Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ∆m cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?. b Trên mặt p
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
2
a 1 a a 1 a a a a 1 M
− − với a > 0, a ≠ 1.
a) Chứng minh rằng M 4.>
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 6
M
= nhận giá trị nguyên?
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3= + , y 6 x= − và y mx= có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và (∆m) Với những giá trị nào của tham số
m thì đường thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A
và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 1 2 1 2
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 17 2 2011
2 3
+ =
− =
x y xy b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:
1
2
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định Gọi M là điểm di động trên (C) sao cho M không trùng với các điểm A và B Lấy C là điểm đối xứng của O qua A Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng
b) Chứng minh rằng tích AM⋅ AN không đổi
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất
Bài 5 (1,0 điểm)
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
ĐIỂ M
Bài 1
Cho biểu thức: M a 1 a a 1 a2 a a a 1
a a a a a a
− − với a > 0, a ≠ 1
a) Chứng minh rằng M 4 >
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 6
M
= nhận giá trị nguyên 2,00
1.a
(1,25
đ)
Do a > 0, a ≠ 1 nên: a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1
2
⇒ M a 1 2
a
+
0,25
⇒M 2 a 2 4
a
0,25
1.b
(0,75
đ)
Ta có 0 N 6 3
Mà N = 1 ⇔ 6 a 1
a 1 2 a = + + ⇔a 4 a 1 0 − + = ⇔( a 2) − 2 = 3
Bài 2
a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 = + , y 6 x = − và y mx = có đồ thị
lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và (∆m) Với những giá trị nào của
tham số m thì đường thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt
tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành
độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di
động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN
luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M
và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q
2.a
(0,75 Điều kiện để (∆m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m 0 ≠ 0,25
Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (∆m) là: 0,25
Trang 30,5x 3 mx + = ⇔ (m 0,5)x 3 − = Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5 − < <
Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và (∆m) là:
6 x mx − = ⇔ (m 1)x 6 + = Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m + > > − 1
Vậy điều kiện cần tìm là: − < < 1 m 0,5; m 0 ≠ 0,25
2.b
(1,25
đ)
Đặt m = xM và n = yN ⇒ m⋅ n ≠ 0 và m ≠ 1 (*)
Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0,25
⇒
0 am b
2 a b
n b
= +
=
⇒ hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m n mn + =
0,25 Chia hai vế cho m⋅ n ≠ 0 ta được: 1 2 1
m n + = (**)
⇒1 1 2 2 12 42 4 5 12 12 2 1 2
= + ≥ dấu “=” xảy ra khi 2 1;
m = n kết hợp (**): m = 5, n = 2,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1
Bài 3
a) Giải hệ phương trình: 17 2 2011
x y xy (1)
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x 1(y 3)
2
3.a
(1,25
đ)
Nếu xy > 0 thì
2011
(1)
3
1007 9
x
y
=
(phù hợp)
0,50
Nếu xy < 0 thì
2011
9
3
18
xy
(loại)
0,25 Nếu xy = 0 thì (1)⇔ = = x y 0 (nhận). 0,25
KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0;0) và 9 ; 9
490 1007
3.b
(0,75
đ)
Điều kiện x ≥ 0; y − z ≥ 0; z − x ≥ 0 ⇔ y ≥ z ≥ x ≥ 0 0,25 (2) ⇔2 x 2 y z 2 z x + − + − = + − + − + x y z z x 3
⇔( x 1) − 2 + ( y z 1) − − 2 + ( z x 1) − − 2 = 0
0,25
Trang 4x 1
y z 1
z x 1
⇔
x 1
y 3
z 2
=
=
=
(thỏa điều kiện)
0,25
Bài 4
Cho đường tròn (C ) với tâm O và
đường kính AB cố định Gọi M là điểm
di động trên (C ) sao cho M không trùng
với các điểm A và B Lấy C là điểm đối
xứng của O qua A Đường thẳng vuông
góc với AB tại C cắt đường thẳng AM
tại N Đường thẳng BN cắt đường tròn
(C ) tại điểm thứ hai là E Các đường
thẳng BM và CN cắt nhau tại F
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F
thẳng hàng
b) Chứng minh rằng tích AM⋅ AN
không đổi
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm
của tam giác BNF khi và chỉ khi NF
ngắn nhất
C ( )
F
E
N
M
3,0 đ
4.a
(1,00
đ)
⇒FA ⊥ NB
4.b
(0,75
đ)
· ·
CAN MAB = , nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng 0,25 Suy ra: AN AC
4.c
(1,25
đ)
Ta có BA 2BC
3
= nên A là trong tâm tam giác BNF ⇔ C là trung điểm NF
Mặt khác: CAN CFM· = · , nên hai tam giác CNA và CBF đồng dạng
⇒CN AC 2
CN CF BC AC 3R
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R 3 = + ≥ × =
Nên: NF ngắn nhất ⇔ CN =CF ⇔ C là trung điểm NF (4) 0,25 (3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF ⇔ NF ngắn nhất 0,25
Bài 5 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên 0,75 (1,00 Đặt: S = 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5⋅ 6⋅ 7⋅ 8⋅ 9⋅ 10⋅ 11⋅ 12 0,50
Trang 5⇒
100
S =3⋅ 4⋅ 6⋅ 7⋅ 8⋅ 9⋅ 11⋅ 12 (1) là một số nguyên
⇒ hai chữ số tận cùng của S là 00
Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của (1),
nếu chỉ để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy
100
S
có chữ số tận cùng là 6 (vì
3⋅ 4=12; 2⋅ 6=12; 2⋅ 7=14; 4⋅ 8=32; 2⋅ 9=18; 8⋅ 11=88; 8⋅ 12=96) 0,25