Bài 3 bất phương trình bậc nhất một ẩn

BÀI 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn..  Kĩ năng + Giải được bất phương trình bậc nhất một ẩn... b Quy tắc

BÀI 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn

+ Nắm được các quy tắc biến đổi bất phương trình

 Kĩ năng

+ Giải được bất phương trình bậc nhất một ẩn

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Bất phương trình dạng ax b 0ax b 0,ax b 0,ax b 0 trong đó a và b là hai số đã cho, a 0 được gọi là bất phương tình bậc nhất một ẩn

Ví dụ: 2x  1 0 là một bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó

Ví dụ: 2x 1 0 2x 1

b) Quy tắc nhân với một số

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

Ví dụ: 2x  1 0 2 2 x1 0

2x   1 0 3 2x1 0

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Nhận dạng bất phương trình bậc nhất

Phương pháp giải

Nhận dạng bất phương trình bậc nhất dựa vào định nghĩa

Bất phương trình dạng ax b 0 (hoặc ax b 0,ax b 0,ax b 0) trong đó a và b là hai số đã cho,

0

a  , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

a) 2x  2 0

b) 2

c) 2x1 2x0

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình: 2x  2 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a 2 và b 2

b) Bất phương trình: x2 2x không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì đa thức 0 x2 2x

có bậc là 2

c) Ta có: 2x1 2x 0 2x 2 2x 0 2 0

Vậy 2x1 2x0 không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì trong bất phương trình không

chứa biến x.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

a) x 1 b) 2x1 3x2

c) 2x22 2x x 40

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình: x 1 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a  1 0

b) Ta có: 2x1 3x2 2x 2 3x2  x0

Vậy 2x1 3x2 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a  1 0

c) Ta có: 2x22 2x x 4  0 2x24x4  2x28x0

2x 8x 8 2x 8x 0 8 0

Vậy 2x22 2x x 40 không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 2 Tìm m để các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

a) 2mx 2 2x1 b) 2 2

Hướng dẫn giải

a) Xét bất phương trình 2mx 2 2x1 2mx 2 2x 1 0

2m 2x 3 0

Để bất phương trình là bất phương trình bậc nhất một ẩn thì:

2m 2 0  2m 2 m1

b) Xét bất phương trình mx23mx x 2 2x1

m 1x2 3m 2x 1 0

Để bất phương trình là bất phương trình bậc nhất một ẩn thì: m  1 0 và 3m  2 0

Xét m1 0  m1

3

m   m  m

Vậy với m 1 thì bất phương trình mx23mx x 2 2x là bất phương trình bậc nhất một ẩn.1

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất?

a) 2x  5 0 b) 3x1 4x 5 x

c) 3 0 d) 4x21 2x12 1

Dạng 2 Kiểm tra x = a có là nghiệm của bất phương trình

Phương pháp giải

Giá trị x x 0 là nghiệm của bất phương trình f x g x  khi thay x x 0 vào hai vế của bất phương trình thỏa mãn f x 0 g x 0

Ví dụ: Trong các giá trị sau x1,x6,x5 giá trị nào là nghiệm bất phương trình 3x1 2x2?

Hướng dẫn giải

Xét bất phương trình: 3x1 2x2

Với x 1 thì 3 1 1   2.1 2  2 2 (vô lí)

Vậy x 1 không phải là nghiệm của bất phương trình 3x1 2x2

Với x 6 thì 3 6 1   2.6 2 3 2 (luôn đúng)

Vậy x 6 là nghiệm của bất phương trình 3x1 2x2

Với x 5 thì 3 5 1   2.5 2  2 2 (vô lí)

Vậy x 5 không phải là nghiệm của bất phương trình 3x1 2x2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào nhận x 2 là nghiệm?

a) 2x21 x1 0 b) 3x 1 2x2

hướng dẫn giải

a) Xét bất phương trình:  2   

2x 1 x1 0 Với x 2 ta có: 2.221 2 1    0 9 0 (luôn đúng)

Vậy x 2 là nghiệm của bất phương trình 2x21 x1 0

b) Xét bất phương trình: 3x 1 2x2

Với x 2 ta có: 3.2 1 2.2 2    7 6 (luôn đúng)

Vậy x 2 là nghiệm của bất phương trình 3x 1 2x2

c) Xét bất phương trình: 1 2 3 2

Với x 2 ta có: 2 1 2.2 3 2 0 15



Vậy x 2 không phải là nghiệm của bất phương trình 1 2 3 2

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Trong các giá trị x1,x2 và x 1, giá trị nào là nghiệm của các bất phương trình sau?

