Bài 2 hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Nắm được cách minh họa tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn..  Kĩ năng + Biết kiểm tra số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không cần giải hệ phương trình.. + Xá

BÀI 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Nắm được cách minh họa tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hiểu được khái niệm hệ phương trình tương đương

 Kĩ năng

+ Biết kiểm tra số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không cần giải hệ phương trình

+ Xác định được cặp số x y có phải là nghiệm của hệ phương trình.0; 0

+ Giải được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình ax by c  và

a x b y c     khi đó ta có hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn

ax by c

a x b y c

     (1)

Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn

- Nếu hai phương trình ax by c  và

a x b y c     có nghiệm chung x y thì0; 0

x y được gọi là nghiệm của hệ (1).0; 0

- Nếu hai phương trình ax by c  và

a x b y c     không có nghiệm chung thì ta

nói hệ (1) vô nghiệm

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các

nghiệm (tập nghiệm) của hệ đó

Minh họa tập nghiệm của hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn

Mỗi nghiệm của phương trình ax by c 

được biểu diễn bằng một điểm trên mặt phẳng

tọa độ Oxy thuộc đường thẳng ax by c 

Vậy trên một mặt phẳng tọa độ nếu gọi  d là

đường thẳng ax by c  và  d là đường

thẳng a x b y c    , thì tập nghiệm của hệ

phương trình ax by c

a x b y c

     là tập hợp các điểm chung của  d và  d

Chú ý: Đối với hệ phương trình

ax by c

a x b y c

     ta có

Ví dụ: Cho hai phương trình x2y3 và 2x y 1,

khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  2 3

x y

 

Ví dụ: Thay x1;y1 vào +) phương trình x2y3, ta có 1 2.1 3  +) phương trình 2x y 1, ta có 2.1 1 1  Vậy cặp số 1;1 là nghiệm của hệ phương trình

x y

 

Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

3

x y  được biểu diễn bởi đường thẳng yx3 Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2x y 4 được biểu diễn bởi đường thẳng y2x4

Hai đường thẳng yx3 và y2x4 có giao điểm

là A1; 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình  3

x y

x y

 

 

là x y ;  1;2 .

Ví dụ 2: Hệ phương trình 2 3

x y

x y

 

  vô nghiệm

vì đường thẳng y2x3 song song với đường thẳng

2 2

y x

- Nếu  d cắt  d thì hệ (1) có nghiệm duy

nhất

- Nếu  d trùng  d thì hệ (1) có vô số

nghiệm

- Nếu  d song song  d thì hệ (1) vô

nghiệm

Vậy chúng ta có thể đoán được số nghiệm của

hệ phương trình ax by c

a x b y c

     dựa vào xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  d và

 d

Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình là tương đương khi

chúng có cùng tập nghiệm

Dùng kí hiệu  để chỉ sự tương đương của

hai hệ phương trình

Ví dụ:  2 3  2 3



    vì chúng đều có tập nghiệm là S  1;1  .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không giải hệ phương trình

Bài toán 1: Xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không giải hệ phương trình

Phương pháp giải

Xác định số nghiệm của hệ phương trình

ax by c

a x b y c

     mà không giải hệ phương trình

Bước 1 Xác định các phương trình đường thẳng

biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình

ax by c  và a x b y c    

Bước 2 Xét sự tương giao của hai đường thẳng

 d ax by c:   và  d :a x b y c    

Bước 3 Kết luận.

- Nếu d song song d thì hệ phương trình vô

nghiệm

- Nếu d cắt d thì hệ phương trình có nghiệm duy

nhất

- Nếu d trùng d thì hệ phương trình có vô số

nghiệm duy nhất

Ví dụ: Xác định số nghiệm của hệ phương trình

x y

x y

 

  mà không giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2x y 5 là y2x 5

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3x y 2 là y3x 2

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

2 5

y x và y3x 2

Vì 2 3 nên đường thẳng y2x 5 cắt đường thẳng y3x 2 tại một điểm duy nhất

Vậy hệ phương trình 2 5

x y

x y

 

  có nghiệm duy nhất

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xác định số nghiệm của hệ phương trình  3 5

  mà không giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x3y5 là 1 5

y x

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2x6y7 là 1 7

y x

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 5

3 3

y x

Vì

5 7

3 6



 





