4 chuyên đề 4 tam giác đồng dạng

- Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.. Nhờ tam giác đồng dạng, ta có thêm nhiều cách mới để chứng minh các quan hệ về độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích

C huyên đề 4

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.

Chuyên đề này bao gồm các nội dung:

- Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

- Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Nhờ tam giác đồng dạng, ta có thêm nhiều cách mới để chứng minh các quan hệ về độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích tam giác

Vài nét về lịch sử

CẬU BÉ LƯƠNG THẾ VINH ĐO CHIỀU CAO BẰNG BÓNG NẮNG

Lương Thế Vinh là một nhà toán học của nước ta thế kỉ XV Ông sinh năm 1441, mất khoảng năm 1496

Lúc nhỏ, khi chơi cùng các bạn trong làng, ông đã trả lời câu đố của một bạn yêu cầu tính chiều cao của cây cau mà không cần trèo lên cây như sau:

Chỉ cần đo bóng của cây cau và bóng của một cọc thẳng đứng Cọc dài gấp bao nhiêu lần bóng của

nó thì cây cao gấp bấy nhiêu lần bóng của nó.

Các bạn đã thực hành và than phục Lương Thế Vinh khi thấy kết quả đo bằng bóng nắng và kết quả

đo trực tiếp khớp nhau

I CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC

Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh, trường hợp cạnh-góc-cạnh, trường hợp góc-góc Đối với hai tam giác vuông, ngoài các trường hợp nói trên còn có trường hợp đồng dạng về cạnh huyền và cạnh góc vuông

Ví dụ 33 Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AD , K là trung điểm của AD Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK Chứng minh rằng AIB 90 

Giải: (h.46)

KID

 và DIC có KID DIC 90 , K     1D 1 (cùng phụ C ) nên  1 KIDDIC (g.g)

Ta lại có: KD KA, DC DB  nên

Kết hợp với IKA IDB suy ra IKA IDB (c.g.c)

AIK BID

  Cùng cộng với KIB được: AIB KID 90   

Ví dụ 34 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến

1

2



cho MBI MAB Chứng minh rằng MCI MAC 

Giải: (h.47)

MBI

 và MAB có M là góc chung,  1 B1A 1 nên MBI MAB (g.g)

Kết hợp với M là góc chung suy ra  2 MCIMAC (c.g.c)

MCI MAC

Ví dụ 35 Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF Gọi M là giao điểm của BE và

DF , N là giao điểm của DE và CF.

a) Kẻ MI và NK song song với AD I AB, K AC   

Chứng minh rằng AIMAKN b) Chứng minh FAM EAN 

Giải: (h.48)

a) Ta có: BIM BAD CAD CKN    nên góc bù với chúng là AIM AKN 

Sẽ chứng minh

Đặt BC a, AC b, AB c   Do IM / /AD và B 1B 2 nên

IF MF BF (1)

IMAD (2)

Nhân (1) với (2) được

Tương tự

KNAD a (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Vậy

IM KN Do đó AIMAKN (c.g.c)

b) Suy ra từ câu a)

Lưu ý: Trong ví dụ trên, khi xét tỉ số

AI

IM , ta đã viết tỉ số đó dưới dạng tích của hai tỉ số trung gian

AI IF

IF IM

  , có nhiều tỉ số bằng các tỉ số trung gian trên từ định lí Ta-lét và tính chất đường phân giác của tam giác

Cách viết một tỉ số dưới dạng tích của hai tỉ số trung gian, cùng với cách kẻ thêm đường thẳng song song là những cách thường dung để tạo ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ

Ví dụ 36 Cho tam giác ABC có AB 5 cm, AC 6 cm,

A 90

2

Tính độ dài BC

Giải: (h.49)

Trên BC lấy điểm D sao cho BD 5 cm

Tam giác ABD cân tại B nên

2

Ta có DACACB (g.g)