a) x 3 2 x1 b) x x 1  x22 4 0

Câu 2 Cho bất phương trình m x 1 2x0 Tìm m để bất phương trình nhận x 1 là nghiệm

Dạng 3 Giải bất phương trình cơ bản

Phương pháp giải

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng ax b 0

(hoặc ax b 0,ax b 0,ax b 0) với a  0

Để giải bất phương trình cơ bản ta làm như sau:

+ Thực hiện các quy tắc biến đổi bất phương trình (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với một số)

+ Dựa vào một số nhận xét cơ bản:

2 0

x  và x2 0

0

+ Đưa bất phương trình về bất phương trình bậc nhất một ẩn

+ Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a) 3x  1 5

b) 2 1 1 0

x 

c) x12 x x 10

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 3x1 5  3x 1 5

3x 6

2

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  x x 2

b) Ta có: 2 1 1 2 2 1 1

x

0

x 

0 4

x  

0 4

x 

4x 1 0

1 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1

4

 

c) Ta có: x12 x x 10

1 0

x

1

x

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  x x 1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giải các bất phương trình sau:

a) 3x 2 4 2  x b) 3 2 x1 2x 2 0

c) x x2 1 2x12 0 d) 3 1 2 2

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 3x 2 4 2  x3x 2 4 2  x0

5x 6 0

5x 6

6 5

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 6

5

x x

 

b) Ta có: 3 2 x1 2x 2 0 6x 3 2x 4 0

6x 3 2x 4 0

4x 7 0

4x 7

7 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 7

4

 

c) Ta có: x x2 1 2x12 0

2x x 2 x 2x 1 0

2x x 2x 4x 2 0

5x 2 0

5x 2

2

5

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2

5

x x

 

d) Ta có: 3 1 2 2

3 x 3 6 2 x 2 12

3x 9 6 2x 4 12

3x 3 2x 8

3x 2x 8 3

11

x

  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  x x  11

Ví dụ 2 Giải các bất phương trình sau:

a) x2122x 3 0 b)  2 x 2 5 x 0

c) x2 2  x 3 0 d) 1 0

2

x x







Hướng dẫn giải

a) Xét bất phương trình x2122x 30

Ta thấy x 2 12 0 với mọi x.

2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 3

2

x x

 

b) Xét bất phương trình  2 x 2 5 x 0

Ta thấy:  x 0 x   2 x 0 x 

Do đó, ta có:  2  2 5  0 2 5 0 2 5 2

5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2

5

x x

 

c) Xét bất phương trình x2 2  x 3 0

Trường hợp 1: x  2 0 và 2x  3 0

Ta có:

x   x 

3

2

Tập hợp các giá trị của x thỏa mãn trường hợp 1 là: 3

2

   

Trường hợp 2: x  2 0 và 2x  3 0

Ta có:

x   x 

3

2

Kết hợp các giá trị x trong trường hợp 2, ta thấy không có x thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 3

2

   

d) Xét bất phương trình 1 0

2

x x







Trường hợp 1: x  1 0 và 2 x0

Ta có:

x   x 

2 x 0 2x

Tập hợp các giá trị của x thỏa mãn trường hợp 1 là: x   x 2

Trường hợp 2: x  1 0 và 2 x0

Ta có:

x   x 

2 x 0 2x

Kết hợp các giá trị x trong trường hợp 2, ta thấy không có x thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 1 0

2

x x





 là x   x 2

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1 Giải các bất phương trình sau:

a) 2x  7 0 b) 2x1 3 3  x1

   d) 2x12 x x2 15x 2

Câu 2 Giải các bất phương trình sau:

a) x32 2x30 b) 2 0

x x





 c) x2 4x 3 0

Bài tập nâng cao

Câu 3 Giải các bất phương trình sau:

2019 2018 2006 2007

1998 1999 2000

Câu 4 Giải bất phương trình 2m1x 2m2 2 0 theo tham số m.

Dạng 4 Một số bài toán đố

Phương pháp giải

Bước 1 Gọi ẩn x cần tìm, tìm điều kiện cho x.

Bước 2 Dựa vào đề bài thiết lập mối quan hệ của ẩn với các đại lượng đã biết, chưa biết.