 



nên đường thẳng 1 5

y x song song với đường thẳng 1 7

y x

Vậy hệ phương trình  3 5

  vô nghiệm

Ví dụ 2 Xác định số nghiệm của hệ phương trình 2 5

4 2 10

x y

 

  mà không giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2x y 5 là y2x 5

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 4x 2y10 là y2x 5

Hai đường thẳng y2x 5 và y2x 5 trùng nhau

Vậy hệ phương trình 2 5

4 2 10

x y

 

  có vô số nghiệm

Bào toán 2: Tìm m để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có số nghiệm thỏa mãn

Phương pháp giải

Xác định điều kiện của tham số m để hệ phương

trình ax by c

a x b y c

     có số nghiệm thỏa mãn yêu cầu

đề bài

Bước 1 Xác định các phương trình đường thẳng

biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình

ax by c  và a x b y c    

Bước 2 Dựa vào yêu cầu về số nghiệm.

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi hai

đường thẳng  d ax by c:   và  d :a x b y c    

cắt nhau

- Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng

 d ax by c:   và  d :a x b y c     song song

- Hệ phương trình có vô số khi hai đường thẳng

 d ax by c:   và  d :a x b y c     trùng nhau

Bước 3 Thiết lập phương trình chứa tham số m

dựa vào quan hệ của các đường thẳng

Bước 4 Giải và kết luận.

Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình

5

mx y

 



 có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx y 5 là ymx5 Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2m 3x y 7

là y 2m 3x7

Để hệ phương trình  

5

mx y

 



duy nhất thì hai đường thẳng ymx5 và

2 3 7

y m x cắt nhau

Để đường thẳng ymx5 cắt đường thẳng

2 3 7

y m x thì m2m3 +) m2m 3 m3

Vậy để hệ phương trình  

5

mx y

 



nghiệm duy nhất thì m 3

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm m để hệ phương trình 2 5

3

x y

mx y

 

  vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2x y 5 là y2x5.

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx y 3 là ymx3

Để hệ phương trình 2 5

3

x y

mx y

 

  vô nghiệm thì hai đường thẳng y2x5 và ymx3 song song với nhau

Để đường thẳng y2x5 song song với đường thẳng ymx3 thì  2 2

5 3

 



Vậy để hệ phương trình 2 5

3

x y

mx y

 

  vô nghiệm thì m 2

Ví dụ 2 Tìm m để hệ phương trình

2 2

x y m

mx y

  



 

 có vô số nghiệm

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2

2x y m

2

y x m Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2mx y 1 là y2mx1

Để hệ phương trình

2 2

x y m

mx y

  



 

 có vô số nghiệm thì hai đường thẳng y2x m 2 và y2mx1 trùng nhau

Để đường thẳng 2

2

y x m trùng với đường thẳng y2mx1 thì 2

2 2

1 1

m m m





 







Vậy để hệ phương trình

2 2

x y m

mx y

  



 

 có vô số nghiệm thì m 1

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Tìm số nghiệm của hệ phương trình  2 4

x y

  mà không giải hệ phương trình

Câu 2: Tìm số nghiệm của hệ phương trình  2 7

x y

x y

  

   mà không giải hệ phương trình

Câu 3: Tìm số nghiệm của hệ phương trình 3 2

x y

 

   mà không giải hệ phương trình

Câu 4: Tìm m để hệ phương trình  6

mx y

x y

  

  có nghiệm duy nhất

Câu 5: Tìm m để hệ phương trình  

6

x my



Câu 6: Tìm m để hệ phương trình

2

m x y m

x y



 

 có vô số nghiệm

Câu 7: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình 2 1 2





 có nghiệm duy nhất

Câu 8: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình  





ĐÁP ÁN

Câu 1:

Đường thẳng 2 4 1 2

2

x y  y x cắt đường thẳng 2x y  3 y2x3 tại một điểm duy nhất

Vậy hệ phương trình  2 4

x y

  có nghiệm duy nhất

Câu 2:

Đường thẳng 2 x y  7 y2x7 song song với đường thẳng 2 x y 11 y2x11

Vậy hệ phương trình  2 7

x y

x y

  

   vô nghiệm

Câu 3:

