Bài 7 hình bình hành

Hai đường chéo có cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Các góc đối bằng nhau Các cạnh đối bằng nhau ABCD là hình bình hành Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song... b Xét

BÀI 7: HÌNH BÌNH HÀNH Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa hình bình hành

+ Nắm được các dấu hiệu nhận biết hình bình hành

 Kĩ năng

+ Vẽ được hình bình hành

+ Chứng minh được tứ giác là hình bình hành

+ Chứng minh các đoạn thẳng, các góc bằng nhau dựa vào tính chất hình bình hành

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song

song

ABCD là hình bình hành //

//

AB CD

AD BC



 



Tính chất

Định lí: Trong hình bình hành

a) các cạnh đối bằng nhau

b) các góc đối bằng nhau

c) hai đường chéo có cắt nhau tại trung điểm của

mỗi đường

Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình

hành

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình

hành

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau

là hình bình hành

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình

hành

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung

điểm của mỗi đường là hình bình hành

Nhận xét: Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên song song.

Dấu hiệu d) là dấu hiệu ít được dùng nhất.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm

của AB, F là trung điểm của DC.

a) Chứng minh BE DF

b) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành.

Hình bình

hành

Hình vẽ

Khái niệm

Tính chất

Dấu hiệu nhận biết

Tứ giác có các cạnh đối song song là

hình bình hành

Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là

hình bình hành

Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

Tứ giác có các góc đối bằng nhau là

hình bình hành

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình

bình hành

Hai đường chéo có cắt nhau tại trung

điểm của mỗi đường Các góc đối bằng nhau Các cạnh đối bằng nhau

ABCD là hình bình hành

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

Bước 1 Xác định đoạn thẳng thuộc các cạnh

có tính chất đặc biệt như song song, trung

điểm

Bước 2 Sử dụng định nghĩa và tính chất về

cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành

Hướng dẫn giải

2

EA EB  AB (E là trung điểm của AB)

1 2

FD FC  DC (F là trung điểm của DC)

Mà AB DC (ABCD là hình bình hành).

Nên EA EB FD FC  

b) Xét tứ giác BEDF ta có:

BE DF (chứng minh trên)

BE DF AB DC Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành vì có hai cạnh đối

vừa song song vừa bằng nhau

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi K là trung điểm AB, I là trung điểm của DC BD lần lượt cắt AI

và CK tại M, N Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.

b) Chứng minh DM MN NB

Hướng dẫn giải

2

KA KB  AB (K là trung điểm của AB)

1 2

ID IC  DC (I là trung điểm của DC)

Mà AB DC (ABCD là hình bình hành) nên KA KB ID IC  

Xét tứ giác AKCI, ta có:

AK IC(chứng minh trên)

AK IC AB DC Suy ra tứ giác AKIC là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

b) Xét BAM ta có:

K là trung điểm của BA (gt),

//

KN AM (AKCI là hình bình hành)

 N là trung điểm của BM

NB MN

   1

Xét DCN ta có:

I là trung điểm của CD (gt)

//

IM CN (AKCI lả hình bình hành)

 M là trung điểm của DN.

DM MN

   2

Từ  1 và  2 suy ra DM MN NB

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Phát biểu nào dưới đây đúng?

A Hình bình hành là tứ giác có các cạnh bằng nhau.

B Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau.

C Hình bình hành là tứ giác hai cạnh kề bằng nhau.

D Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD biết  A   Các góc còn lại có giá trị bằng bao nhiêu?75

A B 105 , C 105 , D   75 B B 105 , C   , 75 D 105

C B   , 85 C   , 95 D 105 D B   , 75 C 105 , D 105

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD biết  A B  40 Tính số đo góc A

A A   60 B A 110 C A   90 D A 120

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC, BD Chọn phát biểu đúng.

A AC2IB B 1

2

2

IC AC D IA IB ID 

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AB6cm, BC8cm Tính chu vi hình bình hành ABCD.

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải

Bước 1 Xác định đoạn thẳng thuộc các cạnh có Ví dụ: Cho ABC nhọn có AB AC Gọi D, E, F

tính chất đặc biệt như song song, trung điểm.

