¿¿

.Chứng minh rằng dãy số  u n

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

Hướng dẫn giải

.Vậy lim un=2010 .

     b) Chứng minh rằng  u n

có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

     

.( vô lí vì  u n

là dãy đơn điệu tăng và u  ).1 1Suy ra: nlim u n

Từ hệ thức truy hồi suy ra 2 u u n n1u n22013

Bằng quy nạp chứng minh được u > 0, với mọi n n

n n

x x

9

3 46

12015

n

x x

n

x

x x S

1( 1)( 2)( 3) 1

n n

20162015

b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt 1 3

13

n n

x x

9

3 46

3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Bài 1. Cho dãy số  a n

u x n



(n  *) hội tụ và giới hạn của nó khác 0.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có dãy số  u n

là dãy số dương và tăng(1)

n n

v u

 (n   ), ta có lim* v  n 0

4

4 3

3

n u

n  (sử dụng trung bình Cesaro).

Ta có

4 4 3 3

4khi

34

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 2F n1.1F n2

Bài 3. Cho dãy số  u n

được xác định như sau.

1

* 1

Ta có    

2 '

12

1 0

n

x x

n n

y a

2 2

n

n n a

Bài 6. Tính các giới hạn sau:

a)

3 2 2

8lim

4

x

x x

lim

1

n x

a Lim

1 5 9 (4 3)

n

n n

cos 5limcos 3

x x x

x x

n i

n n i

( 1)(2 1)6

n i

1

2

n i

n n i

1 sin 0

0

cos 5 cos3lim 1

cos5 cos3 2sin 4 sin sin 4 sin 8

cos 5limcos 3

x x x

x

e x

1 3

3 2011 20091

n n

y a

ta có y  và.1 1

2 2

n

n n a

Bài 14. Cho dãy số  x n

Bài 15. Cho dãy số thực  x n

:

1 1

31

5 3 510

  

( c hữu hạn).

Cũng từ 1 2 2 1

n n

Do đó

2 0

1 1 ( 1) (2 1)

6

n k k n

4( ) 1

suy ra dãy(x2n1) tăng và dãy(x2n)giảm suy ra (x2n1),(x2n) là các dãy hội tụ.

Giả sử limx2n a;limx2n1b a b ( ,  1)

Từ x2n1f x( 2n) limx2n1lim (f x2n) bf a( )

Từ x2n2 f x( 2n1) limx2n2 lim (f x2n1) af b( )

Giải hệ phương trình

41

411

k 

)k+1

31

k 

)k+1.Bất đẳng thức cuối này đúng vì :



= 3

Vậy (*) đúng với n k  Do đó 1 ! 3

n n

n n

Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương

14

5 10

,5

b) Chứng minh

,2

n

 Đặt

k k

Bài 3. Cho dãy số thực   1

u n

e

e e

e e

e e e u

Quy nạp ta được dãy u2n1

giảm và dãy u 2n

tăng

Hơn nữa 1 u n 0,  nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn.n 2

Giả sử limu2n a,limu2n1b a b  ,  1;0 

, lấy giới hạn hai vế ta được

1

a a

b

ae b

.Hàm h t  2 1  t ln 1 t  1 tlnt t t ln nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm,

nhận thấy

12

b 

.Vậy

Bài 4. Cho dãy số  a n ,n 1

Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh

12

 (*) đúng với n  1

Giả sử (*) đúng tới n k  , k *, nghĩa là có :

1cot

Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1 Thật vậy

2 1



  

Bài 6. Cho phương trình: x n x2 x1 0 với n ¿ N, n 2.

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n  , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất 2 x n

2)Xét dãy số sau đây: Un n x n1

, n 2,3, 4, Tìm limU ? n

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: f x  x  n

−x2−x−1=0 , với n nguyên, n  (1).2+) Ta có: f x’  nx n 1– 2 –1x

Do n  , nên khi 2 x  thì 1 f x ’  0 Vậy f x 

là hàm số đồng biếntrên (1;+∞)

Lại có: f  1   ; 2 0 f  2 2 – 7 0n  ( vì n nguyên và n 2 ⇒ n ¿ 3)

Ta có: f    1 f 2  và 0 f x  liên tục, đồng biến nên phương trình f x   0

có nghiệm duy nhất trên

(1;+∞) .