Đường thẳng 3x y  2 y3x2 trùng với đường thẳng 6 x 2y4 y3x2

Vậy hệ phương trình 3 2

x y

 

   có vô số nghiệm

Câu 4:

Để hệ phương trình  6

mx y

x y

  

  có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng mx y  6 y mx 6 và

2x y  3 y2x3 cắt nhau Suy ra m 2

Vậy với m 2 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Câu 5:

Để hệ phương trình  

6

x my



 vô nghiệm thì hai đường thẳng x my 6 y 1 x 6

1 3

m



  song song với nhau

Suy ra

1

m

m



Vậy với 1

5

m  thì hệ phương trình 2x my x3m61 y3

Câu 6:

Để hệ phương trình

2

m x y m

x y



 

 có vô số nghiệm thì hai đường thẳng m x y m2    ym x m2 

và 4x y  2 y4x2 trùng nhau Suy ra

2

m

 







Vậy với m 2thì hệ phương trình

2

m x y m

x y



 

 có vô số nghiệm

Câu 7:

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2m1x y 2 là

2 1 2

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 3mx2y3 là

m

y x

Để hệ phương trình 2 1 2





 có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng y 2m1x2 và

m

y x cắt nhau

Hai đường thẳng 3 3

m

y x và y 2m1x2 cắt nhau khi và chỉ khi

2

m

Vậy với m 2 thì hệ phương trình 2 1 2





 có nghiệm duy nhất

Câu 8:

Hệ phương trình ax by c

a x b y c

     (a0';b0 và c 0) vô nghiệm khi a b c

abc

Xét 1

2

m hệ phương trình có dạng

2 4



Vậy với 1

2

m hệ phương trình  





 có nghiệm duy nhất

Xét 1

2

m để hệ  





m





3 3

m

m

   (1)

m





2

2m 2m 3m 3 0

2m m 1 3 m 1 0

2m 3 m 1 0

Trường hợp 1: 2 3 0 3

2

Trường hợp 2: m1 0  m1 (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra với 3; 1

2

m m hệ phương trình  





Dạng 2: Xét cặp x y có phải là nghiệm của hệ phương trình không?0; 0

Bài toán 1: Xét cặp x y có phải là nghiệm của hệ phương trình không?0; 0

Phương pháp giải

Xét cặp x y có phải là nghiệm của hệ phương0; 0

ax by c

a x b y c

     không?

Bước 1 Thay x y vào hệ phương trình 0; 0

ax by c

a x b y c

    

Bước 2 Kiểm tra giá trị các vế của từng phương

trình trong hệ

Bước 3 Kết luận

- Nếu 0 0



     

 thì x y là nghiệm của0; 0

hệ phương trình

- Nếu một trong hai phương trình ax0by0 c;

a x b y c không thỏa mãn thì x y không0; 0

phải là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ: Cặp số x y ;  1;2 có phải là nghiệm của

hệ phương trình  2 5

x y

  hay không?

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình  2 5

x y

  Với cặp số x y ;  1;2 thay vào hệ ta có

1 2.2 5 5 5 3.1 2 5 5 5



Vậy cặp số x y ;  1;2 là nghiệm của hệ phương

trình  2 5

x y

 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cặp số x y ;  2; 1  có phải là nghiệm của hệ phương trình 2 3

x y

 

   hay không?

Hướng dẫn giải

Với cặp số x y ;  2; 1 , thay vào hệ ta có  

7 4 2.2 3 1 4

  



Vậy cặp số x y ;  2; 1  không phải là nghiệm của hệ phương trình 2 3

x y

 

  

Ví dụ 2 Xét cặp số x y ;  3; 2  có phải là nghiệm của hệ phương trình  3

x



  không?

Hướng dẫn giải

Với cặp số x y ;  3; 2  , thay vào hệ ta có 3 3  3 3





     



Vậy cặp số x y ;  3; 2  là nghiệm của hệ phương trình  3

x



 

Bài toán 2: Tìm m để cặp x y là nghiệm của hệ phương trình0; 0

Tìm m để cặp x y là nghiệm của hệ phương0; 0

trình ax by c

a x b y c

    

Bước 1 Thay x y vào hệ phương trình0; 0

ax by c

a x b y c

    

Bước 2 Thiết lập và giải các phương trình chứa

tham số m

Bước 3 Kết luận.