2

DC.CB AC

Đặt DC x thì x x 5   36 x25x 36 0 

x 9 x 4   0

Do x 0 nên x 4 Do đó, BC 5 4 9   (cm)

2

DC.CB AC

Ví dụ 37 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H có HA 7 cm, HB 5cm, HC 17cm Tính a) Đường cao AD ;

b) Diện tích ABC

Giải: (h.50)

a) DBH và DAC vuông tại D có DBH DAC  (cùng phụ ACB ) nên DBHDAC (g.g)

Đặt DH x thì

2

2





14x 71x  85 0  x 1 14x 85x 85 0 

Do x 0 nên x 1 0   x 1 Suy ra AD 8 cm

b) BD2    5 1 4 BD 2 (cm)

2

DC 17 1 16   DC 4 (cm)

  ABC

(cm2)

Ví dụ 38 Cho tam giác ABC AB AC  

, đường trung tuyến AM Điểm D trên cạnh BC sao cho

2

Giải: (h.51)

Do MB MC nên

DCMC DC (1) Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau (Ví dụ 14) ta có:

ADB AMC

S

MCS AM.AC (2)

AMB ADC

S

DC S AD.AC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

2

Lưu ý: Do A 1 A 2 nên đường thẳng AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân

giác của góc A Ta gọi AD là đường đối trung đi qua A

II Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng

Nếu ABCA B C   có

AB k

A B  , AH và A H  là đường cao thì

2 ABC

A B C

S AH

A H  S    

Ví dụ 39 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E và D trên BC

a) Chứng minh rằng tỉ số các khoảng cách từ H đến EM và DN bằng

EM

DN b) Gọi O là giao điểm của DM và EN Chứng minh rằng HO vuông góc với BC

Giải: (h.52)

a) Kẻ HIEM, HKDN KHD và NDC có K N 90 , KHD NDC      (cùng phụ HDK ) nên

(1)

Tương tự:

EMEB (2)

Ta lại có HBEHCD (g.g)

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

EM DN HK DN (4)

OQ DN (5)

Từ (4) và (5) suy ra

HK OQ, chứng tỏ HO / /EM, mà EMBC nên HOBC.

Ví dụ 40 Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G Gọi D là một điểm trên cạnh BC Qua D kẻ đường thẳng song song với CF, cắt BE và BA theo thứ tự ở I và M Qua D

kẻ đường thẳng song song với BE , cắt CF và CA theo thứ tự ở K và N Tìm vị trí của điểm D để: a) Tứ giác GIDK có diện tích lớn nhất;

b) Tam giác DMN có diện tích lớn nhất

Giải: (h.53)

a) Đặt SGBC S, SGIDK S , BD x, DC y   Các tam giác IBD, GBC, KDC đồng dạng nên

 

2

2

x y





Do 2 x 2y2x y 2

2

2

x y







S lớn nhất  x y  D là trung điểm của BC

b) Ta có DM / /CF nên

DI CG 2, tương tự

Suy ra

DMN

DIK

DMN

S lớn nhất S lớn nhất  x y (theo câu a)  D là trung điểm của BC.

Bài tập

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

67. Cho tam giác ABC có AC 12 cm, BC 7 cm, B 2C   Tính AB

68. Cho tam giác ABC có B C   , I là trung điểm của  BC, đặt IB IC a  Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho MIN 

a) Tính BM.CN theo a

b) Chứng minh rằng NI là tia phân giác của góc MNC

c) Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến MN khồn đổi

69. Cho tam giác ABC vuông tại A có C 20  , đường phân giác CD Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho ABE 30  Tia phân giác của góc CBE cắt AC ở I Chứng minh DE song song với BI

70. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H có HA 1 cm, HB 5cm, HC 2 10 cm Tính diện tích tam giác ABC

71. Tam giác ABC là tam giác gì, nếu có điểm D thuộc cạnh BC thỏa mãn AD chia tam giác ABC thành hai tam giác đồng dạng

72. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , điểm D đối xứng với A qua B Đường thẳng đi qua A và vuông góc với DH cắt BC ở I Chứng minh rằng HI IC

