020 đề hsg toán 8 nho quan 22 23

Chứng minh rằng Echia hết cho 30 Câu 4.. 5,5 điểm Cho tam giác ABCvuông tại A.. Lấy điểm Dbất kỳ trên cạnh ACD không trùng với Avà C.. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BDtại E và cắ

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NHO QUAN

TRƯỜNG THCS

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1 (5,0 điểm)

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a x  xy y 

) 10 9

b x  x 

2) Cho biểu thức

 2 

2

2

x

P



a) Tìm điêu kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

c) Chứng minh rằng biểu thức 1

x A P

với xthỏa mãn điều kiện xác định

Câu 2 (4,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau

x



b) x3 x4 x5 x6 120

2) Cho a b c  0và a2b2c2 14.Tính giá trị của biểu thức N a4b4c4

Câu 3 (3,0 điểm)

1) Cho đa thức f x 2x4ax2 bx c (trong đó xlà biến số, a b c, , là các hệ số) Biết

đa thức f x chia hết cho đa thức x  2và khi đa thức f x chia cho đa thức x 2 1 thì được phần dư là x.Tính giá trị biểu thức T 6a3b3c

2) Cho biểu thức  2025 2025  2021 2021

với x y, là các số nguyên dương Chứng minh rằng Echia hết cho 30

Câu 4 (5,5 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A Lấy điểm Dbất kỳ trên cạnh AC(D không trùng với Avà C) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BDtại E và cắt tia BA

tại M

a) Chứng minh rằng : MA MB ME MC.  . và MAEMCB

b) Cho BDC120 và diện tích tam giác AMEbằng 40cm2.Tính diện tích tam giác

BMC

c) Chứng minh rằng BD BE CD CA BC.  .  2

Câu 5 (2,0 điểm)

1) Cho tam giác ABCvuông tại A có độ dài cạnh huyền là avà độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh Akẻ xuống cạnh đối diện BClà h Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 30 4 1975

Q

2) Cho nlà một số nguyên dương lẻ Ta viết các số 1;2;3; ;2nlên bảng Ta thực hiện việc xóa đi hai số bất kỳ trên bảng, chẳng hạn là avà b và thay vào đó số

a b Việc đó được thực hiện đến khi trên bảng còn lại đúng một số Hỏi với cách làm như trên thì số 2020có trên bảng hay không ? hãy giải thích

ĐÁP ÁN

Câu 1 (5,0 điểm)

3) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a x  xy y   x y   x y x y

           

4) Cho biểu thức

 2 

2

2

x

P



d) Tìm điêu kiện xác định và rút gọn biểu thức P

ĐKXĐ: x0,x1

2

P

        

Vậy P x 2 x 1với x0,x1

Theo câu a, P x 2 x 1 Ta có

2

Px    x tmdk

0

Vậy

x A P

định

Ta có

x

A

P



Xét

2

1

A

  

2 2

1

A

x x

x

2

          

 2

2

1

x

x

 

    

Vậy 1

x

A

P

với x0,x1

Câu 2 (4,5 điểm)

c)

   

2 2

3( )

x

x











d)

2

9 30( )

8

x

               

  



 



Vậy tập nghiệm của phương trình là S    8; 1

4) Cho a b c   0và a2b2c2  14.Tính giá trị của biểu thức N a4b4c4

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c ab ac bc ab ac bc do a b c

ab ac bc a b a c b c ab c abc a bc

a b a c b c abc ab ac bc

a b a c b c do a b c

Mặt khác :

2

4 4 4 2 2 2 2 2 2

2.49 196 98

a b c a b b c c a

Vậy N 98

Câu 3 (3,0 điểm)

3) Cho đa thức f x  2x4ax2bx c (trong đó xlà biến số, a b c, , là các hệ

6 3 3

T  a b c

Gọi thương của phép chia f x cho đa thức x  2là g x 

Vì f x chia hết cho x  2nên f x   x 2  g x (với mọi x)

   

2x ax bx c x 2 g x

Với x 2, ta có 32 4 a2b c  0 4a2b c 32 1 

Gọi thương của phép chia f x cho đa thức x 2 1là h x 

Vì f x chia cho x 2 1dư là xnên f x  x2  1h x x

   

Với x 1ta có 2    a b c 1 a b c  1 2 

Với x  1 2  a b c   1 a b c   3(3)

Từ

     

32

3

a

a b c

a b c

c









  







       



Khi đó T  6a 3b 3c 64 3 26    45

4) Cho biểu thức Ex2025 y2025  x2021 y2021

 2025 2025  2021 2021

2020 5 1 2020 5

           

Với x  *, ta có x 2 x1 x x1 x2là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên

x 2 x 1 x x 1 x 2chia hết cho 2.3.5

Mà 2.3.5 30  x 2 x1 x x1 x2 30  x 

x 1 x x 1là tích của ba số nguyên liên tiếp nên x1 x x1chia hết cho 2 và 3

   

5 x 1 x x 1 30 x

       Do đó x5  x 30với mọi x nguyên

Tương tự ta cũng có y2020y5  y 30

với mọi y  *

Do đó E30x y,  *

H

D A

B

M

C

Xét MACvà MEBcó : AMC chung,MACMEB90

MA MB ME MC

Do MA MB ME MC

Do đó MAE∽ MCB c g c( ) MAEMCB(hai góc tương ứng)

Xét BADvà BEM có ABDEBM (góc chung), BADBEM  90 

Vì BDC  120   ADB 60 (vì BDCvà ADB là hai góc kề bù)

ADB

  là nửa tam giác đều

1 2

AD BD

Do đó

1 2

EM

BM  Theo câu a

2

MEA MCB

MAE MCB

∽

hay

 

2

2

1

4 4.40 160 2

MEA

BMC AME MCB

S

S

 

 

Vậy S BMC 160cm2

Vẽ DH BCtại H Xét BHDvà BECcó :

HBD EBC

 

Chứng minh tương tự: CHD∽ CAB g g( )

 

CD CA CH BC

Từ (1) và (2) suy ra :

BD BE CD CA BH BC CH BC BC BH CH     BC BC BC

Câu 5 (2,0 điểm)

Q

A

B

C

Gọi M là trung điểm của BC.Ta có

1

a

a

Khi đó

2

2 2.2 29.2 1975 2037

Q

Q

Dấu bằng xảy ra khi H M  ABCvuông tại A

Vậy minQ2037 ABCvuông tại A

4) Cho nlà một số nguyên dương lẻ Ta viết các số 1; 2;3; ; 2nlên bảng Ta

không ? hãy giải thích

Ta có

 

2 2

a b a b b a b

a b a b

a b a b a b a



   



Như vậy mỗi lần giảm đi một số nhưng tính chẵn lẻ không đổi

Lúc đầu trên bảng có tổng

1 2 2

2 1 2

n n

n n



là số lẻ Khi thực hiện xóa như đề bài thì tổng các số trên bảng cũng là số lẻ Mà số 2022là

số chẵn Vậy số 2022không có mặt trên bảng,