086 đề hsg toán 9 hòa bình 2010 2011

Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân 3.. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính bằng 2.. Tính

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÒA BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011

Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2011 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (4đ)

1 Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau

a) A  x  3x y 4xy   12y b) B  x  4y  2xy x   8y

2 Cho a 11 6 2  11 6 2 .Chứng minh rằng a là một số nguyên

Bài 2 (6đ)

1 Giải phương trình 2 12 2 3 1

x   x 4 x   x 2 

2 Cho hàm số   2

y  m 1 x m    1 (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân

3 Tìm x để biểu thức A x 1

x 1





 đạt giá trị lớn nhất

Bài 3 (4đ)

1 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính

bằng 2 Biết  0

BAC  60 , đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC

2 Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với một đấu thủ của trường kia một trận Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B là số lẻ Tìm số cầu thủ của mỗi đội

Bài 4 (5đ) Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB Hai điểm E, F

thay đổi trên nửa đường tròn sao cho số đo cun AE khác 0 và nhỏ hơn số đo cun

AF, biết EF=R Giả sử AF cắt BE tại H, AE cắt BF tại I

1 Chứng minh rằng tứ giác IEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn

2 Gọi EG và FQ là các đường cao của tam giác IEF, chứng minh rằng độ dài

QG không đổi

3 Chứng minh rằng QG song song với AB

Bài 5 (1 điểm) Giải phương trình : 2

x 2 7 x    2 x 1    x  8x 7 1  

ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 HÒA BÌNH NĂM 2010-2011

Bài 1

a) A x 3y x 2y x 2y

B x 2y 1 x 2xy 4y

2. a  11 6 2   11 6 2   3  22  3  22  6

Bài 2

1 Học sinh lập luận được 2

x   x 4 và 2

x   x 2 khác 0 rồi quy đồng đưa về phương trình dạng 2  2   2 

Biến đổi được về dạng  2   2  1 17

2

 

2 Lập luận được để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tai điểm A

và B sao cho tam giác OAB cân thì đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng y = x (hoặc y = - x )

Từ đó dẫn đến m 1 12

m 1 0

 





 

 hoặc m 12 1

m 1 0

 





 

 Giải hệ hai phương trình ta tìm dược m=2 hoặc m=0 thỏa mãn

3 Ta viết được A=1 2

x 1





Ta có x 1 1 1 2 1 2 1

x 1

 Vậy Min A= - 1 khi x=0

Bài 3.

1

K O A

Gọi K là trung điểm của BC, dễ có KOC 60 

Xét tam giác vuông OKC có OC = 2 Tính được 0

Tính được BC  2 3 , suy ra diện tích tam giác ABC là S 3 3

2 Gọi số cầu thủ đội trường A là x, số cầu thủ đội trườn B là y

Ta có phương trình xy  4 x y    (x 4)(y 4) 16   

Ta lập luận và tìm được x=20; y=5

Bài 4.

Q G

H

I

B O

A

E

F

1 Vì   0

IEH  IFH  90 nên IHEF nội tiếp đường tròn

2 Ta dễ dàng chứng minh được  IQG đồng dạng với  IFE (góc – góc)

Từ đó có QG IG 1;QG 1EF 1R (dpcm)

3 Chứng minh được  IAB đồng dạng  IEF (g.g) kết hợp với câu 2 ta có

   suy ra IQ IG

IA IB dẫn đến QG song song với AB

Bài 5 Học sinh tìm được ĐK 1   x 7 và biến đổi phương trình về dạng tích

 x 1 2     x 1   7 x    0 Học sinh giải phương trình tích tìm được x=5 hoặc

x=4 đều thỏa mãn