Ví dụ: Tìm m để cặp số x y ;  1;1 là nghiệm

của hệ phương trình  2

7

x y

mx y

 

 

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình  2

7

x y

mx y

 

 

Vì cặp số x y ;  1;1 là nghiệm của hệ

7

x y

mx y

 

  nên 1 1 2 2 2



Vậy với m 6 thì hệ phương trình  2

7

x y

mx y

 

 

nhận x y ;  1;1 làm nghiệm.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm m để cặp số x y  ;   1; 2 là nghiệm của hệ phương trình

1

x





Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình  

1

x







Vì cặp số x y  ;   1; 2 là nghiệm của hệ phương trình nên

1 1

 





 1 1  1 1

Vậy với m 7 thì hệ phương trình  

1

x





 nhận x y  ;   1; 2 là nghiệm.

Ví dụ 2 Tìm m để cặp số x y ;  2;1 là nghiệm của hệ phương trình  

2







Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình  

2







Vì cặp số x y ;  2;1 là nghiệm của hệ phương trình  

2







2

.2 3 1 1 3





+) m1 1  m2;

2m  3m 2 0  2m  4m m  2 0

2m m 2 m 2 0

2m 1 m 2 0

1 2 2

m

m











 



Kết hợp ta được m 2 là giá trị cần tìm

Vậy với m 2 thì hệ phương trình  

2





 nhận cặp số x y ;  2;1 là nghiệm.

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cặp số x y  ;  1; 2 có phải là nghiệm của hệ  2 3

x y

 

  không? Vì sao?

Câu 2: Cho các cặp số x y ;   2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 ; 1; 2        

Cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình  2 0

x y

  ?

Câu 3: Cặp số x y ;  3;1 là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình sau?

a)  5

x y

x y

 

  b) 2 4

2

x y

x y

 

x

x y



  d) 2 7

2

x y

x y

 

 

Câu 4: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình  2 3

2

mx y

  

  nhận x y  ;   1;1 là nghiệm

Câu 5: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình 2 4

x m

x y



  nhận cặp số x y ;  2;3 là nghiệm.

Câu 6: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình 2

5

mx y

 





 

 nhận cặp số x y ;  2;1 là nghiệm.

ĐÁP ÁN

Câu 1:

Xét hệ phương trình  2 3

x y

 

 

Thay x y  ;  1; 2 vào hệ phương trình ta có  

0 0 2.1 2 0

  



  



Vậy cặp số x y  ;  1; 2 là nghiệm của hệ phương trình  2 3

x y

 

 

Câu 2:

Thay các cặp số vào ta thấy chỉ có cặp x y ;  2;1 thỏa mãn nên cặp x y ;  2;1 là nghiệm của hệ phương trình

Câu 3:

Thay cặp số x y ;  3;1 vào các hệ phương trình ta thấy thỏa mãn hệ phương trình 2 7

2

x y

x y

 

  nên cặp

x y ;  3;1 là nghiệm của hệ 2 7

2

x y

x y

 

  và không là nghiệm của các hệ phương trình còn lại

Câu 4:

Thay x1;y1 vào hệ ta có  

 

1 2.1 3

1

m

   



 



  



Vậy với m 1 thì hệ phương trình  2 3

2

mx y

  

  nhận x y  ;   1;1 làm nghiệm.

Câu 5:

Để hệ phương trình nhận cặp số x y ;  2;3 làm nghiệm thì 2 2

2.2 3 4 7 4



   (vô lí)

Vậy không tồn tại m để hệ phương trình 2 4

x m

x y



  nhận cặp số x y ;  2;3 là nghiệm.

Câu 6:

Để hệ phương trình nhận cặp số x y ;  2;1 là nghiệm thì 2 2

.2 6 1 4 2 6 4 0



Xét phương trình 2 2 6 4 0 2 3 2 0  1  2 0 1

2

m

m





Vậy với m 2 hệ phương trình 2

5

mx y

 





 

 nhận cặp số x y ;  2;1 là nghiệm.

Dạng 3 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình ax by c

a x b y c

    bằng phương pháp đồ thị

Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 3

x y

x y

 

   bằng phương pháp đồ thị