Bước 3 Thiết lập bất phương trình dựa vào mối quan hệ đó theo yêu cầu đề bài.

Bước 4 Giải bất phương trình.

Bước 5 Kết luận yêu cầu của bài toán.

Ví dụ: Bạn Dũng có một tờ tiền Việt Nam chưa rõ mệnh giá Biết rằng nếu mệnh giá của tờ tiền đó nhân

với 3 thì nhỏ hơn 160 000 nhưng nếu nhân với 2 thì lớn hơn 90 000 Hỏi bạn Dũng có tờ tiền mệnh giá bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi mệnh giá của tờ tiền bạn Dũng có là x (đồng) với x thuộc tập hợp

200;500;1000;2000;5000;10000;20000;50000 

Vì nếu mệnh giá tờ tiền của bạn Dũng có nhân 3 nhỏ hơn 160 000 (đồng) nên ta có bất phương trình:

160000

3 160000

3

Mặt khác, mệnh giá tờ tiền của bạn Dũng có nhân 2 lớn hơn 90 000 (đồng) nên ta có bất phương trình:

90000

2 90000

2

Kết hợp (1) và (2), ta được:

45000

Vậy mệnh giá tờ tiền mà bạn Dũng có là 50 000 (đồng)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong kì thi, bạn Xuân Hương thi bốn môn Toán, Văn, Anh, Sử Xuân Hương đã thi ba môn và

được kết quả như sau

Kì thi quy định muốn đạt giải thì phải có điểm trung bình các môn từ 8 trở lên và không môn nào bị dưới

6 điểm Biết môn Văn, Toán được tính hệ số 2 Hãy cho biết, để đạt giải thì bạn Xuân Hương phải có điểm môn Văn ít nhất là bao nhiêu? Biết điểm tối đa của mỗi môn là 10 điểm

Hướng dẫn giải

Gọi x là điểm thi môn Văn của bạn Xuân Hương 6 x 10

Điểm trung bình các môn thi của bạn Xuân Hương là:

2 2.9 7 6 : 6 2 31

6

x

Theo đề bài, để bạn Xuân Hương đạt giải thì điểm trung bình các môn phải từ 8 trở lên, nên ta có bất

phương trình: 2 31 8

6

x 



2x 31 48 2x 17 x 8,5

Vậy để đạt học sinh giỏi bạn Xuân Hương cần được ít nhất 8,5 điểm môn Văn

Bài tập tự luyện dạng 4

Câu 1 Bạn Huy được mẹ cho 100 000 đồng đi mua bút và vở Biết rằng giá một cuốn vở là 10 000 đồng,

một cái bút là 5000 đồng Biết rằng mẹ bạn Huy yêu cầu bạn Huy mua ít nhất 6 cuốn vở Hỏi bạn Huy mua được nhiều nhất bao nhiêu cái bút?

ĐÁP ÁN Dạng 1 Nhận dạng bất phương trình bậc nhất

Câu 1.

a) 2x  5 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a2,b5

b) Xét bất phương trình 3x1 4x 5 x 3x 3 4x 5 x

3x 3x 3 5 0

2 0

   (vô lí)

Vậy bất phương trình 3x1 4x 5 x không phải là bất phương trình bậc nhất

c) 3 0 không phải bất phương trình bậc nhất vì a 0

d) Xét bất phương trình 4x21 2x12  1 4x2 4 4x24x11

4x 4 4x 4x 1 1 0

4x 6 0

   

Vậy bất phương trình 4x21 2x12 1 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a 4 và b 6

Dạng 2 Kiểm tra x = a có là nghiệm của bất phương trình

Câu 1.

a) Xét bất phương trình x 3 2 x1

Với x 1 thì 1 3 2.1 1    2 3 (luôn đúng)

Vậy x 1 là nghiệm của bất phương trình x 3 2 x1

Với x 2 thì 2 3 2.2 1     1 5 (luôn đúng)

Vậy x 2 là nghiệm của bất phương trình x 3 2 x1

Với x 1 thì  1 3 2 1 1    4 1 (luôn đúng)

Vậy x 1 là nghiệm của bất phương trình x 3 2 x1

b) Xét bất phương trình x x 1  x22 4 0

Với x 1 thì 1 1 1    1 2 2    4 0 3 0 (vô lí)

Vậy x 1 không phải là nghiệm của bất phương trình x x 1  x22 4 0

Với x 2 thì 2 2 1    2 2 2   4 0 6 0 (vô lí)

Vậy x 2 không phải là nghiệm của bất phương trình x x 1  x22 4 0

Với x 1 thì 1  1 1   1 22  4 0 0 1 4 0    3 0 (luôn đúng)

Vậy x 1 là nghiệm của bất phương trình x x 1  x22 4 0

Câu 2.