73. Cho hình thoi ABCD, M là trung điểm BC Trên đoạn AM lấy điểm E sao cho ABE CAM  Chứng minh rằng:

b) MED BCD 

74. Cho tam giác ABC, AB AC , điểm D trên cạnh AC sao cho AD AB , điểm E trên đoạn AD sao cho ABE C  Đường thẳng đi qua A và song song với BD cắt BE ở K Gọi M là giao điểm của

KD và BC Chứng minh rằng BM MC

Hướng dẫn: Kẻ EI / /BC I KD  

Hãy chứng minh

75. Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng đi qua C cắt tia đối của tia BA, DA tại E, F Gọi M là giao điểm của DE và BC Gọi H, N theo thứ tự là giao điểm của BF với DE, DC Chứng minh rằng:

a) MN song song với EF ;

b) H là trực tâm của tam giác AMN

76. Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD AG Gọi giao điểm của DG với AC, BC theo thứ tự là E, K Chứng minh rằng DE EK

Hướng dẫn: Kẻ DI / /AC I BC  

Hãy chứng minh IC CK

77. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH , điểm D trên cạnh AB Gọi I là hình chiếu của D trên BC, lấy điểm K trên đoạn HC sao cho HK BI Đường vuông góc với DK tại K cắt AH ở

G Chứng minh rằng ACG 90 

78. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Lấy điểm O nằm trong tam giác HBC sao cho OBH OCH  Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của O trên AB và AC Chứng minh rằng OH đi qua trung điểm của DE

79. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các tam giác ABE vuông tại B , ACF vuông tại C có BAE CAF  Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BF, CE đồng quy

80. Cho tam giác nhọn ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC, AC, AB sao cho

BDF CDE ,

CDE AEF, AEF BFD  Chứng minh rằng:

a) AEFABC;

b) AD, BE, CF là các đường cao của ABC

81. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác AD Hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB ,

N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC Gọi E là giao điểm của BN và MQ

a) Chứng minh rằng DE song song với AC

b) Gọi F là giao điểm của CM và NP Chứng minh rằng DE DF

c) Chứng minh rằng AE AF

82. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM , điểm D thuộc cạnh BC sao cho BAD CAM  Đường thẳng đi qua D và song song với AB cắt AC ở E Đường thẳng đi qua D và song song với AC cắt

AB ở F Chứng minh rằng:

a) AEFABC;

b) EFD EDC 

Hướng dẫn: Sử dụng Ví dụ 38.

83. Cho hình chữ nhật ABCD Điểm I nằm trong hình chữ nhật sao cho IAD ICD  Chứng minh rằng: a) IDC IBC  ;

b) SABCD IA.IC IB.ID

84. Cho hình vuông ABCD Hãy dựng đường thẳng d đi qua B , cắt tia đối của tia AD và CD lần lượt

ở E và F sao cho tích BE.BF có giá trị nhỏ nhất

Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

85. Một hình thang có đáy nhỏ 17cm, đáy lớn 31cm được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng song song với hai đáy dài 25cm và có hai đầu mút nằm trên hai cạnh bên Chứng minh rằng hai phần đó có diện tích bằng nhau

86. Cho tam giác nhọn ABC, có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H Biết diện tích các tứ giác BDHF và CDHE bằng nhau Chứng minh rằng AB AC

87. Cho tam giác ABC vuông tại A Tìm vị trí của các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh

BC, AC, AB sao cho tam giác DEF vuông tại D đồng dạng với tam giác đã cho và có diện tích nhỏ nhất

88. Cho tam giác ABC có diện tích S, điểm O nằm trong tam giác Kẻ OD song song với

, kẻ OE song song với BC E OA  

, kẻ OF song song với CA F AB  

a) Kẻ EH song song với AB H BC  

, kẻ FI song song với BC I CA  

, kẻ DK song song với

Chứng minh rằng diện tích tam giác DEF bằng nửa diện tích lục giác FIEHDK b) Chứng minh rằng DEF

S S 3



LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ

Chuyên đề 4

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

67. (h.226) Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD = BC.

