Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)

Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

1.1 Dãy số, định nghĩa và tính chất 3

1.2 Giới hạn của dãy số 5

1.3 Một vài dãy số đặc biệt 6

2 Một số phương pháp giải bài toán về xác định dãy số 10 2.1 Dãy số sinh bởi hàm đa thức 10

2.2 Dãy số sinh bởi hàm phân thức hữu tỷ 16

2.3 Dãy số sinh bởi hàm chứa căn thức 22

2.4 Dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và siêu việt 24

3 Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số 28 3.1 Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để tính giới hạn của dãy số 28

3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn của dãy số 35

3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn của dãy số 37

3.4 Xác định giới hạn của dãy tổng 42

4 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số 46 4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất của dãy số 46

4.2 Một số dạng toán khác 57

Mở đầu

Dãy số là một phần quan trọng của chương trình Toán phổ thông và trong cácngành đại số và giải tích toán học Dãy số có một vị trí đặc biệt quan trọng trongtoán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng một vaitrò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyếtphương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong chương trình, sách giáokhoa trung học phổ thông, nội dung đề cập đến dãy số rất ít Vì vậy học sinh gặprất nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến dãy số khi tham giathi học sinh giỏi các cấp

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toánquốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán

về dãy số được đề cập nhiều và thường thuộc loại khó Các bài toán về ước lượng;xác định dãy số và tính giá trị các tổng, tích; các bài toán về cực trị, xác địnhgiới hạn dãy hay các tính chất của dãy số thường liên quan đến đặc trưng của dãytương ứng

Luận văn Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp nhằm nêu một

số phương pháp xác định dãy số, giới hạn của dãy số và các bài toán liên quan.Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ về dãy số

Chương này trình bày các kiến thức liên quan đến dãy số

Chương 2 Một số phương pháp giải bài toán về xác định dãy sốChương này trình bày các bài toán liên quan đến xác định số hạng tổng quátcủa dãy số sinh bởi các hàm sơ cấp cơ bản đó là hàm đa thức, hàm phân thức hữu

tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit

Chương 3 Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số

Chương này trình bày một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số như

phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp sử dụng nguyên líkẹp, phương pháp sử dụng định lí Lagrange và xác định giới hạn của dãy tổng.Chương 4 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số

Chương này trình bày một số bài toán liên quan đến tính chất của dãy sốnguyên, các dãy số chứa hàm phần nguyên, hàm phần lẻ

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyênvới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của thầy, tới các thầy cô trongBan giám hiệu, Phòng đào tạo và Khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học.Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục và đào tạo Yên Bái, Ban giám hiệu

và các thầy cô trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành đã tạo điều kiện cho tácgiả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 5 năm 2016

Học viên

Phùng Thị Thu Hà

Định nghĩa 1.1 Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số

tự nhiên Với M⊂N, thay cho ký hiệu

u :M →R

n 7→ u(n)

ta thường dùng ký hiệu(u n ) hay {u n } với n ∈ M.

Dãy số được gọi là vô hạn nếu chúng có vô hạn phần tử Dãy số được gọi là hữuhạn nếu số phần tử của dãy là hữu hạn Phần tử ui được gọi là phần tử thứ i củadãy

1.1.1 Dãy số đơn điệu

Dãy (un) được gọi là đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1, với mọi n = 1, 2,

Dãy (un) được gọi là đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1, với mọi n = 1, 2,

Dãy (un) được gọi là tăng thực sự nếu un < un+1, với mọi n = 1, 2,

Dãy (un) được gọi là giảm thực sự nếu un > un+1, với mọi n = 1, 2,

Dãy đơn điệu tăng và dãy đơn điệu giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

Nhận xét 1.1 • Nếu dãy (xn) tăng, dãy (yn) tăng thì dãy (xn+ yn) tăng

• Nếu dãy (xn) giảm, dãy (yn) giảm thì dãy (xn+ yn) giảm

• Nếu dãy (xn) tăng thì dãy (−xn) giảm, và nếu dãy (xn) giảm thì dãy (−xn)

tăng

• Nếu hai dãy số dương (xn), (yn) cùng tăng (giảm) thì dãy(xnyn) tăng (giảm)

• Một dãy số có thể không tăng, cũng không giảm Ví dụ dãy số (x n ) với

Dãy(u n ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới nghĩa

là tồn tại một sốM và một số m sao cho

m ≤ un ≤ M, ∀n ∈N∗.

1.1.3 Dãy số Cauchy

Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Dãy số(u n ) được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃N 0 ∈

N: ∀m, n > N0 , |un− um| < ε.

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]) Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn khi

và chỉ khi nó là dãy Cauchy

1.1.4 Dãy số tuần hoàn

Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Dãy số (un) được gọi là một dãy số tuần hoàn (cộngtính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho

un+l = un, ∀n ∈N. (1.1)

Tương tự, ta cũng có định nghĩa về dãy tuần hoàn nhân tính.

Định nghĩa 1.4 (xem [3]) Dãy số (un) được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tínhnếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho

usn = un, ∀n ∈N. (1.3)

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số (un) thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ

cơ sở của dãy

Dãy số (un) được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyêndương s (s > 1) sao cho

1.2 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.5 (xem [5]) Ta nói dãy số(un)có giới hạn hữu hạn akhi n dần tới

vô cùng nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un và ε )sao cho với mọi n > N 0 ta có |u n − a| < ε.

lim

n→+∞ un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈N: ∀n > N0, |un− a| < ε.

Ta nói dãy số (un) dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thựcdươngM lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiênN0 (phụ thuộc vào dãy số un và M) sao chovới mọi n > N0 ta có |un| > M.

n→+∞ un = a và a ≥ m

Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp, xem [5]) Nếu vn ≤ un ≤ wn, ∀n ≥ N0, N0 ∈ N vàlim

u1 được gọi là số hạng đầu, q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Tính chất 1.2 Dãy số (un) là cấp số nhân với công bội q thì

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full