Xét bất phương trình: m x 1 2x0

Vì x 1 là nghiệm của bất phương trình nên thay x 1 vào bất phương trình đã cho, ta được:

Vậy với m 1 bất phương trình m x 1 2x0 nhận x 1 là nghiệm.

Dạng 3 Giải bất phương trình cơ bản

Bài tập cơ bản

Câu 1.

a) Xét bất phương trình 2 7 0 2 7 7

2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm 7

2

S  x x 

b) Xét bất phương trình 2x1 3 3  x 1 2x 2 9 3  x1

2x 3x 9 2 1

5x 12

12 5

x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm 12

5

S  x x 

c) Xét bất phương trình 2 1 2 2 2 1

2 2x 1 3 x 2 x 2 2 2x 1

4x 2 3x 6 x 2 4x 2

4x 2 3x 6 x 2 4x 2

4x 3x x 4x 2 6 2 2

4x 8

2

x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  x x 2

d) Xét bất phương trình 2x12 x x2 1 5x 2

2 x 2x 1 2x x 5x 2

2x 4x 2 2x x 5x 2 0

4 0

  (vô lý)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 

Câu 2.

a) Xét bất phương trình x32 2x3 0 x3 x 3 2  0 x3 x1 0

Trường hợp 1: x  3 0 và x  1 0

Ta có:

x   x 

1 0 1

x   x 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 1 là S    x x 1

Trường hợp 2: x  3 0 và x  1 0

Ta có:

x   x 

x   x 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 2 là S    x x 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S     x x 3,x 1

b) Xét bất phương trình 2 0

x x







Trường hợp 1: x  2 0 và 2x  1 0

Ta có:

x   x

1

2

x   x   x 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 1 là S   x x 2

Trường hợp 2: x  2 0 và 2x  1 0

Xét:

x   x

1

2

x   x   x 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 2 là 1

2

S   x x  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1

1 2

S   x x  

  và S2    x x 2 c) Xét bất phương trình x2 4x 3 0

 3  3 0

x 1 x 3 0

Trường hợp 1: x  3 0 và x  1 0

Ta có:

x   x

x   x

Vậy không có nghiệm thỏa mãn trường hợp 1

Trường hợp 2: x  3 0 và x  1 0

Ta có:

3 0 3

x   x

x   x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 2 là S   x x3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    x x3

Bài tập nâng cao

Câu 3.

a) Xét bất phương trình: 1 2 14 13

2019 2018 2006 2007

2019 2019 2018 2018 2006 2006 2007 2007

2019 2018 2006 2007

2019 2018 2006 2007    nên  2020 1 1 1 1 0

2019 2018 2006 2007

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   x x 2020

b) Xét bất phương trình: 1 2 3 3

1998 1999 2000

0

1998 1998 1999 1999 2000 2000

0

0

1998 1999 2000

1998 1999 2000

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S  x x 1997

Câu 4.

Xét bất phương trình   2  

2m1 x 2m  2 0 *

Xét: 2 1 0 1

2

m   m thay vào bất phương trình (*) được:



 

(vô lí)

Vậy với 1

2

m bất phương trình vô nghiệm

2

m   m 

2

m thì  

2

m

m





Vậy với 1

2

m  bất phương trình có tập nghiệm

2

m

m



2

m   m

2

m thì  

2

m

m





Vậy với 1

2

m bất phương trình có tập nghiệm

2

m

m



Dạng 4 Một số bài toán đố

Câu 1.

Gọi số bút mà bạn Huy mua được nhiều nhất là x (cái)  *

0x20;x 

Số tiền bạn Huy dùng để mua x cái bút là: 5000.x (đồng)

Số tiền bạn Huy dùng để mua vở là 100000 5000.x (đồng)

Vì mỗi cuốn vở có giá 10 000 đồng nên số cuốn vở bạn Huy mua được là

100000 5000

10



 

Mẹ bạn Huy yêu cầu mua ít nhất 6 cuốn vở nên 10 6

2

x

x

20 x 12

8

x

  

8

x

Vậy bạn Huy có thể mua nhiều nhất 8 cái bút