AB AC

AC AD

Đặt AB = x thì

2

12

x

x x x

 (x 9)(x 16) 0

68. (h227) a) Ta có N1I2 ^N1= ^I2 (cùng cộng với  I1α +^ I1 được 0

180 180 °)

BM IB

CI NC

2

BM NC IB IC a

b) Hai tam giác đồng dạng trên còn suy ra

IM IB IC

NI NC NC

 ∆MIN  ∆ICN (c.g.c)  N2 N1^N2= ^N1

c) Từ câu b) suy ra khoảng cách từ I đến MN bằng khoảng cách từ I đến AC không đổi

69. (h.228) Kẻ IH ⊥ BC

HC AC AD

IC BC DB

(1)

Để chứng minh ∆IBC cân nên HB = HC

Ta có BI là đường phân giác của ∆EBC nên

BE BC

EI IC

EI IC EI IC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

AD AE

DB EI  DE // BI (định lí Ta-lét đảo).

70. (h.229) Giải tương tự Ví dụ 37.

Gọi AD là đường cao của ∆ABC

Đặt HD x

Đưa phương trình:

2

HD = 2cm, BD = 1cm, DC = 6cm

2

10,5

ABC

S  cm

71. (h.230)∆ABD đồng dạng với tam giác có ba đỉnh là A, D, C (h.230a) mà D 1A1^D1> ^A1 và D 1 C

^

D1> ^C

nên D 1 D 2 ^D1= ^D2, suy ra ADBC

Có hai trường hợp:

- Nếu A1 A2 ^A1= ^A2 thì ∆ABC cân tại A (h.230b).

- Nếu A1  ^B A1= ^B thì ∆ABC vuông tại A (h.230c).

72 (h.231)

Ta có A1D^A1= ^D (cùng phụ DAI ^ DAI), C A2C=^^ A2 (cùng phụ HAC ^ HAC)

Kẻ trung tuyến IK của ∆ICA

Do IK và HB là hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng

nên CIK AHB900CIK=^^ AHB=90 °.

∆AHC có AK = KC và KI // AH nên HI // IC

72. (h.232) a) Sẽ chứng minh .

AD AE

MAMB

Ta có

AD AB

MAMA (1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Do A2 M 1^A2= ^M1 (vì AB // OM)

và B1A1^B1=^A1

AB AE AE

MA MO MB

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

AD AE

MAMB, lại có DAE AMB ^DAE=^ AMB

Suy ra hai góc bù với chúng bằng nhau MED BCD  .^MED=^ BCD

73. (h.233) EI // BC

BM KB

EI KE

(1)

MC DC

EI DE (do EI // BC)

BC

BE



(do B 2 B3 ^B2=^B3

)

AE



AD KB

AE KE

(do AK // BD) (2)

BM MC

BM MC

EI  EI  

74. (h.234)

a)

BM BE

MC CD (1)

BN EC BE

NF CF AB (2)

Do AB = CD nên từ (1) và (2) suy ra

BM BN

b)

AD AB AE AE

DN DN CD AD

 ∆AND  ∆EAD (c.g.c)  A1 E1 ^A1= ^E1  AN ⊥ DE.

Tương tự AM ⊥ BF Vậy H là trực tâm của ∆AMN.

76 (h.235)

Kẻ DI // AC (I BC ), ta có

∆BDI đều  BD = BI  AD = CI (1)

Kẻ AH ⊥ DG thì A115 ,0 D1750^A1=15 ° ; ^D1=75 °

 K D 1 B 750 600 15 0 ^K= ^ D1−^B=75 °−60 °=15 °.

I đối xứng với D qua BG

I D  ^I1=^D1=75 °.