Bước 2 Sử dụng định nghĩa và tính chất về cạnh,

góc và đường chéo của hình bình hành

lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Xét ABC ta có

D là trung điểm của AB,

E là trung điểm của AC

 DE là đường trung bình của ABC

//

1 2

DE BC





 





Ta có

1 2

DE BC (chứng minh trên), 1

2

BF BC (F là trung điểm của BC)

1 2

DE BF BC

Xét tứ giác BDEF, ta có

DE BF (chứng minh trên),

DE BF DE BC

 Tứ giác BDEF là hình bình hành vì có hai cạnh

đối vừa song song vừa bằng nhau

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho

MB DN

a) Chứng minh BMDN là hình bình hành.

b) Chứng minh AMCN là hình bình hành.

c) Gọi K là giao điểm của DM và AN và H là giao điểm của BN và CM Chứng minh tứ giác MKNH là

hình bình hành

Hướng dẫn giải

a) Xét tứ giác BMDN ta có:

BM DN (giả thiết),

//

BM DN (tứ giác ABCD là hình bình hành)

 Tứ giác BMDN là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

b) Ta có AB CD (tứ giác ABCD là hình bình hành),

BM DN (giả thiết),

AB BM CD DN

AM CN

Xét tứ giác AMCN, ta có

AM CN (chứng minh trên),

//

AM CN (tứ giác ABCD là hình bình hành)

 Tứ giác AMCN là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

c) Xét tứ giác MKNH, ta có

//

KM NH (tứ giác BMDN là hình bình hành),

//

MH KN (tứ giác AMCN là hình bình hành)

 Tứ giác MKNH là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G Gọi P là điểm đối xứng của điểm M

qua G Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Trên tia đối của tia MN, lấy điểm E sao cho AM NM Chứng minh EQ MP

Câu 2: Cho ABC nhọn có AB AC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểmcủa AB, AC, BC.

a) Chứng minh MPAN

b) Chứng minh tứ giác CNMP là hình bình hành.

c) Chứng minh tứ giác AMPN là hình bình hành.

Câu 3: Cho ABC cân tại A Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E, sao cho AD CE Gọi I là trung điểm của DE AI cắt BC tại K Chứng minh tứ giác ADKE là hình bình hành.

Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải

Bước 1 Chứng minh các tứ giác là hình bình hành.

Bước 2 Sử dụng tính chất đường chéo của hình

bình hành để chứng minh

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD là hình bình

hành Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho DM CN Gọi O là giao điểm của

AC và BD.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD

 O là trung điểm của AC, BD.

Xét tứ giác AMCN ta có

AM CN (giả thiết), //

AM CN (tứ giác ABCD là hình bình hành)  tứ giác AMCN là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

Mà O là trung điểm của đường chéo AC nên O là trung điểm của đường chéo MN.

Hay M, O, N thẳng hàng.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O Kẻ BH AC tại H cắt DC tại N và kẻ DK AC tại K cắt AB tại M.

a) Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác BKDH là hình bình hành.

c) Chứng minh AC, BD, MN đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) Ta có

DM AC (gt),

BN AC(gt)

//

Xét tứ giác BMDN, ta có:

//

BM DN tứ giác ABCD là hình bình hành),

DM DN (chứng minh trên)  tứ giác BMDN là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song

song

b) Xét AKD và CHB ta có:

AKD CHB 90,

AD BC (tứ giác ABCD là hình bình hành),

DAK BCH (hai góc so le trong do AD BC// )

AKD CHB

   (cạnh huyền - góc nhọn)

DK BH

Xét tứ giác BKDH, ta có

//

BH DK (chứng minh trên),

BH DK (chứng minh trên)

 tứ giác BKDH là hình bình hành vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

c) Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD nên O là trung điểm của đường chéo BD.

Lại có tứ giác BMDN là hình bình hành suy ra O là trung điểm của đường chéo MN

O MN

 

Vậy ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy tại O.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi M là trung điểm của BC, trên tia AM lấy điểm K sao cho

M là trung điểm của AK.

a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC Trên tia IE lấy điểm H sao cho E là trung điểm của IH Chứng minh tứ giác AHCI là hình bình hành.

c) Chứng minh K, C, H thẳng hàng.

Câu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O là trung điểm của AC, trên tia BO lấy điểm P sao cho O

là trung điểm của BP.

a) Chứng minh tứ giác ABCP là hình bình hành.

b) Trên tia PC lấy điểm K sao cho C là trung điểm của PK Chứng minh BK AC

c) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại M Chứng minh A, M, K thẳng hàng.

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD Lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho AE CF

Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc BC và AD sao cho CM AN Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Tứ giác ANCM là hình bình hành.

c) Ba đường thẳng MN, EF, BD đồng quy.

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh ba đường thẳng BD, AC, EF đồng quy.

ĐÁP ÁN

Dạng 1 Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học

Dạng 2 Chứng minh một tứ giác là hình bình hành

Câu 1:

a) Xét tứ giác MNPQ, ta có

G là trung điểm của MP (P đối xứng với M

qua G)

G là trung điểm của NQ (Q đối xứng với N

qua G)

 Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì có

hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi

đường

b) Ta có

EM MN (giả thiết)

PQ MN (Tứ giác MNPQ là hình bình hành)

Xét tứ giác EMPQ, ta có

EM PQ (chứng minh trên)

EM PQ MN PQ

 Tứ giác EMPQ là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau Suy ra

EQ MP

Câu 2:

a) Xét ABC ta có:

M là trung điểm của AB (giả thiết)

P là trung điểm của BC (giả thiết)

 MP là đường trung bình của ABC

//

MP BC

2

MP ACAN (điều phải chứng minh)

b) Ta có MP NC (tứ giác CNMP là hình bình

hành)

AN CN (N là trung điểm của AC)

Xét tứ giác AMPN ta có

MPAN (chứng minh trên)

MP AN MP CN

 Tứ giác AMPN là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

c) Ta có 1

2

MN  BC (MN là đường trung bình của ABC)

1 2

CP BC (P là trung điểm của BC) 1

2

MN CP BC

Xét tứ giác CNMP, ta có

MN CP (chứng minh trên)

MN CP MN BC

 Tứ giác CNMP là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Câu 3:

Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại S.