+) Mặt khác với 0  thì x 1 x n x2 ( do n  ) suy ra 2 f x   0 với mọi 0  x 1

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n  2

Gọi x là nghiệm dương duy nhất của phương trình n x n –x2 – –1 0x 

Bây giờ xét dãy U n

20122013

2 2



0

Gọi a là nghiệm của :

12

5,

n n

* Giả sử limu n a1 a   Từ   

2 1

5

n n

n

u u

n n

1 2

n n

b) Với dãy ( )x xác định như trên, xét dãy n ( )y n n0 xác định bởi y n x0x1 x n n 0 Chứngminh rằng dãy ( )y n n0có giới hạn hữu hạn khi n   Hãy tìm giới hạn đó.

F a

Hướng dẫn giải

Giả sử x x1, , ,2 x đã được xác định Khi đó m x m1 được xác định khi x  m 1

* Nếu x  thì do m 1 1

11

m

F x

F



,

3 1 2

m

F x

i

m i

i

F x

u vz x

z





 dần tới u khi n   (do z  ) n 0

Tức là trong trường hợp này

5 1lim

1

( 1)

y n n

không bị chặn trên thì limS  n

Từ giả thiết ta có S u n1 n1u n S u n nu n1,n2,3,

Từ đây ta thu được S u n nu n1S u2 2u n1, 2,3,

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limu  n 0

Bài 15. Cho dãy số ( )u n

xác địnhbởi công thức truy hồi:

1

* 1

1

.1

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

bằng

1

2

Bài 16. Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:.

x n

Bài 17. Cho dãy số  x n

được xác định như sau

Dễ thấy x  , với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự n 0

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên

Ta chứng minh x n 8,   n *

Thật vậy, với n 1 x1  nên điều cần chứng minh đúng.1 8

Giả sử ta có: x  , với n nguyên dương Ta cần chứng minh n 8 x n1 8

Theo công thức xác định dãy số có:

Do đó x  với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh n 8

Bài 18. Cho dãy số thực  a n

xác định bởi

2 1

Xét hai dãy số mới

 

1 2

2 1 1

14:

310:

là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó cógiới hạn hữu hạn limx n  

Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

, ta cũng có limy  n 1

Cuối cùng ta chứng minh x n a n y n,   (1) bằng phương pháp quy nạp:.n *

Ta có x1a1 y1 và a2 x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k,k 2,tức là x i a i y i, i 1, 2, ,k Khi đó.

Từ x n a n y n n, ,n1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lima  n 1

Bài 19. Cho hai dãy số    a n ; b n

n n n

2 1 1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được a n0;1 ,    n *

+ Xét hai dãy số mới

 

1 2

2 1 1

14:

310:

là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó cógiới hạn hữu hạn limx n  Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

- Cuối cùng ta chứng minh x n a n y n,   (1) bằng phương pháp quy nạp:.n *

Ta có x1a1 y1 và a2 x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k,k 2,tức là x i a i y i, i 1, 2, ,k Khi đó

Bài 21. Tìm giới hạn:

1lim(2014 )

n  



(*)  n N*)

Bằng phương pháp qui nạp Thật vậy: với n  , ta có 1 1 

1

3 (đúng)

Giả sử (*) đúng với n k tức là: ! 3

k k



(



13

k 

1)k 

.Bất đẳng thức cuối này đúng vì:

Với a  thì 1 x n 1,  nên n 1 nlim x n 1

111

a để dãy số ( ) u có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó n

Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 u n a,  n 1, 2,3, (H/s trình bày ra).

Như vậy dãy ( )u tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn n

Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 thì dãy số ( )a u có giới hạn hữu hạn khi n   và n nlimu n a

n n

Ta xây dựng dãy số như sau 0 0  1 1  2 2  3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy a 2k

đơn điệu giảm, bị chặn bởi 0 và

3

3 , dãy a2k1

đơn điệutăng và bị chặn bởi

33

2 3

l l

(do  

3 2

l 

Tương tự ta chứng minh được dãy a2k1

đơn điệu tăng, hội tụ về

55



n x

+) Nếu

55

a 

ta có dãy

5555

n x

+) Nếu tồn tại n sao cho a a n thì ta có

3, ,

3

x a  f x f a  x a   f x f a   x a  x  a 

.Khi đó không tồn tại x n2.