KI IG DG

KI AD

AD DH DH

(2)

Từ (1) và (2) suy ra KI = 2CI  IC = CK

∆DIK có IC = CK và DI // EC nên DE = EK

77 (h.236)

∆HKG và ∆IDK có H  I 90 ,0 ^H= ^i=90 °

1

HKG D ^HKG= ^ D1 (cùng phụ IKD^IKD)

HG HK

IK ID

Do BI = HK, IK = BH = CH nên

HG BI BH CH

CH ID AH AH

Kết hợp với CHG ACH  900CHG=^^ AHC=90° suy ra

 C1 A1C^1=^A1 Cùng cộng với C ^ 2C2 được ACGA C1 2 ^ACG= ^ A1+ ^C2=90°.

78 (h.237)

Gọi I là giao điểm của OD và HB, K là giao điểm

của OE và HC, Ta có OIHK là hình bình hành

nên OH đi qua trung điểm của IK

DI EK

DO EO

Xét các tam giác đồng dạng BDI và CEK, BOD và COE

79 (h.238) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BF, cắt HA ở K Do B 1 K F1,  1 C 1 nên

BCF KAC

AC KA

ACF ABE

AC AB

Từ (1) và (2) suy ra

BC BE

KA AB , lại có CBE KAB nên CBE∽ KAB (c.g.c)

KH, BF, CE là ba đường cao của KBC nên chúng đồng quy

80 a) (h.239a) Đặt các góc bằng nhau và bằng m, n, p như hình vẽ.

Ta có 2m2n2p360 (bằng 540 trừ đi tổng ba góc của DEF )

  

m n p A m B n C p

Do đó AEF∽ ABC (g.g).

b) (h.239b)

AE AF

AB AC

(c.g.c)

 1  1

B C

  Tương tự A1 C B 2,  2 A2

Suy ra B 1A1 B 2 C 1C 2 A2, vậy ADBC

Tương tự BE AC CF, AB

81 (h.240) a) Theo định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác và tam giác đồng dạng, ta có

BE BQ BQ AB BD

EN QP MQ AC DC

/ /

DE NC

b) Do DE/ /AC nên

DE BD

CN BC

 

BD

BC

Tương tự, DF CD.BM  2

BC



DE BD CN

DF CD BM Ta lại có

BD AB

CD AC (do AD là đường phân giác),

CN AC

BM AB (do

/ /

DE

DF  , tức là DEDF c) Ta có D1 DACDAB D 2

ADE ADF

82 (h.241) a) Ta có AE BD  1

AC BC

 

AB BC

AF CD

Nhân (1) với (2) được

 

AE AB BD

AF AC CD

Ta chứng minh được

2 2

BD AB

CD AC

(xem Ví dụ 38) nên từ (3) suy ra

2 2

AE AB AB AE AB

AF AC AC  AF AC

AEF ABC

b) AEF ∽ ABC AEF  B Ta lại có AEF EFD và B EDC nên EFD EDC .

83 (h.242)

a) Qua I kẻ MN AD, kẻ IH CD

IMA IHC

IM AM DH BN

IH HC IH IN

IDH IBN

 1  1

D B

  , tức là IDC IBC

b) Kẻ đường vuông góc với DI tại D, kẻ đường vuông góc với CI tại C, chúng cắt nhau ở K Do A1 C 1

nên A2 C 2, do B 1 D 1 nên B 2 D2, AIBCKD(g.c.g)  S AIB S CKD

ABCD AIB CID CKD CID IDK ICK

S  S S  S S  S S

ID DK IC CK ID IB IC IA

84 (h.243) Đặt ABBC a, AEx , CF  y

2

x a

a y

Ta có BE BF2 2 x2 a2 y2 a2

x y a x y a a a x y

Ta lại có x2 y2 2xy2a2 nên BE BF2. 2 4a4

min BE BF 2a  x  d vuông góc với BD tại B.y

85 (h.244) Kí hiệu như trên hình vẽ.

Kẻ BG, FI song song với AD

BGF FIC