De va dap an hsg lop 10 cap truong

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ---HẾT---ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM.

SỞ GD & ĐT LẠNG SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Môn : TOÁN – Lớp 10

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề)

(Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1 (4,00 điểm) :

1 Giải phương trình:3 4x - 3 - 4 6 - 2x + 5 = 0 3

2 Cho hai số x, y thoả mãn 4x2 + y2 = 4

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = x2 -3xy +2y2

Bài 2 (4,00 điểm) :

1.Giải hệ phương trình:

x + y + x + y = 8 (x + x)(y + y) = 12.







2 Giải phương trình : 2010x - 4x + 3 = 2009x 4x - 32

Bài 3 (4,00 điểm) :

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Viết phương trình đường thẳng (d) qua

M( 5; -2) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho: 1 2 + 1 2

OA 2OB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4 (4,00 điểm) :

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Cho hai điểm A( 1; 1), B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng (d) : x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

Bài 5 (4,00 điểm) :

Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2010 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Biểu

điểm Câu 1

4đ

1.(2đ)

3 4x - 3 - 4 6 - 2x + 5 = 0 3  3 4x - 3 + 5 = 4 6 - 2x 3

Dễ có x = 1 là một nghiệm của phương trình

VT là hàm số đồng biến trên (- ∞ ; 3],

VP là hàm nghịch biến trên (- ∞ ; 3],

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

2.(2đ)

Ta có

4(x - 3xy + 2y ) 4x -12xy + 8y

+ y = 0 thì M = 1

+ y ≠ 0 thì

2 2

4t -12t + 8

4t +1

x t y

 gọi M là một giá trị bất kỳ của nó thì (*)4(M-1)t2 + 12t + M - 8 = 0 có nghiệm t

*, M = 1 , t = 7/12 thoả mãn

*, M ≠ 1để (*) có nghiệm thì ’ = - 4 (M2 – 9 M – 1) ≥ 0

 M 9 85 9; 85

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 9 85

2



Vậy giá trị lớn nhất của M = 9 85

2



0,25 0,25

0,25 0,25 0,5

0,25 0,25

Câu2

(4đ)

1 (2đ)

Đặt

2

2

  





 hệ cho trở thành v v uv 128



 vậy u, v là 2 nghiệm của phương trình t2 – 8t + 12 = 0  t = 2 hoặc t = 6

TH1: Nếu u = 6 thì v= 2, khi đó ta có hệ:

2

2

2 6

  





 

 có các nghiệm: (1; -3), (1; 2), (-2; -3), (-2; 2)

TH2: Nếu u = 2 thì v= 6, khi đó ta có hệ:

2

2

6 2

  





 

 có các nghiệm: (-3; 1), (2; 1), (-3; -2), (2; -2)

Vậy hệ cho có các nghiệm (1; -3), (1; 2), (-2; -3), (-2; 2),(-3; 1), (2; 1),

(-3; -2), (2; -2)

1đ 0,5đ

0,5đ

2 (2đ)

Đk x ≥ 3/4

phương trình đã cho trở thành :2010x2- 2009xt – t2 = 0

0,25 0,25

Giải ra : hoặc x = - t/2010 (loại)

* ta có :

Vậy x = 1 , x = 3 là các nghiệm của phương trình đã cho

0,5

0,5

0,5 Câu 3

4đ Từ giả thiết ta có (d): 1

ab Vì M  (d) nên: 5 2 1

Theo BĐT Bunhiacopski 1 = (5 2)2

2

Hay 1 2 + 1 2

33 đẳng thức xảy ra

33 5 33 4







 

 



a b

Khi đó đường thẳng (d) có phương trình: 5x 4y 33 0 

1đ 1đ 1đ

1đ Câu 4

4đ

Phương trình đường thẩng AB: 4x + 3y -7 = 0 Giả sử C(x ;y) theo giả thiết ta có: x – 2 y -1= 0 (1) d(C, (AB)) = 6 4 3 7 6 4 3 37 0 (2 )

4 3 23 0 (2 ) 5

 Giải hệ (1), (2a) ta được C1 (7; 3) Giải hệ (1), (2b) ta được C2 (-43/11; -27/11)

0,5đ 0,5đ

1đ 1đ 1đ Câu 5

4đ Ta có P =

2010 - y + 2010 - x = 2010( 1 + 1 ) - ( x + y) (1)

Theo BĐT Côsi ta có 1 + 1 4

Đẳng thức xảy ra khi x = y

Theo BĐT Bunhiacopski ta có

 x y2  2(x y ) 4020   x y  4020 (3)

Đẳng thức xảy ra khi x = y

Từ (1) , (2), (3) ta có P ≥ 4.2010 4020 4020

4020

   đẳng thức xảy ra khi

x = y

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 4020 khi x = y=1005

1đ 1đ

1đ

1đ