Vậy nếu a a n thì dãy không xác định

+) Nếu

50

5

a

 

thì hai dãy con x2k , x2k1

cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0

Nếu a  thì 1 x2 f a a x và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 Khi đó1dãy hội tụ về 1

+) Nếu

5 a 3 ta có 2

5lim

a a

a

(do a  ).1 1Nhận xét: a    n n n, 2

Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Bài 7. Cho p*, a0 và a  Xét dãy số ( )1 0 a được xác định bởi: n 1 1

1( 1)

n p

    (thỏa mãn điều kiện)

Vậy lim

p n

x x

hội tụ và tìm giới hạn của nó

'( ) 0

f x   x x  

Ta có bảng biến thiên của hàm f(x):

+∞ +∞

f(x0)

+ 0

+∞

x00

f(x)

f'(x)

x

.Suy ra  

là dãy giảm Kết hợp với x  với mọi n ta suy ra dãy n 0  x n

1 1limx n  

Bài 9. Tìm tất cả các hằng số c  sao cho mọi dãy số dãy số ( )0 u thỏa mãn n 1

u

u u

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u  n 2

Xét tính đơn điệu của dãy  u n

bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên  u n

tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.Giả sử nlimu n a a 2

    

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:

2) Dãy không bị chặn trên, do  u n

tăng và không bị chặn trên nên

u n

1

2

9( )

9

n n

Bài 12. Cho số thựca, xét dãy số  x n

là dãy Cauchy, nên dãy số đã cho hội tụ

Bài 13. Cho hai dãy số  u n

n  Chứng minh rằng hai dãy  u n

sin 2cos

3 lim

có duy nhất 1 nghiệm thực x thuộc n 0;1

.b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy  x n

Hướng dẫn giải

a) Ta có Q n 0 Q n 1 Q n 22   Q n n 2 0

.nên trong mỗi khoảng 0;1

,     2 2

1; 4 , , n1 ;n

có 1 nghiệm của phương trình Q n x 0

Mặt khác, ta có detQ n x n

nên đa thức Q n x

có duy nhất 1 nghiệm x thuộc khoảng n 0;1 

.b) Ta có     1 1 2 1 2

có nghiệm không là nghiệm của Q x n 

nên nghiệm của phương trình Q n x 0

là nghiệmcủa phương trình:

nghịch biến trên 0;1

.Lại có:   1 1 2 1 2 0

Bài 16. Cho dãy  u n

axác định bởi: u1 2;u n1u n2 u n    Tìm 1, n * M nhỏ nhất thỏa mãn

Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy ( )u tăng Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn n L thì

i i

Với mọi n  * ta luôn có: a n b i  i 1 a n b i  i a n b i i  i, 1, 2, , 2014

Cộng vế với vế của 2014 bất đẳng thức cùng chiều, ta được:

n  nên suy ra d  Mặt khác dãy A  x n

gồm toàn số nguyên nên công sai d cũng là số

nguyên Vậy A nguyên (đpcm)

Bài 18. Cho dãy số  x n

 1

k k

  

Bài 21. Cho dãy số    u n ; v n

được xác định như sau

1 1

   

2 1

2 2

2 11

2lim n 2 1

a a

a

(do a  ).1 1Nhận xét: a    n n n, 2

Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap

Như vậy a    (điều phải chứng minh) n n n, 2

11

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Bài 23. Cho trước số thực dương  và xét dãy số dương  x n

x x

   

vớimọi n  * Chứng minh rằng dãy  x n

hội tụ và tìm giới hạn của nó

+∞

x00

f(x)

f'(x)

x

.Suy ra  

là dãy giảm Kết hợp với x  với mọi n ta suy ra dãy n 0  x n

1 1limx n  

Bài 24. Cho dãy số thực  u n

tăng, bị chặn trên nên hội tụ, limx n a (0a 1)Chuyển qua giới hạn ta được:

Bài 25. Cho dãy số thực  x n

n

x x

11

x x

2 2 2

1 2

lim

n n

n n

n n

n n

xác định bởi

1

2 1

7, 1, 2,3,

n n

Bài 27. Cho dãy số  x n

, xác định bởi:

1 1

12014

Hướng dẫn giải

Xét hàm số

2014( ) 1

là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy x2n1

20141

n n

là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn limx n   L 2

Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình

a 

thì

10,2

n

x   n

.Vậy

là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử limx n x x( 0), ta có phương trình:

Bài 31. Cho hai dãy số dương  a n n 0, b n n 0

  xác định bởi: a0  3,b0  và 2

1 1

111

Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì

a để dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó n

Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 u n a,  n 1, 2,3,

Như vậy dãy ( )u tăng knn, bị chặn trên bới n a, do đó dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn n

Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 thì dãy số ( )a u có giới hạn hữu hạn khi n   và n nlimu n a

1

.1

Hướng dẫn giải

Đặt

12

u u