ESC ABC

  (hai góc đồng vị và ES AB// )

Mà ECS ABC (ABC cân tại A ) nên

ESC ECS

ECS

  cân tại E

ES AD

  (vì ECAD)

Xét tứ giác ADSE, ta có

//

AD ES (giả thiết)

AD ES (chứng minh trên)

 Tứ giác ADSE là hình bình hành vì có hai cạnh

đối song song

Mà I là trung điểm của đường chéo DE nên I là trung

điểm của đường chéo AS hay A; I; S thẳng hàng.

Suy ra AI cắt BC tại s.

Lại có AI cắt BC tại K, do đó SK

Vậy tứ giác ADKE là hình bình hành.

Dạng 3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Câu 1:

a)

Xét tứ giác ABKC, ta có

M là trung điểm của BC (giả thiết);

M là trung điểm của AK (giả thiết)

 Tứ giác ABKC là hình bình hành vì có hai đường

chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

b) Xét tứ giác AHCI ta có

E là trung điểm của AC (giả thiết);

E là trung điểm của IH (giả thiết)

 Tứ giác AHCI là hình bình hành vì có hai đường

chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

c) Ta có

KC AB (tứ giác ABKC là hình bình hành);

//

CH AB (tứ giác AHCI là hình bình hành)

 KC trùng với CH (cùng song song với AB)

 K, C, H thẳng hàng. 

Câu 2:

a) Xét tứ giác ABCP, ta có

O là trung điểm của AC (giả thiết)

O là trung điểm của BP (giả thiết)

 Tứ giác ABCP là hình bình hành vì có hai đường

chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

b) Ta có

PC CK (C là trung điểm của PK)

PCAB (tứ giác ABCP là hình bình hành)

Xét tứ giác ABKC, ta có

AB CK (chứng minh trên)

AB CK AB PC

 Tứ giác ABKC là hình bình hành vì có 2 cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

BK AC

c) Xét ABC ta có

O là trung điểm của AC (giả thiết);

//

OM AB (giả thiết)

 M là trung điểm của BC.

Mà BC là đường chéo của hình bình hành ABKC nên M là trung điểm của đường chéo AK

Suy ra A, M, K thẳng hàng.

Câu 3:

a) Tứ giác AECF là hình bình hành

Xét tứ giác AECF, ta có

AE CF (giả thiết) //

AE CF (tứ giác ABCD

là hình bình hành)

 Tứ giác AECF là hình bình hành

vì có 2 cạnh đối vừa song song vừa

bằng nhau

b) Tứ giác ANCM là hình bình hành.

Xét tứ giác ANCM ta có

AN CM (giả thiết) //

AN CM (tứ giác ABCD là hình bình hành)

 Tứ giác ANCM là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

c) Ba đường thẳng MN, EF, BD đồng quy.

• Gọi O là giao điểm của AC và MN.

Mà tứ giác AMCN là hình bình hành nên O là trung điểm của hai đường chéo AC, MN.  1

• Tứ giác AECF là hình bình hành có O là trung điểm của đường chéo AC nên O là trung điểm của đường chéo EF.

Suy ra O, E, F thẳng hàng  2

• Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm của đường chéo AC nên O là trung điểm của đường chéo BD.

Suy ra O, B, D thẳng hàng  3

Từ  1 ,  2 ,  3 suy ra ba đường thẳng MN, EF, BD đồng quy tại O.

Câu 4:

a) Ta có:

1 2

AE EB  AB (E là trung điểm

của AB)

1 2

DF FC DC (F là trung điểm

của DC)

Mà AB CD (tứ giác ABCD là hình

bình hành) nên AE EB DF  FC

Xét tứ giác DEBF, ta có

BE DF (chứng minh trên) //

BE DF (tứ giác ABCD là hình bình hành)

 Tứ giác DEBF là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của hai đường chéo AC, BD  1

Tứ giác DFBE là hình bình hành có O là trung điểm của đường chéo BD nên O là trung điểm của đường chéo EF.

Suy ra O, E, F thẳng hàng  2

Từ  1 và  2 suy ra ba đường thẳng BD, AC, EF đồng quy tại O.