Dạng toán 2 cấp số cộng cấp số nhân

CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội qsao cho q 1.. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 3 Phân tích hướng dẫn giải 1.. DẠNG TOÁN: Đây là

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

CẤP SỐ CỘNG

 Định nghĩa: Nếu  u n

là cấp số cộng với công sai d , ta có: u n1u n với d n  *

 Số hạng tổng quát:

Định lý 1: Nếu cấp số cộng  u n có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát 1 u được xác n

định bởi công thức: u n  u1 n1d với n 2.

 Tính chất:

Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai

số đứng kề với nó, nghĩa là

2

k k k



với k 2.

 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:

Định lý 3: Cho cấp số cộng  u n

Đặt S n  u1 u2  u n Khi đó:

 1  2

n n

2

n

CẤP SỐ NHÂN

 Định nghĩa: Nếu  u n

là cấp số nhân với công bội q, ta có: u n1u q n với n  *

 Số hạng tổng quát:

Định lý 1: Nếu cấp số nhân  u n

có số hạng đầu u và công bội 1 q thì số hạng tổng quát u được xác n

định bởi công thức: 1 n 1

n

u u q  với n 2.

 Tính chất:

Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của

hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u k2 u u k1 k1 với k 2.

 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:

Định lý 3: Cho cấp số nhân  u n

với công bội q  Đặt 1 S n  u1 u2  u n Khi đó:

1 1 1

n n

S

q





DẠNG TOÁN 2: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

 Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội qsao cho q 1

 Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Cho  u n

là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo

công thức

1

1 2

1

n

u

q



BÀI TẬP MẪU:

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho cấp số nhân  u n

với u 1 2 và u 2 6 Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

1 3

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm các yếu tố của cấp số cộng và cấp số nhân.

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Dựa vào định nghĩa cấp số nhân để tìm công bội.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

Ta có

2

2 1

1

6

2

u

u

Bài tập tương tự và phát triển:

với u 3 2 và u 4 6 Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Lời giải Chọn B

Ta có u4 u3d  d u 4 u3  6 2 4

A 1; 2; 3; 4; 5 B 1; 2; 4; 8; 16 C 1; 3; 9; 27; 81 D 1; 2; 4; 8; 16 

Lờigiải Chọn A

Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng với công sai d  1

Dãy 1; 2; 4; 8; 16 không là cấp số cộng vì u3 u2 u2 u1

Dãy 1; 3; 9; 27; 81 không là cấp số cộng vì u3 u2 u2 u1

Dãy 1; 2; 4; 8; 16  không là cấp số cộng vì u3 u2 u2 u1

với u 1 2 và công sai d  Khi đó 1 u3 bằng

A 3 B 1. C 4. D 2

Lời giải Chọn C

Ta có u3  u1 2d  2 2.1 4

với u10 25 và công sai 3.d  Khi đó u bằng1

A u1 2 B u13 C u13 D u12

Lời giải

Chọn D

Ta có u10 u1 9d u1u10 9d25 9.3 2

với u  và công sai 3.2 5 d  Khi đó u bằng81

Lời giải Chọn A

Ta có: u2  u1 d u1 u2 d  2

Lại có: u81  u1 80d  2 80.3 242

hạng thứ mấy?

Lời giải Chọn A

Ta có u n  u1 n1d 34 1 n1 3  n1 3 33   n 1 11 n12

với u 1 21 và công sai 3.d  Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng

A S 16 24. B S 16 24. C S 16 26. D S 16 25.

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên ta có:

16

1

24

2 2

Khi đó tích a b bằng

Lời giải Chọn D

Theo tính chất của cấp số cộng:

32

a.b

Câu 2.9: Cho cấp số cộng  u n

với u9 5u2 và u132u65 Khi đó số hạng đầu u và công sai d1 bằng

A u13 à dv  5 B u14 à dv  5 C u13 à dv  4 D u14 à dv  3

Lời giải Chọn C

Ta có



với S 7 77 và S 12 192 Với S n là tổng n số đầu tiên của nó Khi đó

số hạng tổng quát u n của cấp số cộng đó là

A u n  5 4 n B u n  2 3 n C u n  4 5 n D u n  3 2 n

Lời giải

Chọn D

Ta có

1

1

77

192 2









1 5 1 2 2 3

n

u  u n d   n  n

với u  và công bội 1 2 q 3 Khi đó u bằng2

Lời giải Chọn B

Số hạng u là 2 u2 u q1  6

năm của cấp số nhân bằng

A

27

16 27



27 16



16

27.

Lờigiải Chọn D

Ta có 1 n 1

n

u u q 



4

5

2 3

3

 

16 27



với u  ; 4 1 q 3 Tìm u ?1

A 1

1 9

u 

1 27

u 

Lời giải

Chọn D

Ta có:

u

q

1

; 32 2

Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có

2

2

n n

q

q

nhân bằng

A S 8 381 B S 8 189. C S 8 765. D S 8 1533.

Lời giải Chọn C

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân ta có:

1 8

765

S

q

A 1; 2; 3; 4; 5 B 1; 2; 4; 8; 16 C 1; 3; 9; 27; 81 D 1; 2; 4; 8; 16 

Lờigiải Chọn A

Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q 2

Dãy 1; 3; 9; 27; 81 là cấp số nhân với công bội q 3

Dãy 1; 2; 4; 8; 16  là cấp số nhân với công bội q 2

Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng với công sai d  , không phải cấp số nhân vì1

hạng thứ mấy?

Lời giải Chọn A

Ta có 1 n 1 1.2n 1 1024 2n 1 210 1 10 11

n

bằng

Lời giải.

Chọn A

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với u  ; 1 1 q 12.

Khi đó :

1 1

u S

q





1 1 1 2



 2



A 9 B 10 C 13 D 14

Lời giải Chọn B

3 1

1

2 4

2

q u

q u





Với q 2 u2 10 (thỏa mãn)

Với q 2 u2 10 (thỏa mãn)

có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây là một cấp số nhân

A

2

3n n

n

u  . D u n 1

n



Lời giải

Chọn C

Với

2

3n n

u  thì

 2

2

1

2 1

1 3

3 3

n

n n

n n

u u





không phải là hằng số

Với u n 3n thì 1

 

n n

n

  không phải là hằng số

Với

1

n

u n

 thì

1

1

n n

 

 không phải là hằng số

Với 3n

n

u  thì

1

1 3

3 3

n n

n n

u u



là hằng số Vậy 3n

n

u  là công thức của cấp số nhân.